Способ арифметизации решения задачи
Упомянутую выше нумерацию объектов системы 2 можно выбрать так, чтобы перечисленные предикаты (а также другие отношения подобного рода, представляющие интерес для метаматематики) отобразились в результате этой нумерации в примитивно-рекурсивные числовые предикаты. Все примитивно-рекурсивные предикаты выразимы в языке элементарной арифметики (см. Арифметика формальная). Поэтому каждому из перечисленных выше метаматем. предикатов можно поставить в соответствие арифм. формулу, описывающую этот предикат (в терминах выбранной нумерации объектов системы 2). Напр., можно построить следующие формулы:
Отсюда следует, что. в языке элементарной арифметики можно записывать разнообразные утверждения о системе 2. Важными примерами таких утверждений являются:
Первая из этих формул выражает предикат: «г есть номер формулы, доказуемой в 2», вторая формула утверждает, что система 2 непротиворечива.
Допустим теперь, что зафиксирована какая-нибудь достаточно сильная формальная система А для элементарной арифметики. Тогда некоторые формулы, описывающие метаматематику рассматриваемой системы 2, могут быть доказаны в А. Т. о., в рамках системы А можно доказывать теоремы о свойствах самой системы А, а также более сильных систем. Обычно в качестве А берется система, основанная 
аксиоматике Пеано. От выбора системы А
зависит то, насколько широким будет класс доказуемых метаматем. утверждений. Итак, А. м. заключается в следующем: формулировки метаматем. теорем переводятся на язык арифметики; доказательства этих теорем осуществляются средствами заданной формальной системы А.
Учитывая аналогию между формальными системами и вычисл. машинами, заметим, что имеется определенное сходство между А. м. и такими процедурами, как автомат, программирование или машинный перевод с одного языка на другой. В обоих случаях происходит кодирование входной информации в языке данной формальной системы (или машины), а затем эти коды перерабатываются в соответствии с правилами функционирования рассматриваемой системы (или машины).
При использовании метода арифметизации необходимо иметь в виду, что класс метаматем. теорем, коды которых (т. е. соответствующие арифметические формулы) доказуемы в системе А, зависит не только от выбора этой системы А, но и от способа кодирования. Дело в том, что упомянутые выше формулы, выражающие на арифм. языке осн. метаматем. предикаты (формулы 
и т. д.), были определены неоднозначно. От них требовалось только, чтобы они в самом деле описывали соответствующие предикаты (так что, например, любая формула 
, область истинности которой совпадает с мн-вом номеров формул системы 2, могла бы быть выбрана в качестве 
). Между тем, две содержательно равносильные формулы могут не быть дедуктивно эквивалентными относительно данной системы А. В связи с этим обычно выдвигается дополнительное требование, чтобы арифметизация была, в некотором смысле, естественной. Это требование можно уточнить так: примитивнорекурсивные описания осн. метаматем. предикатов должны копировать определения этих предикатов, даваемые при содержательном изложении метаматематики, а формулы, выражающие эти предикаты, должны иметь ту же структуру, что и соответствующие примитивнорекурсивные описания. Последнее условие заведомо выполняется, если для построения нужных формул используют т. н. процедуру Гёделя. С помощью арифметизации были получены фундаментальные результаты по основаниям математики. В частности, было показано, что ни в какой формальной системе нельзя вывести все истинные формулы арифм. языка (см. Гёделя теоремы о неполноте). Вместе с тем, метод арифметизации показывает, что возможности формальных систем весьма широки. Укажем здесь один характерный пример, иллюстрирующий эти возможности. Пусть, как и выше, А есть достаточно сильная арифм. формальная система. Тогда для некоторой формулы 
может оказаться, что в А выводим:
где 
номер формулы 
в заданной нумерации объектов системы А. Это значит, что 
независима от аксиом А. Если присоединить 
к А в качестве новой аксиомы, то получится более сильная формальная система. Существенным моментом здесь является то, что независимость 
была установлена самой системой А. Очевидно, что этот путь ведет к рассмотрению «самосовершенствующихся» формальных систем. Подобные рассмотрения представляют значительный интерес как для оснований математики, так и для автоматов теории. Лит.: Клини С. К. Математическая логика. Пер. с англ. М., 1973 [библиогр. с. 451-465]; Fefer-m a n S. Arithetization of metamathematics in a general setting. «Fundamenta mathematical», 1960, v. 49.
