Способ доказательства нисходящий анализ

IX Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2017

ОБЩИЕ МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ: АНАЛИЗ И СИНТЕЗ

Основную нагрузку по формированию у учащихся умения доказывать несёт курс геометрии. Д. Пойа указывал на важную роль, которую играют доказательства при построении геометрической системы: «Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы»

Существуют частные и общие методы доказательств теорем. К частным методам доказательства относят метод геометрических преобразований, векторный, координатный, алгебраический методы и т. д. Но в данной статье более подробно остановимся на общих методах, которые более часто встречающиеся в школьном курсе математике, а именно синтетический, аналитический методы (нисходящий и восходящий анализ), доказательство от противного и т.д.

Среди всех методов доказательства теорем в школьном курсе геометрии основную нагрузку несет синтетический метод, ибо он является составной частью доказательства любым другим методом.

Доказательство математического предложения M: A(x)=* => В(х) называется синтетическим, если оно осуществляется по следующей логической схеме: (А(х)^Т)=>В₁(х)=>В₂(х)=* . =*=>Вn(х)=>В(х), где Т — определенная совокупность предложений той математической теории, в рамках которой доказывается данное предложение и которой принадлежат В₁(х), В₂(х), . Вn(х), составляющих доказательство, а также суждения А(х) и В(х).

Таким образом, при синтетическом методе доказательства теоремы цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от условия теоремы к ее заключению.

Рассмотрим синтетическое доказательство теоремы «о сумме внутренних углов треугольника.»

Дано:АВС – треугольник (рис.1)

Проведем через вершину В прямую, а, параллельную АС.

Рассмотрим 1 и 4; они являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых, а и АС и секущей АВ, а значит, 1=4.

Рассмотрим 3 и 5; они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых, а и АС и секущей ВС, а значит, 3=5.

Сумма 4, 2, 5 равна развернутому углу с вершиной В, т.е. 4+2+5= 180°.

Теорема доказана. [2]

При аналитическом доказательстве теоремы M: A(x)=>В(х) цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида).

Восходящим анализом (совершенным анализом) называется такая разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения, подбирают для него достаточное условие — такое суждение В1(х), что В₁(х)=>В(х), затем подбирают достаточное условие В₂(х) для В₁(х), такое, чтобы В₂(х):=>В₁(х) было истинным, и так далее до тех пор, пока не получат такое достаточное условие Вn(х) для Вn_-1(х), что Вn(х) => Вn_-1(х) и Вn(х) выполняется (истинно). При этом используется как условие А(х) доказываемого предложения, так и некоторая совокупность Т связанных с А(х) и В(х) предложений данной теории, истинность которых уже была установлена.

Сущность метода восходящего анализа состоит в том, что рассуждения строятся по схеме: для того, чтобы В(х) было верно, достаточно, чтобы было верно С(х), и т. д.

Рассмотрим доказательство теоремы методом восходящего анализа. Теорема: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».

Для того чтобы доказать, что ACBD (рис. 2), достаточно доказать, что ВОАС.

Для того чтобы доказать, что ВОАС, достаточно доказать, что ВО — высота треугольника ABC.

Для того чтобы доказать, что ВО является высотой треугольника ABC у достаточно доказать, что треугольник ABC равнобедренный и ВО в нем является медианой.

Для того чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, достаточно доказать, что в нем АВ = ВС.

Но АВ = ВС по условию (ABCD — ромб) и ВО — медиана треугольника ABC (так как АО = ОС по свойству диагоналей параллелограмма).

Теперь, идя обратным путем, от пункта 5 к пункту 1, мы и докажем сформулированную теорему. [2]

Нисходящим анализом (несовершенным анализом) называют такую разновидность аналитического метода, при которой, отталкиваясь от заключения В(х) доказываемого предложения А(х)=>В(х), рассуждения ведут путем последовательного получения логических следствий: В(х) =>В₁(х)=>В₂(х)=>. => Вn(х), где Вn(х) есть предложение, истинное значение которого нам точно известно. При выведении следствий из В(х) временно допускают, что оно истинно.

При нисходящем анализе, так же, как и при восходящем, рассуждения ведут от заключения теоремы, но подбирают уже не достаточные, а необходимые условия.

