Способ группировки алгебра 7 класс объяснение

Способ группировки

Кроме вынесения общего множителя за скобки существует еще один способ разложения многочлена на множители — способ группировки.

Этот способ разложения на множители считается более сложным, поэтому перед его изучением, убедитесь, что вы уверенно выносите общий множитель за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.

1. Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.
2. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
3. Вынести полученный общий многочлен за скобки.

Рассмотрим пример разложения многочлена на множители способом группировки.

Подчеркнем повторяющиеся буквенные множители в одночленах.

Примеры способа группировки

Группировать одночлены можно по-разному. При правильной группировке должен появиться общий многочлен .

Рассмотрим пример. Требуется разложить многочлен на множители, используя способ группировки.

Первый способ

Обратим внимание, что в двух одночленах повторяется « y 2 » и « z 2 ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены и запишем их друг за другом. Затем вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48x z 2 + 32x y 2 − 15 z 2 − 10 y 2 = 48x z 2 − 15 z 2 + 32x y 2 − 10 y 2 = 3z 2 (16x − 5) + 2y 2 (16x − 5) =
= (16x − 5)(3z 2 + 2y 2 )

Второй способ

Запишем пример еще раз. Теперь обратим внимание, что в первых двух одночленах повторяется « x ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены. Вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48 x z 2 + 32 x y 2 − 15z 2 − 10y 2 = 16x(3z 2 + 2y 2 ) − 5(3z 2 + 2y 2 ) = (3z 2 + 2y 2 )(16x − 5)

В итоге получился такой же ответ, как и при первом способе.

Рассмотрим еще один пример разложения многочлена способом группировки.

4q(p − 1) + p − 1 = 4q(p − 1) + (p − 1) = 4q(p − 1) + 1 · (p − 1) = (p − 1)(4q + 1)
В этом примере следует отметить, что для вынесения общего многочлена мы добавили умножение на 1 к многочлену (p − 1) , что не изменяет результат умножения.
Это помогает понять, что останется во второй скобке после вынесения общего многочлена.

Смена знаков в скобках

Иногда для вынесения общего многочлена требуется сменить все знаки одночленов в скобках на противоположные.

Для этого за скобки выносится знак « − », а в скобках у всех одночленов меняются знаки на противоположные.

2ab 2 − 3x + 1 = −( − 2ab 2 + 3x − 1)

Рассмотрим пример способа группировки, где для вынесения общего многочлена, нам потрубуется выполнить смену знаков в скобках.

• 2m(m − n) + n − m = − 2m( − m + n) + (n − m) = −2m(n − m) + 1 · (n − m) =
  = (n − m)(−2m + 1)

Источник

Разложение многочлена способом группировки

О чем эта статья:

Основные понятия

Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей.

Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:

Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые подчеркнуты на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Формулы сокращенного умножения.
3. Метод группировки.
4. Выделение полного квадрата.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Способ группировки множителей

Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.

Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.

Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:

1. Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
2. Вынести общий множитель за скобки.
3. Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.

Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И ее всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.

Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.

Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.

up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd)

Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.

Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.

Получим: p(u — b) + d(u — b).

Заметим, что общий множитель (u — b).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd)

Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.

Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.

Получим: u(p + d) — b(p + d).

Заметим, что общий множитель (p + d).

Вынесем его за скобки:

Группировка множителей выполнена.

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, поэтому оба ответа верны:

(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).

Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.

Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).

1. Найдем общий множитель: (m — n)
2. Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d).

Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).

Пример 3. Разложить на множители с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.

5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)

Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).

Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.

Проверим как это на следующем примере.

Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b.

1. Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:

ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (ax 2 — bx 2 ) + (bx — ax) + (a — b) = x 2 (a — b) — x(a — b) + (a — b)

Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).

1. Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:

x 2 (a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x 2 + x + 1)

Ответ: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (a — b)(x 2 + x + 1)

Источник

Разложение многочлена на множители методом группировки

Алгоритм разложения многочлена на множители методом группировки

1. Разгруппировать многочлен на группы, которые имеют общий множитель. Если таких групп нет, перейти к шагу 4.
2. Вынести в каждой группе общий множитель за скобки.
3. Перейти к шагу 1.
4. Закончить работу.