Источник
Большая Энциклопедия Нефти и Газа
Арифметизация
Арифметизация метаматематики будет закончена в § 52 путем отображения обобщенной арифметики в обычную арифметику натуральных чисел. Оба результата будут вытекать из того, что некоторые арифметические предикаты, получающиеся путем отображения из метаматематических предикатов, являются примитивно-рекурсивными. [1]
Арифметизацию задачи выполняют с помощью численных методов, теория которых изложена в курсах вычислительной математики. При выборе того или иного численного метода необходимо учитывать особенности конкретной машины, точность метода и время решения задачи. Следует выбирать тот численный метод, который обеспечивает требуемую точность при минимальной затрате времени на решение задачи. [2]
Наша арифметизация допускает, чтобы список состояний машины Тьюринга содержал повторения. [3]
Эта арифметизация характерна для так называемой Берлинской школы и, в частности, для деятельности Леопольда Кронекера. К этой школе принадлежали такие выдающиеся, плодотворные в области алгебры и теории алгебраических чисел математики, как Кроне-кер, Куммер и Фробенттус. [4]
При арифметизации пространства материя вводится в рассмотрение в виде материальных точек, но распределение ее можно считать как непрерывным, так и дискретным. Иными ело; вами, имеется возможность классического и квантового толкования модели материи. [5]
Эта арифметизация математики , на которой так настаивает современная наука, является научным течением неоспоримой ценности, связанным с глубочайшим философским вопросом: может ли быть сведенным всякое математическое познание к целому числу. Не пытаясь в данный момент вынести определенный и решающий приговор по этому делу ни путем утверждения, что всякий математический факт есть просто отображение соответствующего свойства целых чисел и может быть выраженным исключительно в терминах арифметики, ни путем указания на наличие несводимых на арифметику математических фактов, о котором говорит нарождающееся в последнее время течение деарифметизации анализа — мы удовольствуемся лишь указанием на то, что концепция интуитивного или экспериментального характера обычно всегда имеет действенный интерес, даже в том случае, если она не очень хорошо поддается логическому определению, и что обычно имеет большую важность ее всестороннее изучение, и что, напротив, огромное большинство чисто-логических сущностей и понятий, встреченных на путях логического порядка, обычно бесплодны и не могут оказать никакого влияния на прогресс науки. Именно в полной мере является справедливым то давно уже сделанное замечание, что на логических путях исследования, как раз не встречают тех понятий, которые наиболее ценны, и если бы мы ограничились лишь исследованиями строго-логического характера, мы никогда бы их не имели. [6]
Для арифметизации внесения истинностных значений в эти формулы мы добавим к нашему формализму новый символ V, который будем считать несобственной элементарной формулой. Каждая формула в прежнем смысле ( в том числе и элементарная) будет называться собственной формулой или соответственно собственной элементарной формулой. [7]
Возможность арифметизации вовсе не означает отказ от всех других понятий математики, а лишь убеждает нас в том, что фундаментом математики может служить арифметика. [8]
Метод арифметизации метаматематики был разработан Геделем в целях доказательства двух весьма общих теорем, выражающих тот факт, что всякий логико-математический формализм, с одной стороны, четко очерченный, а с другой стороны, не слишком узкий, является дедуктивно незавершенным. [9]
В результате арифметизации многие математические понятия выражаются через различные системы натуральных чисел, которые могут быть и бесконечными. [10]
В основе этой арифметизации лежит предположение, что все рассматриваемые множества конечны, причем их мощность в момент работы с ними известна. В таком случае все эти множества занумеровываются, после чего в качестве представления элемента множества берется его номер. [11]
Тем не менее арифметизация метаматематики арифметического формализма позволит нам доказать одно наше ( сделанное при обсуждении парадокса Ришара) замечание3) относительно того, что условие, обозначенное нами посредством в), в случае арифметического формализма может быть удовлетворено. [12]
Особенно эффективен метод арифметизации , когда задача приводится к системе, содержащей одновременно как логические, так и алгебраические уравнения и неравенства. [13]
В связи с арифметизацией алгебры все более видное место начинают занимать и обойденные в общем Ньютоном вопросы о сущности отрицательных чисел. Карно и многие другие-посвятили немало усилий разъяснению природы отрицательных чисел и попыткам обоснования правил действий над ними. [14]
Непосредственное применение этих правил арифметизации будет показано на соответствующих этапах программирования. [15]
Источник
Статья на тему: «Методы и способы решения текстовых задач»
Методы и способы решения текстовых задач
Начну с того, что же такое задача. Ведь термин задача встречается нам как в быту, так и в профессии. Каждый из нас решает ежедневно те или иные задачи. Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий. Текстовая задача – описание некоторой ситуации на естественном языке, с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами и определить вид этого отношения. Любая текстовая задача состоит из двух частей – условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторые числовые данные объекта, об известных и неизвестных значениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти. Оно выражено предложением в повелительной или вопросительной форме. Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи. Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу в широком смысле этого слова — это значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т. д.), выполнить действия над данными задачи, используя общие положения и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения.
