Способ измерения высоты пирамиды фалес

Практическая интерпретация геометрического знания. Задача Фалеса Милетского

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Дата публикации: 12.05.2019 2019-05-12

Статья просмотрена: 434 раза

Библиографическое описание:

Практическая интерпретация геометрического знания. Задача Фалеса Милетского / Д. А. Красюк, Т. Н. Хлыстов, И. В. Пензина [и др.]. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2019. — № 6 (26). — С. 42-47. — URL: https://moluch.ru/young/archive/26/1553/ (дата обращения: 18.11.2021).

Красюк Данила Андреевич, учащийся 8 класса;

Хлыстов Тимофей Николаевич, учащийся 8 класса;

Научный руководитель: Пензина Ирина Владимировна, учитель математики;

Научный руководитель: Шонин Максим Юрьевич, учитель математики;

Научный руководитель: Бекмухометова Светлана Александровна, директор;

Научный руководитель: Бакитжанов Артур Сакенович, учитель информатики;

Научный руководитель: Власова Светлана Николаевна, учитель русского языка и литературы;

Научный руководитель: Дегтярева Екатерина Владимировна, учитель математики

МОУ Петропавловская СОШ (Челябинская обл.)>>>

Геометрия возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. С древних времен люди сталкивались с необходимостью находить расстояния между предметами, определять размеры участков земли, ориентироваться по расположению звезд на небе и т. п.

Данная статья посвящена решению задачи оптимального измерения высоты здания. Отметим, что для вычисления высот, глубин, расстояний или других замеров реальных объектов не всегда можно их измерить — во многих случаях такие измерения сопряжены с определенными трудностями, а то и вообще практически невозможны. Однако существуют другие способы измерений, не связанные с непосредственными замерами.

1. Постановка задачи: Определить высоту стены здания МОУ «Петропавловская СОШ» методами Фалеса, Жуль Верна, измерения с помощью зеркала (лужи), измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника, измерения высоты с помощью фотографии, с помощью воздушного шарика, карандаша.

Для этого нам нужно было изучить все эти методы и применить их при выполнении заданной задачи. Рассмотрим методы более детально.

1. Метод Фалеса

Поскольку лучи солнца можно считать практически параллельными, то тень от дерева во столько же раз длиннее тени от какого-либо шеста, во сколько раз дерево выше шеста. Поэтому, установив вертикально шест известной высоты и измерив, отношение длины тени от дерева к длине тени от шеста, мы вычислим искомую (примерную) высоту дерева. Так Фалес измерил высоту пирамиды [1].

Применив метод Фалеса при измерении высоты школы, тень стены — 1675 см., тень ученика — 249 см, рост ученика — 179 см (рисунок 1). Используя формулу Фалеса, рассчитаем высоту школы. Получили 1204 см.

Рис. 1. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод Фалеса

2. Метод Жюля Верна

При отсутствии тени в пасмурную погоду можно воспользоваться способом измерения, который был описан в книге Жюль Верна «Таинственный остров».

С этой целью необходимо вбить в землю шест, лечь на землю так, чтобы было видно верхний конец шеста и верхушку измеряемого предмета. Измерить расстояние от шеста до предмета, измерить высоту шеста и расстояние от макушки человека до основания шеста.

Применяя метод Жуля Верна, выяснили, что расстояние от макушки ученика до школы равно 1226 см., высота шеста — 130 см. и расстояние от макушки ученика до шеста — 126 см (рисунок 2). Исходя из этого, выяснили, что высота школы равна 1265 см.

Рис. 2. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод Жюля Верна

3. Метод измерения с помощью зеркала (лужи)

Этот способ можно удачно применять после дождя, когда на земле появляются лужи. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершина предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас. Вместо лужицы можно пользоваться положенным горизонтально зеркальцем.

Рис. 3. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью зеркала (лужи)

Применяя метод зеркала, получили, что расстояние от школы до зеркала равно 1280 см., высота ученика до уровня глаз равно 168 см., расстояние от ученика до зеркала равно 170 см (рисунок 3). Отсюда получаем, что высота школы равна 1264 см.