Примеры

Пример 1. Разложите на множители:

а) $9x^2-27xy+7xz-21yz = (9x^2-27xy)+(7xz-21yz) = $

б) ax+3-3x-a = (ax-3x)+(3-a) = x(a-3)-(a-3) = (x-1)(a-3)

в) $ x^3+x^2+x+1 = (x^3+x^2 )+(x+1) = x^2 (x+1)+(x+1) = (x^2+1)(x+1)$

г) $3a^2-3ax-7a+7x = (3a^2-3ax)-(7a-7x) = 3a(a-x)-7(a-x) = $

Пример 2. Вычислите:

а) $22,5 \cdot 11,3+77,5\cdot16,5+22,5\cdot16,5+77,5\cdot11,3 =$

$ = 100 \cdot 10 = 1000$

Пример 3. Решите уравнение:

(x+2)(x-3) = 0 $\Rightarrow \left[ \begin x+2 = 0 \\ x-3 = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -2 \\ x_2 = 3 \end \right. $

$ (x^2+1)(x-5) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x^2+1 = 0 \\ x-5 = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin не бывает \\ x = 5 \end \right. \Rightarrow x = 5 $

$(x^2+1 \ge 1,$ не может быть равно 0)

$(x^3+1)(x-4) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x^3+1 = 0 \\ x-4 = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -1 \\ x_2 = 4 \end \right. $

г*) $ x^4+x^3+2x^2+x^2+3x+2 = 0$

Заметим что $(x+1)(x+2) = x^2+2x+x+2 = x^2+3x+2$

$(x^2+1)(x^2+3x+2) = 0 \Rightarrow \left[ \begin x^2+1 = 0 \\ x^2+3x+2 = 0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin не бывает \\ (x+1)(x+2) = 0 \end \right. \Rightarrow$

$\Rightarrow \left[ \begin x+1 = 0 \\ x+2 = 0\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1 = -1 \\ x_2 = -2\end \right. $

Пример 4*. Разложите трёхчлен на множители:

а) $x^2+5x+6 = (x^2+3x)+(2x+6) = x(x+3)+2(x+3) = (x+2)(x+3)$

в) $x^2+7x-30 = (x^2+10x)-(3x+30) = x(x+10)-3(x+10) = (x-3)(x+10)$

г) $x^2-5x-50 = (x^2-10x)+(5x-50) = x(x-10)+5(x-10) = (x+5)(x-10)$

Пример 5. Докажите, что

а) $5^5-5^4+5^3-5^2$ делится на 13

Разложим на множители:

$(5^5-5^4 )+(5^3-5^2 ) = 5^4 (5-1)+5^2 (5-1) = (5^4+5^2 )(5-1) = (5^4+5^2 )\cdot4 =$

$= 4\cdot5^2 (5^2+1) = 4\cdot25\cdot26 = 4\cdot25\cdot2\cdot13 $

Что и требовалось доказать.

б) $2^<13>-2^<10>-2^9+2^6$ делится на 17

Разложим на множители:

Что и требовалось доказать.

Пример 6. Представьте в виде произведения трёх множителей:

а) $ a^2 b-a^2 c-abx+acx = (a^2 b-a^2 c)-(abx-acx) = a^2 (b-c)-ax(b-c) = $

б) $6x^2 y-10xy^2+9x^2 z-15xyz = (6x^2 y+9x^2 z)-(10xy^2+15xyz) =$

$= 3x^2 (2y+3z)-5xy(2y+3z) = (3x^2-5xy)(2y+3z) = x(3x-5y)(2y+3z)$

Источник

Способ группировки
план-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему

Скачать:

Вложение	Размер
sposob_gruppirovki_7_klass.docx	19.58 КБ

Предварительный просмотр:

Разложение многочлена на множители способом группировки

Учитель математики: Березкина Ирина Александровна

• способствовать деятельности учащихся по самостоятельному выводу алгоритма разложения многочлена на множители способом группировки на основании применения переместительного и сочетательного законов сложения и распределительного закона умножения;
• продолжать работу по формированию у каждого учащегося личной потребности в последовательной деятельности, связанной с “открытием” нового правила, развитию творческих способностей учащихся;
• продолжить работу по формированию ответственности учащихся за свою деятельность на уроке, умений самостоятельно добывать знания, овладению способами и критериями самоконтроля и самооценки.

Тип урока : изучение нового, проблемный.

Методы обучения : проблемный, частично-поисковый.

