Способ исключения система уравнений

Если хотя бы один из коэффициентов $f_1(t)$ или $f_2(t)$ не равен нулю, то система называется неоднородной. Если $f_1(t) = f_2(t) = 0$, то система однородная.

Решением системы дифференциальных уравнений называется пара функций $y(t), x(t)$, подстановка которых в систему обращает её в тождество.

Разберём два основных способа решения линейных систем дифференциальных уравнений: метод исключения и метод Эйлера.

Метод исключения

Суть метода в том, что два уравнения сводятся к одному линейному дифференциальному уравнению. Для этого есть примерный алгоритм:

1. Находим производную одного из уравнений системы, например, $y»_t$
2. В получившейся производной исключаем всё что связано с $x$
3. Решаем линейное дифференциальное уравнение относительно $y(t)$
4. Подставляем получившийся $y(t)$ в одно из уравнений системы, чтобы найти $x(t)$

Применим метод исключения, чтобы из двух уравнений получить одно. Берем первое уравнение и дифференцируем его по $t$. $$\frac = \frac

Решаем методом исключения, то есть два уравнения приводим к одному. Берем производную первого уравнения по $t$. $$x» = (-2y+3t)’_t = -2y’+3$$ Знаем чему равен $y’$ из второго уравнения системы и поэтому его подставляем в получившееся последнее уравнение. $$x» = -2(2x+4)+3 = -4x — 8 + 3 = -4x — 5$$

Переписываем последнее получившееся уравнение в форме линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. $$x» + 4x = -5$$

Общее решение этого уравнения найдем в качестве суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного $x_ <о.н.>= x_ <о.о.>+ x_<ч.н.>$. Итак, составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 + 4 = 0$$ $$\lambda_1 = -2i, \lambda_2 = 2i.$$ Так как получились комплексные корни, то общее решение записывается следующим образом $$x_ <о.о.>= C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t.$$ Осталось найти $x_<ч.н.>$. Для этого воспользуемся методом подбора правой части. Так как она представляет собой константу, то значит $x_ <ч.н.>= A$. Отсюда следует, что $x»_ <ч.н.>= 0$. Подставляя эти данные в дифференциальное уравнение получаем значение $A$. $$0 + 4A = -5,$$ $$A = -\frac<5><4>.$$

Таким образом можно записать, что $$x(t) = x_ <о.о.>+ x_ <ч.н.>= C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t -\frac<5><4>.$$

Осталось найти функцию $y(t)$. Для этого выразим её из первого уравнения и подставим ранее полученный $x(t)$. $$y = \frac<3><2>t — \frac<2>,$$ $$y = \frac<3><2>t — \frac<1><2>(C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t -\frac<5><4>)’ = $$ $$ = \frac<3t> <2>+ C_1 \sin 2t — C_2 \cos 2t.$$

Берем второе уравнение и находим его производную по $t$. $$\frac = \frac

Метод Эйлера

Примерный алгоритм решения по данному методу следующий:

1. Построить матрицу $A$ из коэффициентов дифференциальных уравнений
2. Найти собственные значения $\lambda$ и векторы матрицы $\overline$
3. Записать общее решение системы дифференциальных уравнений по формуле $$\begin x(t) \\ y(t) \end = C_1 e^ <\lambda_1 t>\overline_1 + C_2 e^ <\lambda_2 t>\overline_2 $$

Рассмотрим данный метод решения на конкретном примере, так как практика учит лучше, чем теория.

Первым делом нужно составить матрицу, элементы которой равны коэффициентам из правой части системы дифференциальных уравнений. $$A = \begin 2&1 \\ 3&4 \end$$

Далее нужно найти собственные значения матрицы. Для этого необходимо составить характеристический многочлен и вычислить его корни. $$|A-\lambda E| = 0 \Rightarrow \begin 2 — \lambda & 1 \\ 3 & 4-\lambda \end = 0$$

Раскрываем определитель два на два и решаем квадратное уравнение. $$(2-\lambda)(4-\lambda)-3 = 0,$$ $$8-2\lambda -4\lambda+\lambda^2 — 3 = 0,$$ $$\lambda^2 — 6\lambda + 5 = 0,$$ $$\lambda_ <1,2>= \frac<6\pm \sqrt<36-4 \cdot 5>> <2>= \frac<6\pm 4><2>,$$ $$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 5.$$ Зная собственные значения матрицы получим собственные векторы матрицы по формуле $(A-\lambda E)\overline = 0$.