4. Метод измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника

Можно обойтись при измерении высоты и без тени, воспользовавшись свойством равнобедренного прямоугольного треугольника. Для этого требуется изготовить один простой прибор из дощечки и трех гвоздей:

1. На доске любой формы намечают три точки — вершины равнобедренного прямоугольного треугольника;
2. В эти вершины втыкается по гвоздику;
3. К верхнему гвоздику привязывается ниточка с грузом.

Приближаясь к дереву или отдаляясь от него, найдите место, из которого, глядя на гвоздики, увидите верхушку дерева. При этом

Рис. 4. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника

Используя демонстрационный школьный равнобедренный прямоугольный треугольник, получили следующие данные: расстояние от глаз ученика до стен школы — 1074 см., рост ученика до уровня глаз — 159 см (рисунок 4). Отсюда получаем, высоту школы — 1233 см.

1. Метод измерения высоты спомощью фотографии

Для этого необходимо встать возле объекта, сфотографироваться, распечатать фото, измерить свой рост и высоту объекта на фотографии, и с помощью пропорции рассчитать реальную высоту объекта:

, где и — размеры соответственно объекта и роста человека на готовой фотографии (рисунок 5).

Рис. 5. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения высоты с помощью фотографии

Используя метод фотографии, находим отношение высоты школы к росту человека — 1214 см.

6. Метод измерения с помощью воздушного шарика

Данный метод заключается в сравнении высоты объекта с длиной нити, привязанной к воздушному шарику, наполненному гелием.

Рис. 6. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью воздушного шарика

В результате этого эксперимента длина нити, привязанная к шарику, составила 1242 см (рисунок 6).

1. Метод измерения спомощью карандаша

Данным способом пользуются скауты.

Рис. 7. Фрагмент опытно-экспериментальной части. Метод измерения с помощью карандаша

Построение прямоугольного треугольника на уровне глаз, одним из катетов которого является карандаш. При повороте карандаша на 90 градусов, один ученик совмещает грифель карандаша с подходящим к нему напарником до тех пор, пока грифель карандаша не совместиться с его макушкой и расстояние от школы до напарника и есть искомая высота школы (рисунок 7).

II.Статистическая обработка результатов экспериментов

В результате проведенной работы были получены следующие результаты (таблица 1).

Сводная таблица результатов экспериментов

Источник

Школьная научно-практическая конференция учащихся «Путь к успеху» : « Как определить высоту предмета с помощью подручных средств »

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Каменно – Балковская средняя общеобразовательная школа

Школьная научно-практическая конференция учащихся

« Как определить высоту предмета с помощью подручных средств »

Автор: Старыгина Анастасия

ученица 8 класса

Руководитель учитель математики :

5. Использованная литература………………………………15

« Время от времени следует производить

самые дикие эксперименты. Из них почти

никогда ничего не выходит, но если они

удаются, то результат бывает потрясающим »
Эразм Дарвин

В начале прошлого столетия великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в 21-м столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг — всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация — это Цивилизация Геометрии. Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. Важно, что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Геометрические знания широко применяются в жизни — в быту, на производстве, в науке.

Геометрия — это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы. Использование различных приборов, механизмов и приспособлений в наше время значительно упрощает жизнь современных людей. Но иногда возникают ситуации, когда нет возможности применить технические средства. Например: довольно часто туристам требуется определить расстояния на местности, оценить размеры предметов. Из-за отсутствия приборов это можно сделать с помощью подручных средств или на глаз.

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе математики и физики методов измерения высоты предмета.

2. Приобретенный опыт позволит находить без каких-либо сложных технических устройств расстояние до недоступных точек наиболее удобным способом. 2

3. Изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам ЕГЭ и ГИА.

Основная цель нашей работы : научиться измерять недоступные высоты разными способами, формирование математических приемов решения различных задач реальной жизни.

В связи, с чем были поставлены следующие задачи :

1. знакомство с историческим и теоретическим материалом по вопросу измерения высоты недосягаемого объекта;

2. решение практических задач;

3. показать практическое применение геометрических знаний в окружающем нас мире.