Форма организации учебной деятельности : групповая, фронтальная, индивидуальная.

1 слайд тема нашего урока Разложение многочлена на множители способом группировки.

Цель урока: научиться раскладывать многочлен на множители способом группировки.

Сегодня урок пройдет в не совсем обычной форме. Вы будете не просто учениками 7 класса, а членами Академии Точных Наук. Как и в любой Академии решается множество проблем, так и мы сегодня должны будем выполнить ряд задач, в решении которых нам помогут знания по теме: «Разложение многочлена на множители».

2 слайд план урока:

1) Математический диктант

2) письмо от астрономов

3) письмо от археологов

4) письмо от работников Берлинского музея

3 слайд девиз урока: Достижения крупные – людям никогда не давались легко!

Прежде чем мы приступим к решению задач, нужно проверить, насколько вы готовы к этому. В этом нам поможет главный теоретик нашей Академии филин, на вопросы и задания которого вы должны ответить.

1. Актуализация опорных знаний.

Вынести за скобки общий множитель:

5) 8m 2 n – 4mn 3

2. Когда мы выносим общий множитель за скобки, мы представляем многочлен в виде произведения множителей. Для чего это может быть нужно? (Чтобы решить уравнение или сократить дробь).

Теперь мы можем приступить к решению проблем, которые стоят перед нашей Академией.

4 слайд в адрес Академии пришло письмо от астрономов, исследующих поверхность Марса. Не так давно на этой самой поверхности был обнаружен участок с таинственными символами, которые астрономы никак не могут разгадать. Давайте поможем им.

Решите уравнение: 5х 2 + 5х = 0 у доски

5 x (x+1) =0 , x=0 или x=-1.

3. Мотивирование необходимости разложения многочлена на множители.

Решите уравнение: x 2 +3x +6 +2x =0

Создается проблемная ситуация: задача знакома на первый взгляд, но не решается. Мы знаем, что удобно решать уравнение, в правой части которого 0, раскладывая его левую часть на множители.

— Есть ли общий множитель у всех слагаемых? (Нет)

— Значит, этот способ разложения на множители не подходит.

Постановка учебной задачи: научиться раскладывать многочлен на множители другим способом.

1) Эвристическая беседа.

Рассмотрим многочлен 5x +5y +m x +my. (запись на доске)

— Есть ли общий множитель у всех слагаемых?

Применим “метод пристального взгляда”. Что вы увидели?

(Есть общий множитель 5 у первого и второго слагаемых и общий множитель m у третьего и четвертого слагаемых.)

— Давайте объединим их в группы. — Каким законом сложения воспользуемся? (Сочетательным)

— Что можно сделать с общим множителем в каждой группе? (Вынести его за скобки) .

— Каким законом умножения воспользуемся? (Распределительным)

— Сколько сейчас получилось слагаемых? (Два)

— Что интересного заметили в получившемся выражении? (Есть один общий множитель (х+у) )

— Вынесем его за скобки.

— Что мы получили? (Произведение)

— Значит, многочлен представили в виде произведения. Каким способом? (Объединяя слагаемые в группы)

— Поэтому этот способ называется способом группировки.

— Нельзя ли этот же многочлен разложить на множители, группируя слагаемые иначе? Какие законы сложения и умножения будем использовать?

(5x +5y ) +(m x +my) = x(5 +m) + y (5 +m) =(x +y) (5 +m)

— Какой получился результат? (Такой же, как и в первом случае)

5 слайд алгоритм разложения выгладит так:

а) выполнить группировку слагаемых, имеющих общий множитель;

в) отдельно в каждой группе найти общий множитель и вынести его за скобки;

с) в получившемся выражении найти общий множитель и вынести его за скобки.

Этот алгоритм поможет учащимся в дальнейшей работе на этом и последующих уроках.

Замечательно! Я думаю, астрономы будут очень довольны. Возможно, мы скоро получим ответ на вопрос: «Есть ли жизнь на Марсе».

2) Отработка правила.

Работая с алгоритмом, учащиеся действуют поэтапно, отдавая себе отчет, что надо сделать и почему. Происходит осознание нового правила, его осмысление и запоминание.

6 слайд а вот и другое письмо.