1) Для $\lambda_1 = 1$ имеем $$(A-\lambda_1 E)\overline_1 = 0 \Rightarrow \begin x_1 + x_2 = 0 \\ 3x_1 + 3x_2 = 0 \end$$ Видим, что после сокращения второго уравнения на 3 получится, что первое уравнение равно второму. $$x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2$$ Так как $x_2$ свободный, то положим его $x_2 = 1$. Тогда $x_1 = -1$. Отсюда следует, что первый собственный вектор равен $$\overline_1 = \begin -1 \\ 1 \end.$$

2) Для $\lambda_2 = 5$ имеем $$(A-\lambda_2 E)\overline_2 = 0 \Rightarrow \begin -3x_1 + x_2 = 0 \\ 3x_1 — x_2 = 0 \end$$ Замечаем, что первое уравнение одно и тоже что второе, если домножить на (-1) одно из них. $$3x_1 — x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac<3>$$ Так как $x_2$ свободный, то зададим его $x_2 = 3$. Таким образом $x_1 = 1$. Из этих значений получаем второй собственный вектор $$\overline_2 = \begin 1 \\ 3 \end.$$

Находим общее решение системы дифференциальных уравнений по формуле $$\begin x(t) \\ y(t) \end = C_1 e^ <\lambda_1 t>\overline_1 + C_2 e^ <\lambda_2 t>\overline_2 = $$ $$ = C_1 e^t \begin -1 \\ 1 \end + C_2 e^ <5t>\begin 1\\3 \end = \begin -C_1 e^t \\ C_1e^t \end + \begin C_2 e^ <5t>\\ 3C_2 e^ <5t>\end = $$ $$ = \begin -C_1 e^t + C_2 e^ <5t>\\ C_1 e^t + 3C_2 e^ <5t>\end \Rightarrow \begin x(t) = -C_1 e^t + C_2 e^ <5t>\\ y(t) = C_1 e^t + 3C_2 e^ <5t>\end$$

Источник

Как решить систему дифференциальных уравнений?

Системы дифференциальных уравнений – традиционный «хедлайнер» темы диффуров, то есть, системы ДУ обычно изучаются в последнюю очередь. Всё начинается и всё заканчивается. Первый урок по теме назывался Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений, и вот настала пора заключительной статьи. Слава те Даже прослезился. …Впрочем, это, конечно же, оказалось неправдой – через некоторое время я просто не смог себя сдержать и разобрал задачи с диффурами, а также некоторые методы приближённых вычислений =)

Предполагается, что читатель уже неплохо умеет решать дифференциальные уравнения, в частности, однородные уравнения второго порядка и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В системах дифференциальных уравнений нет ничего сложного, и если вы уверенно расправляетесь с вышеуказанными типами уравнений, то освоение систем не составит особого труда.

Существуют два основных типа систем дифференциальных уравнений:

– Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
– Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

И два основных способа решения системы дифференциальных уравнений:

– Метод исключения. Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.

– С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).

В подавляющем большинстве случаев систему дифференциальных уравнений требуется решить первым способом. Второй способ в условиях задач встречается значительно реже, за всю мою практику я решил им от силы 10-20 систем. Но и его тоже коротко рассмотрим в последнем параграфе данной статьи.

Сразу прошу прощения за теоретическую неполноту материала, но зато я включил в урок только те задания, которые реально могут встретиться на практике. То, что выпадает метеоритным дождем раз в пятилетку, вы вряд ли здесь найдете, и с такими нежданчиками следует обратиться к специализированным кирпичам по диффурам.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

Собственно, почти все практические примеры такой системой и ограничиваются =)

– это числа (числовые коэффициенты). Самые обычные числа. В частности, один, несколько или даже все коэффициенты могут быть нулевыми. Но такие подарки подкидывают редко, поэтому числа чаще всего не равны нулю.

и – это неизвестные функции. В качестве независимой переменной выступает переменная – это «как бы икс в обычном дифференциальном уравнении».

и – первые производные неизвестных функций и соответственно.

Что значит решить систему дифференциальных уравнений?

Это значит, найти такие функции и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычные системы линейных уравнений. Только там корнями являются числа, а здесь – функции.

Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений:

В фигурных скобках! Эти функции находятся «в одной упряжке».

Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть, найти частное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Частное решение системы тоже записывают с фигурными скобками.