Для примера рассмотрим доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник — параллелограмм».

Пусть ABCD — параллелограмм (рис. 3). (В(х))

Тогда ВС || AD и АВ || DC. (В₁(х))

Тогда ACB=CAD, BAC = ACD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). (В₂(х))

Из равенства этих углов с учетом того, что АС — общая сторона треугольников ABC и ADC, следует: ∆ABC = ∆ADC. (B₃(x))

Тогда AD = BC, AB = DC, АС=АС. (А(х))

Итак, имеем В(х)^Вг(х)=>В2(х)=>В3(х)=>А(х)> где А(х) — истинно.

Проведя теперь рассуждения в обратном порядке А(х)=>В3(х)=>В2(х)=>В1(х)=>В(х), мы получим синтетическое доказательство. [2]

Рассмотрим еще несколько примеров, в которых используется несколько способов доказательства теоремы, а именно рассмотрим аналитико-синтетический метод.

На наш взгляд, ярким примером можно считать доказательство следующей теоремы: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм».

В методических руководствах приводят одно изолированное так называемое синтетическое доказательство, но я приведу соответствующее доказательство к выше отмеченной теореме, с помощью аналитико-синтетического метода:

Требуется доказать, что ВС параллельно АД.

Для этого достаточно доказать, чтобы внутренние накрест лежащие углы ВСО и ОАД, образованные прямыми ВС и АД и секущей АС были равны.

А для того, чтобы доказать, что эти углы равны надо доказать равенство треугольников ВОС и ДОА, и что интересующие нас углы лежат против соответственно равных сторон. В последнем убеждаешься из чертежа, так как ВО=ОД по условию.

Для того, чтобы треугольники ВОС и ДОА были равны достаточно доказать либо первый, либо второй, либо третий признак равенства треугольников. В данном случае нам удобнее доказать первый признак, т.к. ВО=ОД и СО=ОА по условию теоремы, а углы ВОС и ДОА равны, как вертикальные.

Далее составляем схему проведенного анализа:

Чтобы доказать ——->

Надо доказать

II. ВСО=ОАД, как внутренние накрест лежащие, образованные прямыми ВС, АД и секущей АС

III. ВОС=ДОА, и углы ВСО и ОАД лежат против равных сторон

III. Треугольник ВОС= Треугольник ДОА

IV. Равенство трех его элементов и определить признак равенства треугольников

ОА=ОС – по условию

ВО=ОД – по условию

Треугольник ВОС= Треугольник ДОА по I. признаку

ТО II>III>IV), перебираясь, каждый раз от заключения к его основанию, происходит рассуждение по схеме: «чтобы доказать (I), надо доказать (II) и т.д.» [1]

Проще говоря, мы создаем некую цепь определенных действий и условий: каждое верхнее суждение есть необходимое условие для нижнего. После проведенного анализа нужно воссоединить все в одно целое, т.е. провести синтез. Предположим, что будет проводиться рассуждение справа налево (IV>III>II>I), нанизывая цепь достаточных условий от основания к заключению, и рассуждая так: «если IV, то III, если III, то II и т.д.»

На основании всего этого происходит обучение анализу, немедленно перерастающему в синтез – в этом как раз заключатся одно из направлений совершенствование дидактики.

Как отмечают методисты, анализ ведет к более глубокому и сознательному усвоению учебного материала и способствует активному и творческому развитию логического мышления учащихся, нежели синтез. Но как уже отмечалось ранее, анализ и синтез неотделимы друг от друга.

Таким образом, можно сделать вывод, о том, что использование таким таких общих методов доказательств, как анализ и синтез является одни из самых хороших инструментов для воспитания у учащихся потребностей обосновывать каждый шаг. Хотя первоначальное знакомство с таким обучением и требует значительной затраты времени, но в дальнейшем это все окупается. Чтобы такой урок дал эффект учителю необходимо продумывать каждый шаг, вести школьников от ступеньки к ступеньке, следить, чтобы мысли учащихся шли в нужном направлении, чтобы не ускользало от их внимания главное, чтобы все даже самые слабые ученики принимали участие в открытии нового. Не всегда, конечно, можно его применить, но там, где это, возможно, наблюдается наиболее глубокий интерес школьников, развивается логическое мышление, повышается познавательная активность.