Археологи, исследуя гробницы Египта, обнаружили в одной из пирамид дверь, для открытия которой нужно разгадать код. Помогите археологам. Вот этот код:

а) Фронтальная работа с пооперационным контролем. (1 ученик у доски))

ах+ ау- х – у = (ах + ау) + (-х – у) = а(х + у) – (х + у) = (х + у)(а – 1)

ав-8а-вх+8х = (ав – вх) + (-8а + 8х) = в(а – х) + 8(-а + х) = (а – х)(в – 8) (-1 выносим за скобку)

x 2 m- x 2 n + y 2 m- y 2 n = (m – n)(х 2 + у 2 )

потрясающе! Теперь археологи наконец – то откроют эту загадочную дверь и возможно, найдут множество сокровищ.

7 слайд А мы переходим к следующему письму. Оно к нам пришло из Германии. Просматривая старые архивы, работники Берлинского музея обнаружили обрывки рукописи, которые вам предстоит восстановить.

б) Дифференцированные задания по уровням. (работа в парах)

Ситуация выбора в процессе выполнения самостоятельной работы. Учащиеся могут выбрать один из предложенных вариантов, который кажется им соответствующим их уровню знаний, то есть вырабатывается навык самооценки.

А. Задания нормативного уровня.

1) 7а-7в+ аn – b n = (а – в)(7 + n)

2) x y+ 2y+2x+4 = (у + 2)(х + 2)

3) y 2 a-y 2 b+x 2 a- x 2 b = (а – в)(у 2 + х 2 )

Б. Задания компетентного уровня

1) x y+ 2y-2x-4 = (х + 2)(у – 2)

2) 2сх – су – 6х + 3у = (2х – у)(с – 3)

3) х 2 +x y+ xy 2 +y 3 = (х + у)(х + у 2 )

С. Задания творческого уровня

1) x 4 +x 3 y- xy 3 -y 4 = (х +у)(х 3 – у 3 )

2) ху 2 – ву 2 – ах + ав + у 2 – а = (у 2 – а)(х – в + 1)

3) х 2 – 3х + 6 – 2х = (х – 2)(х – 3)

8 слайд В результате получили: «Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир». И.В.Гете.

Посмотрите, какая замечательная фраза. Работники музея будут очень вам благодарны за оказанную помощь. Молодцы! Теперь эта фраза войдет в историю, и мы в этом непосредственно участвовали.

9 слайд Подведение итогов. Рефлексия

— Какая задача состояла перед нами в начале урока? (научиться раскладывать многочлен на множители способом группировки)

Можно ли считать, что мы ее решили?

Вернемся к нашему уравнению: ( у доски учитель)

Ответ: х=-3 или х=-2.

С каким настроением вы уходите с урока — покажите с помощью выбора смайлика:

Если вам понравился урок и вы чувствуете, что тему поняли, то выбирайте смайлик счастья.

Если урок понравился, но не все еще понятно, то смайлик печали.

Если и урок не понравился, и все не понятно, то плачущий смайлик.

10 слайд Домашнее задание

П. 30, № 710, 712, 713 стр. 142 ( Алгебра: учебник для 7 класса под редакцией С. А. Теляковского, М., 2007) .

1. Поурочные планы по математике в 7 классе, З.С.Стромова, Волгоград 2008г
2. Ключ к пониманию алгебры 7-9 класс, М.Б.Волович, Москва 1997г

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Алгебра 7 класс. Урок на тему: «Разложение многочленов на множители способом группировки».

Алгебра 7 класс. Урок на тему: «Разложение многочленов на множители способом группировки». Урок с использованием информационных технологий, технологий личностно-ориентированного и проблемного об.

Разложение многочлена на множители способом группировки 7 класс

Урок с использованием ЭОР.

урок по теме «Разложение многочлена на множители способом группировки» 7 класс

Третий урок в теме, конспект урока с элементами исследования и презентация.

Разложение многочлена на множители способом группировки.

данный урок является уроком отработки навыков разложения многочлена на множители способом группировки и проверки первичного усвоения нового материала.

технологическая карта урока «Способ группировки»

Первый урок по теме, формирование понятия.

Урок по теме:»Способ группировки»

Разложение многочлена на множители способом группировки

Цель урока: научиться раскладывать многочлен на множители способом группировки. Сегодня урок пройдет в не совсем обычной форме. Вы будете не просто учениками 7 класса, а членами Академии Точных Наук.

Источник