4. показать умение проводить измерительные работы на местности.

Гипотеза: Если человек знает подобие треугольников, возникнет необходимость их применения в жизни.

Методы исследования: Сравнительный, аналитический, теоретические и экспериментальные исследования:

1. работа с литературой;

2. поиск информации во всемирной сети Интернет;

3. практические методы: измерения и сравнение;

4. математические расчеты.

Объектом исследования нашей работы является здание школы.

Предметом исследования – высота школы и способы её измерения.

При написании данной работы мною были использованы знания тем: “Пропорция”, “Равнобедренный треугольник”, “Прямоугольный треугольник”, «Подобные треугольники», «Решение треугольников» для измерений на местности, связать теорию с практикой и с окружающим нас миром.

2. Теоретическая часть.

«Природа говорит языком математики. Буквы этого языка — круги, треугольники и иные математические фигуры».

Высота пирамиды по способу Фалеса.

Рассказ о Фалесе Милетском. (Я.И.Перельман Занимательная геометрия)

Усталый пришел северный чужеземец в страну Великого Хапи. Солнце уже садилось, когда он подошел к великому дворцу фараона, что–то сказал слугам. Те мгновенно распахнули перед ним двери и провели его в приемную залу. И вот он стоит в запыленном походном плаще, перед ним на золоченом троне сидит фараон. Рядом стоят высокомерные жрецы, хранители вечных тайн природы.

– Кто ты? – спросил верховный жрец.

– Зовут меня Фалес. Родом я из Милета.

Жрец надменно продолжал:

– Так это ты похвалялся, что сможешь измерить высоту пирамиды, не взбираясь на нее?

Жрецы согнулись от хохота.

– Будет хорошо,– насмешливо продолжал жрец,– если ты ошибешься не более, чем на сто локтей.

– Я могу измерить высоту пирамиды и ошибусь не более, чем на пол–локтя. Я сделаю это завтра.

Лица жрецов потемнели. Какая наглость! Этот чужеземец утверждает, что может вычислить то, чего не могут они – жрецы Великого Египта.

– Хорошо, – сказал фараон, – около дворца стоит пирамида, мы знаем ее высоту. Завтра проверим твое искусство.

На следующий день Фалес нашёл длинную палку, воткнул её в землю чуть поодаль пирамиды. Дождался определённого момента. Провёл некоторые измерения, сказал способ определения высоты пирамиды и назвал её высоту. Что сказал Фалес?

Слова Фалеса : Когда тень от палки стала той же длины, что и сама палка, то длина тени от центра основания пирамиды до её вершины имеет ту же длину, что и сама пирамида. 4

Самый легкий и самый древний способ — без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес ( Приложение 1 ) за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался его тенью. Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды должна равняться длине отбрасываемой ее тени. Это, пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени.

Чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было знать некоторые геометрические свойства треугольника, — именно следующие два:

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно – что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою (открыл сам Фалес).

Сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам.

Вооруженный этими знаниями Фалес вправе был заключить, что, его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобедренный треугольник.

Этим простым способом очень удобно воспользоваться. Но в наших широтах не так легко, как в Египте, подстеречь нужный для этого момент. Солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают, равны высоте отбрасывающих предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев.

Можно возразить, неужели без геометрии неясно, что во сколько раз дерево выше, во столько раз и тень его длиннее?

Конечно, нет. Здесь нужно применить признак подобия треугольников по двум углам.

Изменим способ Фалеса: в солнечный день можно пользоваться любой

тенью, какой бы длины не была. Измерив свою тень или тень какого – либо

шеста, вычисляем: т.е. высота предмета во столько же раз больше собственной высоты, во сколько раз тень предмета длиннее вашей тени.

По Жюль Верну.

Солнце поднялось на безоблачном небе. Всё предвещало великолепный день, один из тех ясных осенних дней, которыми природа как будто прощается с летом.

Прежде всего инженер должен был дополнить вчерашние наблюдения, определив высоту гранитной стены над уровнем моря.

— Вам, верно, понадобится такой же, как вчера, угломерный инструмент? — спросил инженера Герберт.