Такая кропотливая работа, в конечном счете, приносит свои плоды, потому что ученики приобретают исследовательские навыки и, что не менее важно, с большим интересом работают на уроке.

Список литературы:

Далингер В. А. Методика обучения учащихся доказательству математических предложений. – М. Просвещение, 2006. – 250с.

Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. Учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2003. – 384с.

Журнал «Отечественные записки» — Выпуск журнала № 2 (3) 2002.

Подаева Н.Г. Психолого-дидактические задачи обучения математике: уровни понимания, усвоения и применения материала // Психология образования в поликультурном пространстве. – Елец, 2009 г., т. 2., № 3-4, с. 30-40.

Подаева Н.Г., Подаев М.В. Социокультурное содержание школьного математического образования: мыследеятельностные технологии // Письма в эмиссия.Оффлайн: электронный научный журнал. – СПб, 2013. № 1. с. 1948.

Кузовлев В.П., Подаев М.В. Развитие логического компонента мыслительной деятельности младших подростков // Психология образования в поликультурном пространстве. – Елец, 2010. т. 4. № 4. с. 90-98.

Источник

Методы, используемые при аналитико-синтетической деятельности

Сущность метода восходящего анализа заключается в том, что исходным методом решения задачи является ее заключение, преобразование которого происходит путем отыскания достаточных признаков его справедливости, т. е. таких, из верности которых неизбежно следует справедливость заключения задачи.

Просмотр содержимого документа
«Методы, используемые при аналитико-синтетической деятельности»

Анализ (греческое analysis – разложение, расчленение, разбор) — проце­дура мыслительного расчленения предмета (явления, процесса) свойства предмета на части, компоненты; выделение в предмете аспектов его изуче­ния. Предметом анализа может быть все, даже любой психологический акт, ощущение, восприятие, представление, мысль, логический прием, любая на­учная теория [10].

Анализ часто представляется как многоступенчатый процесс. Что-то, что достигнутое в результате первоначального анализа, становится затем предметом более глубокого анализа. Этот переход от одного уровня анализа к другому, более глубокому, определяется и характером новых задач, возни­кающих в ходе познания. В науке выделяют два вида анализа: восходящий и нисходящий. Вкратце опишем каждый из этих определений.

Сущность метода восходящего анализа заключается в том, что исход­ным моментом решения задачи является ее заключение, преобразование ко­торого происходит путем отыскания достаточных признаков его справедли­вости, т. е. таких, из верности которых неизбежно следует справедливость заключения задачи (теоремы).

Общая схема восходящего анализа такова: пусть надо доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого следует А. Далее подбираем такое утверждение С, из которого следует утверждение В. Поиск продолжа­ется до тех пор, пока не найден путь решения задачи. Восходящий анализ представляет значительный интерес для решения проблем, поиска решения: он содержит в себе стратегию построения доказательства (решения), подска­зывает пути творческого поиска путей обоснования. Однако восходящий анализ не является универсальным и имеет свои слабые стороны. Сложность заключается прежде всего в том, что для доказательства истинности может быть не одно, а несколько оснований. Это приводит ученика к необходимости рассматривать несколько различных вариантов рассуждений, некоторые из которых могут поставить его в тупик. Но, несмотря на это, вос­ходящий анализ является одним из наиболее эффективных средств составле­ния плана решения задачи. Дело в том, что при решении подавляющего большинства задач, традиционно решаемых в курсе геометрии средней шко­лы, решение начинается с синтетической деятельности, т. е. с рассмотрения наиболее естественных выводов, которые можно получить из условия задачи. Однако далее, особенно при решении задач повышенной сложности, возни­кает необходимость в использовании восходящего анализа.

Теперь затронем нисходящий анализ. Рассмотрим общую схему нисхо­дящего анализа. Пусть требуется доказать некоторое утверждение А. Пред­полагаем, что оно верно, и пытаемся получить из него верное следствие. При этом возможно несколько случаев.

Получено неверное следствие. Значит, предположение о справедливости А ошибочно. Решение задачи на этом закончено.