Прежде всего надо, осознать, что такое текстовая задача. И целью подготовительного периода является возможность показать перевод различных реальных явлений на язык математических символов и знаков. Также для того, чтобы правильно выбрать то или иное действие для решения простой задачи, необходимо сформировать понятие об арифметических действиях, научить выбирать то или иное действие. Решением задачи называют результат, т. е. ответ на требование задачи.
Текстовые задачи мы можем условно классифицировать по типам: задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием процента; задачи на «движение», «концентрацию смесей и сплавов», «работу» и т. д.
Решение текстовых задач делится на несколько этапов:
восприятие и осмысление задачи;
поиск плана решения;
выполнение плана решения;
Существуют различные методы решения текстовых задач:
метод проб и ошибок.
В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.
Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом — строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.
Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод — построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.
Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом — значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.
Алгебраический метод . Решить задачу алгебраическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно так же решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.
Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.
Логический метод . Решить задачу логическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.
Практический метод . Решить задачу практическим методом — значит найти ответ на требования задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами).
Табличный метод позволяет видеть задачу целиком это — решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу.
Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.
Метод проб и ошибок (самый примитивный), в нем ответ на вопрос задачи угадывается. Но и здесь основные моменты решения — выбор пробных ответов на вопрос задачи и проверка их соответствия условию осуществляется с помощью мыслительных операций, необходимых при решении любым путем. Угадывание ответа требует интуиции, без которой невозможно никакое решение.
Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.
Работа над текстовой задачей остается одним из важнейших аспектов обучения в начальной школе, когда закладываются основы знаний; является движущим фактором в развитии младших школьников. Из текстов задач дети открывают новое об окружающем мире, испытывают чувство удовлетворения и радости от их успешного решения.
Решение текстовых задач и нахождение разных способов их решения на уроках математики способствует развитию у детей мышления, памяти, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности, развитию умения кратко, четко и правильно излагать свои мысли.
При решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п.
Для преобразования условия задачи в математическую модель математические знания практически не нужны – здесь необходим здравый смысл. Очень важно обязательно сформулировать, используя переменные, что мы обязаны найти, т. к. переменных может быть намного больше, чем уравнений, где все их найти просто невозможно.
Решая системы нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило, положительны, т. к. в природе отрицательных скоростей и расстояний не существует. Это даёт нам право на умножение, деление и на возведение в квадрат получающиеся уравнения и неравенства.
Решая задачи «на работу», очень выгодно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе. Во время исследования была обнаружена всего одна задача, где помимо рассмотрения деятельности всех рабочих, важно рассмотреть их совместную деятельность, а иначе задача будет решена не верно.
В задах «на производительность» стоит лишь отметить то, что за производительность трубы принимается объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Также, бывают случаи, когда необходимо принять за неизвестные одновременно объём бассейна, производительность труб и время наполнения бассейна каждой трубой, чего не стоит опасаться.
Источник
