Сокращенный способ умножения 7 класс

7 класс формулы сокращенного умножения.
тренажёр по алгебре (7 класс) по теме

Скачать:

Вложение	Размер
формулы сокращенного умножения	72.61 КБ

Предварительный просмотр:

Представить в виде многочлена:

Разложить на множители:

Представить в виде многочлена:

Разложить на множители:

Преобразуйте в многочлен:

Разложите на множители:

Преобразуйте в многочлен :

Разложите на множители:

-48kp+36k 2 +16p 2

9x 2 -6cdx+c 2 d 2

a 2 b 2 +4abc+4c 2

m 8 -2m 4 n 2 +n 4

(a- ) 2

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок в 7 классе «Формулы сокращенного умножения»

Урок проверки и коррекции знаний и умений с целью обеспечения закрепление формул сокращенного умножения, умения применять их в стандартных условиях, организации деятельности учащихся по применению фор.

Урок алгебры 7 класс»Формулы сокращенного умножения»

Это презентация к уроку алгебры для 7 класса по теме : «Формулы сокращенного умножения».

Урок алгебры в 7 классе «Формулы сокращенного умножения.»

Конспект урока + презентация.Цель данного урока, обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме, их умения применять формулы в простейших ситуациях на уровне воспроизведения.

Урок алгебры 7 класс «Формулы сокращенного умножения»

Урок предназначен для закрепления знаний по теме «Формулы сокращенного умножения».

Урок в 7 классе «Формулы сокращенного умножения»

Конспект урока » Формулы сокращенного умножения» в 7 классе.

Урок в 7 классе «Формулы сокращенного умножения»

Урок с элементами исследования и интерактивности. Опираясь на свой опыт и знания ученики сами выводят новые формулы., заполняют таблицу ЗХУ. В результате ролевой игры задействованы все обучающиеся.

Презентация к уроку в 7 классе «Формулы сокращенного умножения»

Урок с элементами исследования и интерактивности. Опираясь на свой опыт и знания ученики сами выводят новые формулы., заполняют таблицу ЗХУ. В результате ролевой игры задействованы все обучающиеся.

Источник

Алгебра

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Разность квадратов

Пусть есть два числа, одно из которых равно a, а другое – b. Их сумма будет равна a + b, а разность составляет a– b. Оба эти выражения являются многочленами.

Теперь перемножим сумму и разность, пользуясь правилами перемножения многочленов (см. урок 6) :

(a + b)(a — b) = a 2 — ab + ba — b 2

Слагаемые – a b и b a являются подобными, их сумма равна нулю:

-ab + ab = -1ab + 1ab = ab(-1 + 1) = ab * 0 = 0

Поэтому в выражении их можно сократить:

(a + b)(a — b) = a 2 — ab + ba — b 2 = a 2 — b 2

Получается, что произведение суммы двух чисел на их разность равно разности их квадратов. Естественно, как и любое другое математическое равенство, это можно переписать в обратном порядке:

a 2 — b 2 = (a + b)(a — b)

Данное тождество называют формулой разности квадратов.

Вместо a и b в это тождество можно подставлять любые числа, выражения, одночлены, многочлены. Убедимся в ее справедливости на нескольких примерах. Вычислим значение выражения

сначала напрямую, а потом с помощью формулы разности квадратов:

7 2 — 5 2 = 7*7 — 5*5 = 49 — 25 = 24

7 2 — 5 2 = (7 — 5)(7 + 5) = 2*12 = 24

Видно, что ответ не зависит от способа вычисления. Однако в ряде один из них представляется более удобным.

Пример. Вычислите разность двух квадратов: 2516 2 и 1516 2 .

Решение. Возводить во вторую степень четырехзначные числа без калькулятора тяжело, поэтому используем сокращенное умножение:

2516 2 — 1516 2 = (2516 + 1516)(2516 + 1516) = 4032 * 1000 = 4032000

Пример. Вычислите 499•501.

