Способ извлечения квадратного корня столбиком

$ AlexLat $

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A . В отличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.

Найти an, квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A , оставаясь меньше последнего.

Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа an .

Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2a n – на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение / деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.

Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A .

Сравнить полученное число с нулём.

Если полученное число не равно 0 , то найти такое 2an − 1 , которое, будучи умноженным на (2an10+an− 1) , даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п. 3.

Если в п. 6 получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от an нуль.

После получения количества цифр, равного n/2, прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.

Описанная последовательность действий в математике получила название алгоритма извлечения квадратного корня.

1. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.

2. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.

3. Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.

4. Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.

5. Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.

6. Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

Пример. Извлечём корень√8649 .

1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани: √86’49 .

2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем √86≈9 с недостатком. Цифра 9 – это первая цифра корня.

3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.

4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем:

К числу 18 нужно приписать такую наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру было бы либо равно числу 549, либо меньше, чем 549. Это цифра 3. Она находится путем подбора: количество десятков числа 549, то есть число 54 делится на 18, получаем 3, так как 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – это вторая цифра корня.

6-й шаг. Находим остаток 549 – 549 = 0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 93. Процесс извлечения корня закончился. Число 93 – двузначное, так как подкоренное число 8649 содержит две грани. Корень из числа содержит столько цифр, сколько граней содержит это число.

Аналогично извлекают квадратный корень из десятичных дробей. Только подкоренное число разбивают на грани так, чтобы запятая была между гранями, т.е. от запятой влево и вправо. Если в крайней правой грани окажется одна цифра, то её дополняют дописыванием к числу нуля.

Источник

Методы извлечения квадратного корня

Дата публикации: 26.03.2017 2017-03-26

Статья просмотрена: 4470 раз

Библиографическое описание:

Прямостанов, С. М. Методы извлечения квадратного корня / С. М. Прямостанов, Л. В. Лысогорова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2017. — № 2.2 (11.2). — С. 76-77. — URL: https://moluch.ru/young/archive/11/823/ (дата обращения: 18.11.2021).

В статье описываются способы извлечения квадратного корня, и приведены примеры извлечения корней.

Ключевые слова: квадратный корень, извлечение квадратного корня.

На уроках математики я познакомился с понятием квадратного корня, и операцией извлечения квадратного корн. Мне стало интересно извлечение квадратного корня возможно только по таблице квадратов, с помощью калькулятора или есть способ извлечения вручную. Я нашел несколько способов: формула Древнего Вавилона, через решение уравнений, способ отбрасывания полного квадрата, метод Ньютона, геометрический метод, графический метод (, ), метод подбора угадыванием, метод вычетов нечётного числа.

Рассмотрим следующие способы:

1. Извлечение корня путем разложения подкоренного числа на простые множители. Например.

Разложим на простые множители, используя признаки делимости 27225=5*5*3*3*11*11. Таким образом

1. Канадский метод. Этот быстрый метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность — не более двух — трёх знаков после запятой.

где х-число, из которого надо извлечь корень, с-число ближайшего квадрата), например:

=5,92

1. Столбиком. Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр. Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком

Алгоритм извлечения квадратного корня

1.От запятой отдельно дробную и отдельно целую части делим на грани по две цифры в каждой грани (целую часть — справа налево; дробную — слева направо). Возможно, что в целой части может оказаться одна цифра, а в дробной — нули.

2.Извлечение начинается слева направо, и подбираем число, квадрат которого не превосходит числа, стоящего в первой грани. Это число возводим в квадрат и записывает под числом, стоящим в первой грани.

3.Находим разность между числом, стоящим в первой грани, и квадратом подобранного первого числа.

4.К получившейся разности сносим следующую грань, полученное число будет делимым. Образовываем делитель. Первую подобранную цифру ответа удваиваем (умножаем на 2), получаем число десятков делителя, а число единиц должно быть таким, чтобы его произведение на весь делитель не превосходило делимого. Подобранную цифру записываем в ответ.

5.К получившейся разности сносим следующую грань и выполняем действия по алгоритму. Если данная грань окажется гранью дробной части, то в ответе ставим запятую. (Рис. 1.)

Данным способом можно извлекать числа с разной точностью, например с точностью до тысячных. (Рис.2)

Рассматривая различные способы извлечения квадратного корня, можно сделать вывод: в каждом конкретном случае нужно определиться с выбором наиболее эффективного для того, чтобы меньше затратить времени для решения

1. Киселев А. Элементы алгебры и анализа. Часть первая.-М.-1928 г

Источник

Извлечение корней: методы, способы, решения

Из этой статьи вы узнаете:

• что такое «извлечение корня»;
• в каких случаях он извлекается;
• принципы нахождения значения корня;
• основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

Что такое «извлечение корня»

Для начала введем определение «извлечение корня».

Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

При извлечении корня n -ной степени из числа a, мы находим число b , n -ная степень которого равняется a . Если мы нашли такое число b , можно утверждать, что корень извлечен.

Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

В каких случаях извлекается корень?

Корень n -ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n -ной степени некоторого числа b .

4 = 2 × 2 , следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

Когда корень n -ной степени из числа a невозможно представить в виде n -ной степени числа b , то такой корень не извлекается, либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда.

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

• Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
• Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
• Извлечение корней из дробных чисел
• Извлечение корня из отрицательного числа
• Поразрядное нахождение значения корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: b n n = b , которое является справедливым для любого неотрицательного числа b .

Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

Таблица квадратов

Таблица квадратов		единицы
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
	1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
	2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
	3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
	4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2041
	5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
	6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
	7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
	8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
	9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

Таблица кубов

Таблица кубов		единицы
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
	1	1000	1 331	1 728	2 197	2 744	3 375	4 096	4 913	5 832	6 859
	2	8000	9 261	10 648	12 167	13 824	15 625	17 576	19 683	21 952	24 389
	3	27000	29 791	32 768	35 937	39 304	42 875	46 656	50 653	54 872	59 319
	4	64000	68 921	74 088	79 507	85 184	91 125	97 336	103 823	110 592	117 649
	5	125000	132 651	140 608	148 877	157 464	166 375	175 616	185 193	195 112	205 379
	6	216000	226 981	238 328	250 047	262 144	274 625	287 496	300 763	314 432	328 509
	7	343000	357 911	373 248	389 017	405 224	421 875	438 976	456 533	474 552	493 039
	8	512000	531 441	551 368	571 787	592 704	614 125	636 056	658 503	681 472	704 969
	729000	753 571	778 688	804 357	830 584	857 375	884 736	912 673	941 192	970 299

Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

Извлечем квадратный корень из 144 .

Разложим 144 на простые множители:

Таким образом: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = ( 2 × 2 ) 2 × 3 2 = ( 2 × 2 × 3 ) 2 = 12 2 . Следовательно, 144 = 12 2 = 12 .

Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12

144 = 12 — окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

p q n = p n q n . Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.

Необходимо извлечь кубический корень из 474 , 552 . Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474 , 552 = 474552 / 1000 . Из этого следует: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3 . Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:

474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = ( 2 × 3 × 13 ) 3 = 78 3 и 1000 = 10 3 , то

474552 3 = 78 3 3 = 78 и 1000 3 = 10 3 3 = 10 .

Завершаем вычисления: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7 , 8 .

Извлечение корня из отрицательных чисел

Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа — a и нечетного показателя корня 2 n — 1 справедливо равенство:

— a 2 × n — 1 = — a 2 × n — 1

Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

— 12 209 243 5 . Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

— 12 209 243 5 = 12 209 243 — 5 ​​​​​​

Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

12 209 243 — 5 = 3125 243 — 5

Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

3125 243 — 5 = — 3125 5 243 5

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

— 3125 5 243 5 = — 5 5 5 3 5 5 = — 5 3 = — 1 2 3

Краткая запись решения:

— 12 209 243 5 = 12 209 243 — 5 = 3125 243 — 5 = — 3125 5 243 5 = — 5 5 5 3 5 5 = — 5 3 = — 1 2 3 .

Ответ: — 12 209 243 5 = — 1 2 3 .

Поразрядное нахождение значения корня

Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n — ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака.

В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5 .

Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0 , 1 , 2 , . . . , 9 , вычисляя при этом 0 2 , 1 2 , . . . , 9 2 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5 . Все это удобно представить в виде таблицы:

Возможное значение корня	0	1	2	3
Это значение в степени	0	1	4	9

Значение ряда единиц равняется 2 ( т а к к а к 2 2 5 , а 2 3 > 5 ) . Переходим в разряду десятых — будем возводить в квадрат числа 2 , 0 , 2 , 1 , 2 , 2 , . . . , 2 , 9 , , сравнивая полученные значения с числом 5 .

Возможное значение корня	2,0	2,1	2,2	2,3
Это значение в степени	4	4,41	4,84	5,29

Поскольку 2 , 2 2 5 , а 2 , 3 2 > 5 , то значение десятых равняется 2 . Переходим к нахождению значения сотых:

Возможное значение корня	2.20	2,21	2,22	2,23	2,24
Это значение в степени	4,84	4,8841	4,8294	4,9729	5,0176

Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2 , 23 . Можно находить значения корня дальше:

2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .

Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.

Источник