Получено верное следствие. В этом случае следует обязательно проверить обратимость рассуждений:

а) Если все рассуждения обратимы, то А верно.

б) Если среди рассуждений есть необратимые, то приходится применять дру­гие методы поиска решения задачи.

Если верное следствие получить не удается, то также приходится перейти к другим методам.

Нисходящий анализ имеет две разновидности: несовершенный анализ и метод доказательства от противного. При решении задач методом несовершенного анализа за исходное берется заключение задачи. Преобразование заключения происходит путем отыскания необходимых признаков справед­ливости его в предположении, что заключение задачи верно, т. е. несовер­шенный анализ сводится к отысканию следствий, вытекающих из предполо­жения справедливости заключения, что приводит к получению верных след­ствий [10].

Методом «доказательства от противного» называется такая разновид­ность нисходящего анализа, при которой решение задачи происходит путем получения необходимых условий справедливости положения, противореча­щего заключению задачи.

А теперь опишем синтетический метод. Синтез (sintesis — соединение, составление, соединение) – мысленное соединение выделенных путем анали­за частей, сторон в некоторое мысленное единство, в котором фиксируется типичное в анализируемом предмете. Синтез связан с упрощением анализируе­мого, с выявлением в нем существенных связей, конструирующих это мыс­ленное единство, с получением нового результата познания.

Синтетическая деятельность по обобщению и осмыслению результатов анализа является мощным средством открытия новых истин посредством получения принципиально новых результатов, формирования тех идей, кото­рые создавали новые вехи и направления в развитии наук. Синтез всегда воспроизводит проанализированный материал, при этом он всегда связан с уточнением, обогащением, углублением знаний о предмете в целом, которые в целом, которые у нас имелись до анализа. При синтезе мы используем аппарат той научной теории, в рамках которой производится анализ. Таким образом, синтез является процедурой, обратной анализу, но с которой анализ часто сочетается в практической или познавательной дея­тельности. Само название синтетического метода свидетельствует о том, что речь в данном случае идет о таких рассуждениях, в которых преобла­дающую роль играет прием «синтез». Синтетическое решение состоит в том, что первые вспомогательные суждения являются логическим выводом из условия задачи. Далее вспомогательные суждения получают как следствие из первых и т.д. Конечно, при этом можно использовать и другие известные факты. Составление вспомогательных суждений продолжается до тех пор, пока не получится такое суждение, из которого непосредственно вытекает то, что нужно вычислить или доказать.

Сам по себе синтетический метод рассуждения имеет большое общеобразовательное значение, а поэтому знакомить учащихся с этим методом це­лесообразно и даже необходимо.

Анализ и синтез как методы научного познания в математических исследо­ваниях играют важную роль. Столь же велика их роль и в обучении матема­тике, в котором они выступают в самых разнообразных формах: как методы решения задач, доказательств теорем, изучения свойств математических по­нятий и т. д.

Некоторые из синтетических методов решения задач на построение (метод геометрических мест, подобия) были известны еще греческим геомет­рам, само различие аналитического и синтетического методов введено в ма­тематику Евклидом. Анализ и синтез у него – две разновидности «силлоги­ческого» метода доказательств. В тринадцатой книге «Начал» Евклид пишет: «В синтезе мы начинаем с того, что уже доказано и приходим к заключению или познанию того, что нужно доказать».

В методике преподавания математике терминами «анализ» и «синтез» традиционно называют два противоположных по ходу движения мысли вида рассуждений, которые применяются при решении задач и при доказательст­ве теорем; анализ – это рассуждение, идущее от того, что надо найти или до­казать, к тому, что дано, или уже установлено ранее; синтез – рассуждение, идущее в обратном направлении.

Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян и др. в своей книге [18] пишут, что анализ стали воспринимать как прием мышления, при котором от следствия перехо­дят к причине, породившей это следствие, а синтез – как прием мышления, при котором от причин переходят к следствию, порожденному этой причи­ной.

Таким образом, мы выделяем такие методические пути:

Ознакомление детей с понятием диалога и его сущности;

Ознакомление с различными видами аналитико-синтетической дея­тельности с помощью диалоговой формы обучения;

Применение нисходящего, восходящего анализов, а также синтетиче­ского подхода при решении задач.

Источник