Решение. Используем две простые замены:

С их помощью вычисления существенно упрощаются, так как произведение можно представить как разность квадратов двух чисел:

499 * 501 = (500 — 1)(500 + 1) = 500 2 — 1 2 = 250000 — 1 = 249999

Пример. Докажите, что число 765873 2 – 765864 2 делится на 9.

Решение. Разность квадратов равна:

765873 2 – 765864 2 = (765873 — 765864)(765873 + 765864) = 9*(765873 + 765864)

Даже не складывая слагаемые во второй скобке, мы можем сказать, что исходное число делится на 9, так как на 9 делится один из множителей, на которые мы разложили разность квадратов.

Теперь рассмотрим случаи, когда в формулу подставляются переменные. Пусть необходимо найти произведение полиномов 8u + 5v и 8u– 5v. С помощью формулы сокращенного умножения получаем:

(8u + 5v)(8u — 5v) = (8u) 2 — (5v) 2 = 64u 2 — 25v 2

Конечно, мы могли бы выполнить эту операцию и без использования сокращенного умножения, просто раскрыв скобки методом «фонтанчика». Но тогда мы потратили бы больше времени, усилий и бумаги:

(8u + 5v)(8u — 5v) = (8u) 2 — 8u*5v + 5v*8u — (5v) 2 = 64u 2 — 25v 2

Пример. Перемножьте полиномы x 2 z +2y 3 и x 2 z– 2y 3 .

(x 2 z +2y 3 )(x 2 z +2y 3 ) = (x 2 z) 2 — (2y 3 ) 2 = x 4 z 2 — 4y 6

Пример. Упростите выражение

-3.5m 2 — (1.5n — 2m)(1.5n + 2m)

-3.5m 2 — (1.5n — 2m)(1.5n + 2m) = -3.5m 2 — ((1.5n) 2 — (2m) 2 ) = -3.5m 2 — 2.25n 2 + 4m 2 = 0.5m 2 — 2.25n 2

Иногда с помощью сокращенного умножения можно разложить полином на множители. Например, двучлен x 2 – 25 можно представить как

x 2 — 25 = x 2 — 5 2 = (x — 5)(x + 5)

С помощью разложения разности квадратов на множители можно доказать, что разность вторых степеней двух последовательных натуральных чисел всегда является нечетным числом. Обозначим за n произвольное натуральное число. Тогда следующим за ним будет число n+1. Разность их квадратов равна

(n + 1) 2 — n 2 = (n + 1 — n)(n + 1 + n) = 1*(2n + 1) = 2n + 1 = 1*(2n + 1) = 2n + 1

Число 2n +1 при делении на 2 дает остаток 1, то есть является нечетным.

Стоит отметить, что для суммы квадратов a 2 + b 2 аналогичной формулы разложения на множители не существует.

Квадрат суммы

Возведем во вторую степень сумму двух произвольных величин, которые обозначим буквами a и b:

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

То есть верно тождество

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Это тождество называют формулой квадрата суммы.

Покажем ее верность на числовом примере. Вычислим значение выражения (5 + 3) 2 двумя различными способами, с помощью формулы возведения суммы в квадрат и без нее:

(5 + 3) 2 = 8 2 = 64

(5 + 3) 2 = 5 2 + 2 * 5 * 3 + 3 2 = 25 + 30 + 9 = 64

Выражение для квадрата суммы используется также, как и формула разности квадратов. В нее можно подставлять числа, полиномы и мономы, произвольные выражения. Тождество можно перевернуть, и тогда получится равенство:

a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2

которое является верным.

Тождество можно проиллюстрировать и геометрически. Построим квадрат со стороной a + b (отрезки длиной а выделены красным цветом, а длиной b– синим):

Площадь такой фигуры равна второй степени стороны:

С другой стороны, этот квадрат составлен из двух прямоугольников площадью ab и квадратов со сторонами a и b:

S = a 2 + 2ab + b 2

Пример. Вычислите 1010 2 .

Решение. Представим число 1010 как сумму 1000 и 10. Тогда можно записать:

(1010) 2 = (1000 + 10) 2 = 1000 2 + 2 * 1000 * 10 + 10 2 = 1000000 + 20000 + 100 = 1020100

Пример. Докажите, что число 9060100 является второй степенью натурального числа.

