Способ аликвотных частей формулы

Способ аликвотных частей формулы

Аликвотные дроби.

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Введение

Многочисленные историко-математические исследования показывают, что дробные числа появились у разных народов в древние времена вскоре после натуральных чисел. Появление дробей связывается с практическими потребностями: задачи, где нужно производить деление на части, были очень распространены. Кроме того, в жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины.

Таким образом, во всех цивилизациях понятие дроби возникло из процесса дробления целого на равные части.

Цель: изучить практическую значимость применения египетских дробей в современной математике.

Задачи:

• Познакомиться с алгоритмами разложения дробей на сумму аликвотных дробей;
• рассмотреть основные операции с аликвотными дробями
• решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей
• составить сборник задач

Предмет исследования: разложение дробей на сумму аликвотных

Объект исследования: аликвотные дроби

Гипотеза: умение раскладывать дроби на две аликвотные, позволяет легко решать олимпиадные задачи по математике

Практическая значимость: задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач

Основная часть

Алгоритмы разложения дробей

Дроби вида , где n– натуральное число, называют египетскими. Другие названия таких дробей: основные, аликвотные (от латинского aliquot – несколько). Древнеегипетские вычислители почему-то питали особое пристрастие к дробям, в числители которых стоит единица. В Британском музее хранится папирус, составленный писцом Ахмесом примерно за 1600-1700 лет до нашей эры. Одна из задач этого папируса – разделить 7 хлебов между 8 людьми – решается в характерном для всей египетской математике стиле: каждому проголодавшемуся нужно дать сумму долей одного хлеба, выраженных аликвотными дробями. В другой задаче предлагается найти такое натуральное n, что . Когда эту задачу предложили шестиклассникам на Московской олимпиаде в 1997 году, то справились с ней далеко не все – видимо, упорство не каждого современного школьника может сравниться с установкой на преодоление трудностей древнего египтянина.

В большинстве случаев для представления некоторой правильной дроби в виде суммы различных египетских дробей достаточно уметь раскладывать в такую сумму всякую дробь вида . Например, зная разложения

, , , дробь можно легко представить суммой различных египетских дробей:

Папирус Ахмеса предваряет таблица, в которой все дроби вида для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами египетских дробей. Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.

Разложение произвольной дроби в сумму аликвотных дробей не единственно. Например, .

Египтяне стремились использовать разложения с небольшим количеством слагаемых и по возможности с наименьшими знаменателями. Какими именно способами они при этом пользовались, мы не знаем. В настоящее время доказано, что всякое положительное рациональное число можно выразить суммой различных египетских дробей, а также предложено для этих целей несколько практических алгоритмов (иногда эти алгоритмы дают различные разложения).

Алгоритм Фибоначчи (1180 – 1240) разложения рационального числа , 0

Старт в науке

Учредителями Конкурса являются Международная ассоциация учёных, преподавателей и специалистов – Российская Академия Естествознания, редакция научного журнала «Международный школьный научный вестник», редакция журнала «Старт в науке».

Источник

Способ аликвотных частей формулы

Тема «Аликвотные дроби при решении нестандартных задач» является интересной темой для исследования дробей. Столкнувшись с этим термином впервые, понимаешь, почему в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.

· Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни.

· Узнать происхождение аликвотных дробей.

· Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.

· Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

· Составлять и решать задачи практического содержания.

История аликвотных дробей

Аликвота — (лат. aliquoties, «несколько раз или несколько частей»)

Аликвотная дробь- дробь, числитель которой равен единице.

Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения. [8]

Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – 1/2, 1/3, 1/4 – так называемые единичные дроби, так как числитель этих дробей единица. Причиной появления этих дробей являлась необходимость разбить единицу на доли. Это нужно было для того:

1. чтобы разделить добычу после охоты, ведь, нужно было знать, сколько частей составляет целое и кому какая часть добычи станет принадлежать.

2. выразить результат измерения длины, времени, площади, массы и вести расчеты за товары

Аликвотные дроби в Древнем Египте

Аликвотные дроби появились раньше других дробей. В Древнем Египте математики «настоящими» считали только аликвотные дроби вида 1/n.

Итак, дроби вида 1/n, где числитель 1, а n – натуральное число, (т.е. число, которое используется для счёта предметов), называются аликвотными дробями (от латинского aliguot-« несколько») или единичными.[2]

В Древнем Египте «настоящими», математики, считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.

Например: 8/15 =1/3+1/5,

Кроме того, для единиц измерения емкостей и объемов использовался так называемый глаз «Хора»

Он представлял собой дробь 63/64.