— Нет, дитя моё. Мы сделаем это иначе, но с такой же точностью.

Любознательный Герберт последовал за инженером на берег океана.

Сайрус Смит раздобыл тонкую прямую жердь и вымерил её длину по своему росту, который был ему известен с точностью до одного миллиметра. В жерди оказалось ровно двенадцать футов. Герберт по указанию инженера изготовил отвес, то есть, попросту говоря, привязал камень к концу длинной лианы.

В двадцати шагах от полосы прибоя и примерно в пятистах шагах от отвесной гранитной стены Сайрус Смит воткнул жердь на два фута в песок и при помощи этого примитивного отвеса установил её строго перпендикулярно к линии горизонта.

Затем он лёг на песок и отполз назад на такое расстояние, чтобы глаз его мог одновременно видеть самый кончик шеста и гребень гранитной стены.

Найденную таким образом точку он отметил на песке камнем.

Поднявшись затем с песка, он сказал Герберту:

— Помнишь ли ты геометрию?

— Немного помню, мистер Смит, — скромно ответил Герберт.

— Помнишь ли ты свойства двух подобных треугольников?

— Да. Их соответственные стороны пропорциональны.

— Так вот, дитя моё, я только что построил два подобных треугольника. Оба они прямоугольны. Меньший имеет катетами расстояние от камешка до жерди и высоту жерди; гипотенузой же ему служит луч моего зрения. Большему катетами служат расстояние от гранитной стены до того же камешка и искомая высота гранитной стены. Гипотенузой же, как и для меньшего, служит луч моего зрения, то есть продолжение первой гипотенузы.

— Ах, мистер Смит, я понял! — воскликнул Герберт. — Как расстояние от камешка до жерди пропорционально расстоянию от камешка до стены, так высота жерди пропорциональна высоте стены! Верно?

— Верно, Герберт, — ответил инженер. — Поэтому, измерив точно первые два расстояния и зная высоту жерди, мы можем вычислить по тройному правилу высоту гранитной стены так же точно, как если бы мы измерили её в натуре.

Этот способ можно применять, когда нет солнца и не видно тени от предметов. Для измерения нужно взять шест ВС, равный по длине вашему росту. Шест этот надо установить на таком расстоянии СД от предмета, чтобы лежа можно было видеть верхушку предмета Е на одной прямой линии с верхней точкой шеста В. Тогда высоту предмета можно найти, зная длину линий АС и АД, проведенной от вашей головы до основания предмета и до шеста. Вычислить по формуле ДЕ=ВС*АД/АС.

Рис.2

3. Практическая часть.

1.По способу Фалесу

Оборудование: рулетка, палка.

В солнечный день не составляет труда измерение высоты предмета, школы, по его тени. Необходимо только, взять предмет (например, палку) известной длины и установить ее перпендикулярно поверхности. Тогда от предмета будет падать тень. Зная высоту палки, измерить длину тени от палки, длину тени от предмета, высоту которого мы измеряем, можно определить высоту предмета. Для этого нудно рассмотреть подобие двух треугольников. Помните: солнечные лучи падают параллельно друг другу.

Вывод: высота школы 5,2 м

Оборудование: рулетка, палка.

Этот способ можно применять, когда нет солнца и не видно тени от предметов. Для измерения нужно взять шест, равный по длине вашему росту. Шест этот надо установить на таком расстоянии от предмета, чтобы лежа можно было видеть верхушку предмета на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Тогда высоту предмета можно найти, зная длину линии, проведенной от вашей головы до основания предмета.

Вывод: высота школы 5,1 м

Оборудование: зеркало, рулетка.

Чтобы воспользоваться этим методом нужно знать закон отражения света и свойство подобия треугольников.

Необходимо положить зеркало на землю.

Найти положение, при котором в зеркале видно отражение края крыши школы, а с другой стороны отражение человека.

Измерить расстояния: от человека до зеркала, от школы до зеркала; рост человека.

Составить простое соотношение:

где H — высота школы,

h – высота человека =1,44 м

L – расстояние от зеркала до школы = 3,68м

l – расстояние от зеркала до человека =1м

Вычислить H : H = h _* L / l

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 5,3 метра.