Решение. Представим 9060100 как сумму слагаемых 9000000, 60000 и 100. В свою очередь верны следующие равенства:

3000 2 = 9000000

2 * 10 * 3000 = 60000

Тогда можно воспользоваться сокращенным умножением:

9060100 = 9000000 + 60000 + 100 = 3000 2 + 2 * 10 * 3000 + 10 2 = (3000 + 10) 2 = 3010 2

Получили, что 9060100 – это вторая степень числа 3010. При этом нам не пришлось извлекать квадратный корень.

В тождество квадрата суммы можно подставлять не только числа, но и многочлены. Представим в виде произведения мономов выражение

(5h + 8) 2 — (4h + 10) 2

Сначала по формуле квадрата суммы раскроем каждую из скобок:

(5h + 8) 2 — (4h + 10) 2 = (25h 2 + 80h + 64) — (16h 2 + 80h + 100) = 25h 2 + 80h + 64 — 16h 2 — 80h — 100

Далее приведем подобные слагаемые:

25h 2 + 80h + 64 — 16h 2 — 80h — 100 = (25h 2 — 16h 2 ) + (80h — 80h) + (64 — 100) = 9h 2 — 36

оставшийся полином раскладывается на множители с помощью сокращенного умножения:

9h 2 — 36 = (3h) 2 — 6 2 = (3h — 6)(3h + 6)

Квадрат разности

Своя формула сокращенного умножения существует не только для квадрата суммы, но и для квадрата разности. Выведем её. Для этого возведем во вторую степень выражение a– b:

(a — b) 2 = (a — b)(a — b) = a 2 — ab — ba + b 2 = a 2 — 2ab + b 2

Итак, мы получили тождество, называемое формулой квадрата разности:

(a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2

Убедимся в верности тождества на примере. Для этого вычислим значение выражения (9 – 5) 2 двумя разными способами, с использованием формулы возведения разности в квадрат и без неё:

(9 — 5) 2 = 4 2 = 16

(9 — 5) 2 = 9 2 — 2 * 9 * 5 + 5 2 = 81 — 90 + 25 = 16

Заметим, что если поменять местами переменные aи b, то значение квадрата их разности не изменится:

(b — a) 2 = b 2 — 2ba + a 2 = a 2 — 2ab + b 2 = (a — b) 2

Дело в том, что числа a– b и b – a являются противоположными. В предыдущем уроке «Разложение многочленов на множители» мы узнали, что

Вторые же степени (как и вообще любые четные степени) противоположных чисел равны друг другу:

(-a) 2 = (-a)(-a) = (-1)*(-1)a 2 = a 2

Можно заметить сходство между тождествами для вычисления квадрата разности и суммы. Действительно, они отличаются лишь одним знаком. Поэтому иногда эти два тождества записывают как единое целое:

Если в левой скобке стоит плюс, то и в правой должен быть именно он. Если в левой части тождества стоит минус, то справа также должен стоять минус.

Пример. Вычислите 999999 2 .

Решение. Перемножать два шестизначных числа весьма сложно. Однако заметим, что число 999999 можно представить как разницу миллиона и единицы:

999999 = 1000000 — 1

Используем сокращенное умножение:

999999 2 = (1000000 — 1) 2 = 1000000 2 — 2*1*1000000 + 1 = 1000000000000 — 2000000 + 1

Несложно выполнить оставшиеся вычисления в столбик

1000000000000 — 2000000 + 1 = 999998000001

Пример. Раскройте скобки в выражении (4m– 3) 2

Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

(4m– 3) 2 = (4m) 2 — 2*4m*3 + 3 2 = 16m 2 — 24m + 9

Важно понимать, что вместо букв a и b могут стоять не только одночлены, но и полиномы. Пусть нам надо возвести во вторую степень полином

Если просто выполнить умножение методом «фонтанчика», то после раскрытия скобок получим 3•3 = 9 одночленов (так как исходный многочлен состоит из 3 мономов). Для упрощения представим исходный трехчлен как разность:

u 2 — 6u + 5 = u 2 — (6u — 5)