Более компактно систему можно переписать так:

Но в ходу традиционно более распространен вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, поэтому, пожалуйста, сразу привыкайте к следующим обозначениям:
и – производные первого порядка;
и – производные второго порядка.

Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями , .

Решение: В задачах чаще всего система встречается с начальными условиями, поэтому почти все примеры данного урока будут с задачей Коши. Но это не важно, поскольку общее решение по ходу дела все равно придется найти.

Решим систему методом исключения. Напоминаю, что суть метода – свести систему к одному дифференциальному уравнению. А уж дифференциальные уравнения, надеюсь, вы решаете хорошо.

Алгоритм решения стандартен:

1) Берем второе уравнение системы и выражаем из него :

Данное уравнение нам потребуется ближе к концу решения, и я помечу его звёздочкой. В учебниках, бывает, натыкают 500 обозначений, а потом ссылаются: «по формуле (253)…», и ищи эту формулу где-нибудь через 50 страниц сзади. Я же ограничусь одной единственной пометкой (*).

2) Дифференцируем по обе части полученного уравнения :

Со «штрихами» процесс выглядит так:

Важно, чтобы этот простой момент был понятен, далее я не буду на нём останавливаться.

3) Подставим и в первое уравнение системы :

И проведём максимальные упрощения:

Получено самое что ни на есть обычное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Со «штрихами» оно записывается так: .

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены различные действительные корни, поэтому:
.

Одна из функций найдена, пол пути позади.

Да, обратите внимание, что у нас получилось характеристическое уравнение с «хорошим» дискриминантом, а значит, мы ничего не напутали в подстановке и упрощениях.

4) Идём за функцией . Для этого берём уже найденную функцию и находим её производную. Дифференцируем по :

Подставим и в уравнение (*):

Или короче:

5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:

6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям , :

Здесь из первого уравнения я почленно вычел второе уравнение, более подробно о методе можно прочитать в статье Как решить систему линейных уравнений?

Ответ: частное решение:

Полученный ответ достаточно легко проверить, проверку осуществим в три шага:

1) Проверяем, действительно ли выполняются начальные условия , :

Оба начальных условия выполняются.

2) Проверим, удовлетворяет ли найденный ответ первому уравнению системы .

Берём из ответа функцию и находим её производную:

Подставим , и в первое уравнение системы:

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет первому уравнению системы.

3) Проверим, удовлетворяет ли ответ второму уравнению системы

Берём из ответа функцию и находим её производную:

Подставим , и во второе уравнение системы:

Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет второму уравнению системы.

Проверка завершена. Что проверено? Проверено выполнение начальных условий. И, самое главное, показан тот факт, что найденное частное решение удовлетворяет каждому уравнению исходной системы .

Аналогично можно проверить и общее решение , проверка будет даже еще короче, так как не надо проверять выполнение начальных условий.

Теперь вернемся к прорешанной системе и зададимся парой вопросов. Решение начиналось так: мы взяли второе уравнение системы и выразили из него . А можно ли было выразить не «икс», а «игрек»? Если мы выразим , то это нам ничего не даст – в данном выражении справа есть и «игрек» и «икс», поэтому нам не удастся избавиться от переменной и свести решение системы к решению одного дифференциального уравнения.

Вопрос второй. Можно ли было начать решение не со второго, а с первого уравнения системы? Можно. Смотрим на первое уравнение системы: . В нём у нас два «икса» и один «игрек», поэтому необходимо выразить строго «игрек» через «иксы»: . Далее находится первая производная: . Потом следует подставить и во второе уравнение системы. Решение будет полностью равноценным, с тем отличием, что сначала мы найдем функцию , а затем .

И как раз на второй способ будет пример для самостоятельного решения:

Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

В образце решения, который приведен в конце урока, из первого уравнения выражен и вся пляска начинается от этого выражения. Попытайтесь самостоятельно по пунктам провести зеркальное решение, не заглядывая в образец.

Можно пойти и путём Примера №1 – из второго уравнения выразить (заметьте, что выразить следует именно «икс»). Но этот способ менее рационален, по той причине, что у нас получилась дробь, что не совсем удобно.

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений

Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее.

Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:

По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т.д.

Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям

Решение: Дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения, при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения.

1) Из первого уравнения системы выражаем:

Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби?

И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу.

2) Дифференцируем по обе части:

Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю.