4. Использование треугольника с углом 45 градусов

( в качестве треугольника можно свернуть обычный лист бумаги так, чтобы один угол был равен 45 градусам.)

Оборудование: треугольник с углом 45 градусов или любой предмет его заменяющий.

Необходимо построить равнобедренный треугольник, одним из катетов которого является школа.

Отойти от школы на такое расстояние пока линия крыши школы не совместится с линией гипотенузы треугольника и вашего глаза. Держа треугольник вертикально, посмотреть вдоль гипотенузы и увидеть крышу школы.

Измерить расстояние L от школы до человека.

Прибавить к полученному числу рост человека до уровня глаз h , это и будет высота школы H .

Результаты занести в таблицу:

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 5,2 метров.

5. Метод скаутов. Используя карандаш

(ручку или палочку)

Оборудование: карандаш, рулетка.

Этот метод основан на простом измерении.

Ход работы: Поставить одного человека рядом с углом школы.

Второму отойти от школы так, чтобы видеть школу целиком.

Перед собой вытянуть руку с карандашом, зажатым в кулаке. Прищурить один глаз, и расположить карандаш так, чтобы он полностью совпал с размерами школы.

Повернуть кулак на 90 градусов так, чтобы карандаш оказался параллелен земле, при этом основание карандаша должно по- прежнему совпадать с основанием школы.

Попросить первого человека отойти от школы в сторону на которую указывает основание карандаша. Как только он достигнет точки острия карандаша, остановиться.

Измерить расстояние от школы до первого человека L – это и будет высота школы H .

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 5,2 метра.

6. Используя фотографию

Для получения результата используем метод сравнения размеров.

Поставить одного человека рядом со стеной школы.

Держа фотоаппарат вертикально сфотографировать.

По готовой фотографии измерить высоту человека, и школы.

По формуле определить высоту школы:

где H — высота школы,

h –рост человека = 1,44м,

l — рост человека на фотографии = 1,8см,

L – высота школы на фотографии = 6,5см

H =144*6,5/1,8=520 см

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 5.2 метра.

7. Используя тень предмета

Необходимое условие для применения этого метода – солнечный день. Для получения результата опять используем метод сравнения размеров.

Измерить длину тени от школы и от человека, рост которого нам известен.

По формуле определить высоту школы:

где H — высота школы,

h –рост человека =1,44м

l – длина тени от человека= 0,9 м,

L – длина тени от школы =3,28 м

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 5,25 метра.

8.Используя статистический метод

Оборудование: анкеты учащихся 9 класса.

Самый простой, но и самый ненадежный метод исследования.

Предложить оценить высоту школы на глаз как можно большему количеству людей. В опросе участвовали 17 учеников.

Рассчитать высоту школы H как среднее арифметическое полученных данных.

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 6,1 метра.

«Правду дополняет ясность»

В ходе нашего исследования мы применили восемь методов измерения высоты объекта. Самый ненадежный – статистический метод. Самым доступным способом является метод скаутов, т.к. он требует минимум оборудования и всего одно измерение. Все остальные способы связаны с применением метода сравнения, используя основы геометрии и законы оптики.

Результаты всех измерений отражены в таблице:

Даже с учетом того, что достаточным опытом я не обладаю, и проводила подобную работу впервые, можно утверждать — точность наших измерений высокая.

Мы поинтересовались у заместителя директора школы по АХЧ Лохмачева Стефана Ивановича об истинной высоте здания. По документации высота этой части школьного здания 5,22 м. Так что наши измерения достаточно верны.

Конечно, измерение высоты удаленного предмета удобнее делать, когда в наличии имеется специальное измерительное оборудование. Но не каждый раз удается предугадать ситуацию, которая может возникнуть на прогулке или в туристическом походе. Вот тогда такие простые знания пригодятся и даже помогут выйти из затруднительного положения. Приведенные в приложении способы, подобраны так, чтобы можно было измерить высоту здания, не имея при себе никакого сверх технологического оборудования. Данная работа может служить хорошим пособием для подготовки к выпускным экзаменам.

Источник