Тогда вторую степень можно найти так:

(u 2 — 6u + 5) 2 = (u 2 — (6u — 5)) 2 = (u 2 ) 2 — 2*u 2 (6u — 5) + (6u — 5) 2 = u 4 — 12u 3 + 10u 2 + 36u 2 — 60u + 25 = u 4 — 12u 3 + 36u 2 — 60u + 25 = u 4 — 12u 3 + 46u 2 — 60u + 25

Пример. Докажите, что квадратный трехчлен m 2 – 16m + 66 ни при каких значениях переменной m не принимает отрицательные значения.

Известно, что вторая степень любого числа неотрицательна. Выделим в исходном трехчлене квадрат, содержащий переменную m. Для этого разложим число 66 как сумму 2 + 64:

m 2 — 16m + 65 = m 2 — 16m + 64 + 2 = m 2 — 2 * 8 * m + 8 2 + 2 = (m — 8) 2 + 2

При любом значении m выражение (m – 8) 2 неотрицательно, а значит, неотрицательно и значение (m – 8) 2 + 2. Более того, можно указать, что минимальное значение, которое может принимать исходный трехчлен, равно 2.

Заметим, что использованный в данном методе прием позволяет представить, по сути, любой квадратный трехчлен как разницу или сумму полного квадрата какого-то полинома и числа, что в свою очередь помогает оценить его максимальное или минимальное значение. Например, дан трехчлен 4v 2 + 12v – 10.Первое его слагаемое можно представить как квадрат какого-то числа:

Подобное действие в отношении трехчлена можно предпринять всегда, правда, иногда придется использовать квадратные корни, которые мы ещё не изучали детально. Далее второе слагаемое можно разложить на три множителя, одним из которых будет двойка, а вторым – тот самый одночлен, дающий при возведении во вторую степень первое слагаемое. Третий же множитель окажется каким-то числом:

Теперь чтобы воспользоваться формулой квадрата суммы или квадрата разности, добавим к многочлену квадрат этого третьего множителя, а чтобы значение полинома не изменилось, сразу же его и вычтем. В данном случае третьим множителем оказалась тройка, а потому надо добавить 3 2 и сразу же отнять 3 2 . Один из этих квадратов войдет в формулу сокращенного умножения, а другой – нет:

4v 2 + 12v — 10 = (2v) 2 + 2*2v*3 — 10 + 3 2 — 3 2 = ((2v) 2 + 2*2v*3 + 3 2 ) — 10 — 3 2 = (2v + 3) 2 — 19

Так как выражение (2v + 3) 2 не может быть меньше нуля, то и минимальное значение трехчлена 4v 2 + 12v– 10 равно(– 19)

Пример. Оцените возможные значения трехчлена – 9с 2 + 15с + 8

Воспользуемся таким же методом, но сначала вынесем знак минус за скобки, чтобы можно слагаемое 9c 2 представить как квадрат какого-то монома:

-9c 2 + 15c + 8 = -(9c 2 — 15c — 8) = -((3c) 2 — 2 * 3c * 2.5 — 8 + 2.5 2 — 2.5 2 ) = -((3c — 2.5) 2 — 8 — 6.25) = -(3c — 2.5) 2 + 14.25

Значение выражения – (3с – 2,5) 2 может быть только меньше или равным нулю. Значит, исходный трехчлен не может принимать значения, большие, чем 14,25.

Формулы для кубов

До этого мы познакомились с тождествами, в которых величины возводились во вторую степень. Их будет достаточно почти для всех школьных заданий, в том числе и на ЕГЭ, поэтому необходимо сосредоточиться именно на их изучении.Однако в алгебре есть и более сложные формулы сокращенного умножения, в которых переменные возводятся в куб.Их использование может пригодиться в задачах повышенной сложности. Выведем их.

Найдем значение куба суммы двух слагаемых. Для этого возведем в куб выражение a + b:

(a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 )(a + b) = a 3 + a 2 b + 2a 2 b + 2ab 2 + ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

которое называют формулой куба суммы.