Так как, согласно мифам глаз Хора был выбит, а затем восстановлен на 63/64. Каждая часть глаза соответствовала определённой дроби и была представлена в виде суммы аликвотных дробей таким образом:

Аликвотные дроби встречаются в древнейших, дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. Они нужны были для практических целей.[8]

Рассмотрим такую задачу: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми» Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов (7 хлебов по 7 надрезов в каждом хлебе). А по-египетски эта задача решалась так:

Значит, каждому человеку нужно дать половину хлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. При этом, придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Значение аликвотных дробей в истории:

Первое понятие дроби появилось в Древнем Египте много веков назад. В русском языке это слово появилось лишь в 8 веке от слов «дробить, разбивать, ломать на части», поэтому в первых учебниках дроби называли «ломанными числами». Современное обозначение дробей берет свое начало в Древней Индии, а дробная черта появилась в записи дробей лишь 300 лет назад, до этого ставили точку между числителем и знаменателем. Сами названия «числитель» и « знаменатель» ввел в употребление греческий ученый — математик Максим Плануд. [2]

Долгое время дроби считались самым трудным разделом математики. У немцев даже сложилась поговорка «Попасть в дроби», что означало оказаться в трудном положении.

Формулы аликвотных дробей

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего задачи, в которых требуется разделить какие-либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий. Для этого необходимо представить какое-либо число в виде суммы аликвотных дробей.[1]

Например: 1/3 = 1/4+1/12,

Из данных примеров следует, что знаменатель первой дроби на 1 больше знаменателя данной дроби. Произведение же знаменателя первой дроби и знаменателя данной дроби соответствует знаменателю второй дроби.

Где n – знаменатель данной дроби является натуральным числом, тогда мы можем представить формулу в таком виде как:

+

Доказать это равенство можно, приведя дроби к общему знаменателю и после сокращений увидеть, что формула верна.

Кроме того, следует отметить, что аликвотные дроби можно как складывать, так и вычитать.

Поэтому, разложить в виде суммы двух аликвотных дробей можно по формуле:

+ .

Если преобразовать формулу + ,

то получим следующие равенства:

= и —

Если разложить в виде разности двух аликвотных дробей по формуле: —

то мы увидим, что аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, знаменателями которых являются последовательные числа равные их произведению.

Так, например: 1/6 = 1/(2*3) = 1/2-1/3

1/2 = 1/(1*2) = 1/1 – 1/2

Решение нестандартных задач

№1. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей.[5]

а) трёх слагаемых:

б) четырёх слагаемых:

в) пяти слагаемых:

г) шести слагаемых:

№2. Представьте дробь 1/2020 в виде аликвотных дробей.[7]

Существует 2 способа представления дроби 1/2020 в виде суммы и один из них — в виде разности аликвотных дробей.

Это, опять-таки, из-за простоты числа 2020.

№3. Найти сумму аликвотных дробей[6] 1/2+1/((2*3))+1/((3*4))+1/((4*5))+?+1/((19*20))

Решение: воспользуемся формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности

Подставив, уже разложенные выражения в сумму, получим:

№4. Найти сумму аликвотных дробей [6] 1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132

Решение: воспользуемся формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности

1/4-1/5+1/5-1/6+1/6-1/7+1/7-1/8+1/8-1/9+1/9-1/10+1/10-1/11+1/11-1/12=1/4-1/12= (3-1)/12=2/12=1/6 1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132=1/6

№5. Решить уравнение [4]

(1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30))*150+1,03:[10,3*(х-1)]=11 Решение: упростим уравнение и найдем сумму аликвотных дробей: 1/(25*26)+1/(26*27)+1/(27*28)+1/(28*29)+1/(29*30)

Представим каждую дробь в виде разности аликвотных дробей

После нахождения суммы, уравнение примет следующий вид

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

И вычесть из нее сумму

Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Поэтому решения задач с применением аликвотных дробей – это занимательный процесс, развивающий мышление и логику, который помогает решать нестандартные и олимпиадные задачи по математике разных лет.

Источник

Способ аликвотных частей формулы

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

И вычесть из нее сумму

Таким образом, при разработке данной темы, я узнала, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести, разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

Поэтому решения задач с применением аликвотных дробей – это занимательный процесс, развивающий мышление и логику, который помогает решать нестандартные и олимпиадные задачи по математике разных лет.

Список использованных источников и литературы

Баженов И.И, А.Г.Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. — Сыктывкар, 1994.

Бородин А.И. Из истории арифметики, Головное издательство «Ваша школа» — К., 1986

Гаврилова Т.Д. Занимательная математика, 5-11классы. — Волгоград: Учитель, 2008.

Левитас Г.Г. Нестандартные задачи по математике. — М.: ИЛЕКСА, 2007.

Петерсон Л. Г. Математика, 5класс. – М.:Ювента, 2016.

Фарков А. В. Математические олимпиады в школе, 5-11классы. – М.: Айрис-пресс, 2012.

Фарков А.В. Математические олимпиады 5-6 классы.- М: Издательство «Экзамен». – М.:2019

Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста, М.: Педагогика,1989.

Источник