3) Подставим и во второе уравнение системы :

Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:

Теперь проводим упрощения:

В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе.

Примечание: Тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому:
.

Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .
Найдем первую и вторую производную:

Подставим в левую часть неоднородного уравнения:

Таким образом:

Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».

В результате:

4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции :

Не особо приятно, но подобные производные в диффурах приходится находить часто.

Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе.

Подставим
и в уравнение (*):

5) Общее решение системы:

6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям :

Окончательно, частное решение:

Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем.

Ответ: частное решение:

Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры.

Пример проще для самостоятельного решения:

Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям

Данная задача решена мной по образцу Примера №1, то есть, из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока.

В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Как уже отмечалось в начале статьи, с помощью характеристического уравнения систему дифференциальных уравнений требуют решить довольно редко, поэтому в заключительном параграфе я рассмотрю всего лишь один пример.

Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений

Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения

Решение: Смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка:

По какому принципу составлен определитель, думаю, всем видно.

Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали, вычитаем некоторый параметр :

На чистовике, естественно, сразу следует записать характеристическое уравнение, я объясняю подробно, по шагам, чтобы было понятно, что откуда взялось.

Раскрываем определитель:

И находим корни квадратного уравнения:

Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:

Коэффициенты в показателях экспонент нам уже известны, осталось найти коэффициенты

1) Рассмотрим корень и подставим его в характеристическое уравнение:

(эти два определителя на чистовике тоже можно не записывать, а сразу устно составить нижеприведенную систему)

Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Из обоих уравнений следует одно и то же равенство:

Теперь нужно подобрать наименьшее значение , такое, чтобы значение было целым. Очевидно, что следует задать . А если , то

2) Всё аналогично. Рассмотрим корень и устно подставим его в характеристическое уравнение:

Из чисел определителя составим систему:

Из обоих уравнений следует равенство:

Подбираем наименьшее значение , таким образом, чтобы значение было целым. Очевидно, что .

Все четыре коэффициента найдены, осталось их подставить в общую формулу

Ответ: общее решение:

Для тренировки можете с помощью характеристического уравнения решить Пример 1 (подходит только он) данного урока, тем более, есть известный ответ.

Что делать, когда корни характеристического уравнения являются кратными или сопряженными комплексными? В своей коллекции искал-искал примеры, да так и не нашел. Потом стал вспоминать, а встречались ли мне такие уравнения вообще? Да, встречалось. Один раз много лет назад.

Но что делать, если вам таки попался раритет? Порекомендую неплохую, вполне доступную книгу по диффурам: М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко Дифференциальные уравнения. Можно прямо выделить мышкой авторов, название книги и скопировать их в поисковик. Лично не закачивал (у меня есть бумажная версия книги), но весь серп забит бесплатными предложениями о закачке. В разделе про системы дифференциальных уравнений рассмотрены все случаи решения системы методом характеристического уравнения (методом Эйлера).

Учитывая крайне низкую вероятность встречи с такими уравнениями, не считаю нужным включать их в урок, при необходимости юзайте рекомендованную мной книгу.

Так же редко встречаются системы из трех дифференциальных уравнений с тремя переменными (вспомнил от силы 2-3 примера из личной практики). Поэтому они тоже здесь отсутствуют, переписывать же единичные примеры из каких-то сторонних источников, смысла вообще не вижу.

Надеюсь, ваше плавание в дифференциальных уравнениях было успешным!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Выразим из первого уравнения системы :

Дифференцируем по :
.
Подставим и во второе уравнение системы:

Характеристическое уравнение:


– кратные действительные корни, поэтому .
Дифференцируем по :

Подставим и в уравнение (*):

Общее решение системы:

Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Ответ: частное решение:

Пример 4: Решение: Выразим их второго уравнения системы:

Дифференцируем по :
.
Подставим и в первое уравнение:


Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:

– сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения:
Таким образом: .
Дифференцируем по :

Подставим и в уравнение (*):

Общее решение системы:

Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Ответ: частное решение:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Вам также может понравиться

Ясень семена способ распространения

Ясень обыкновенный Fraxinus excelsior – так в ботанической

Ярлыки способы создания ярлыков ос windows

Создаем ярлыки на рабочем столе Windows Создаем ярлыки

Японское удобрение фуджима способ применения

Удобрения Фуджима Знаете потрясающее удобрение, палочка

Японский чай способ заварки

Технология заваривания японского чая Известно, что