Пример. Вычислите 101 3

101 3 = (100 + 1) 3 = 100 3 + 3*100 2 *1 + 3*100*1 2 + 1 = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301

Пример. Представьте в виде многочлена выражение (4p + 3k) 3 .

Решение. Воспользуемся формулой куба суммы:

(4p + 3k) 3 = (4p) 3 + 3*(4p) 2 *3k + 3*4p*(3k) 2 + (3k) 3 = 64p 3 + 144p 2 k + 108pk 2 + 27k 3

Выведем аналогичным образом и формулу куба разности чисел:

(a — b) 3 = (a — b) 2 (a — b) = (a 2 — 2ab + b 2 )(a — b) = a 3 — a 2 b — 2a 2 b + 2ab 2 — b 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Итак, мы получили ещё одно тождество

(a — b) 3 = a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3

Пример. Вычислите 498 3 .

Решение. Представим число 498 как разность 500 – 2. Тогда для вычисления можно воспользоваться выражением для вычисления куба разности:

498 3 = (500 — 2) 3 = 500 3 — 3*500 2 *2 + 3 * 500 * 2 2 — 2 3 = 125000000 — 1500000 + 6000 — 8 = 123505992

Сложнее получить тождества для суммы и разности кубов, ведь напрямую найти разложить на множители выражение a 3 + b 3 довольно тяжело. К счастью, математикам удалось подобрать новые множители.

Сначала рассмотрим выражение

Оно отличается от квадрата суммы только одним слагаемым. Вместо 2ab стоит ab. Из-за этой схожести его называют неполным квадратом суммы.

Аналогично определяют и такое понятие, как неполный квадрат разности.

Теперь попробуем перемножить неполный квадрат суммы чисел a и b и их разность:

(a — b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 — a 2 b — ab 2 — b 3 = a 3 — b 3

В результате нам удалось получить формулу разности кубов:

a 3 — b 3 = (a — b)(a 2 + ab + b 2 )

Теперь попробуем умножить сумму двух величин на неполный квадрат разности:

(a + b)(a 2 — ab + b 2 ) = a 3 — a 2 b + ab 2 + a 2 b — ab 2 + b 3 = a 3 + b 3

Получили формулу суммы кубов:

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 )

Понятно, что запомнить все эти тождества нелегко, однако их всегда можно посмотреть в любом математическом справочнике.

Пример. Разложите на множители полином 8p 3 + 0,001q 3 .

Решение. Здесь можно воспользоваться тождеством для куба суммы:

8p 3 + 0.001q 3 = (2p) 3 + (0.1q) 3 = (2p + 0.1q)((2p) 2 — 2p*0.1q + (0.1q) 2 ) = (2p + 0.1q)(4p 2 — 0.2pq +0.01q 2 )

Применять формулы с кубами для вычислений значительно сложнее, чем со вторыми степенями, однако всё же иногда они могут помочь. Пусть надо вычислить значение выражения 55 3 + 45 3 , не используя калькулятор или компьютер. Разложим его на множители:

53 3 + 45 3 = (55 + 45)(55 2 — 55*45 + 45 2 ) = 100(55 2 — 55*45 + 45 2 )

Далее для упрощения расчетов добавим к значению в скобке произведение 55•45 и тут же отнимем его. Это позволит сделать «дополнить» неполный квадрат разности и воспользоваться соответствующей формулой сокращенного умножения:

100(55 2 — 55*45 + 45 2 ) = 100((55 2 — 55*45 — 55*45 + 45 2 + 55*45) = 100((55 2 — 2*55*45 + 45 2 ) + 55*45) = 100((55 — 45) 2 55*45) = 100((10) 2 + 55*45) = 100(100 + 55*45)

В свою очередь произведение 55•45 можно также упростить:

100(100 + 55*45) = 100(100 + (50 + 5)*(50 — 5)) = 100(100 + (50 2 — 5 2 )) = 100(100 + 2500 — 25) = 100*2575 = 257500

Полученный результат можно проверить с помощью калькулятора:

55 3 + 45 3 = 257500

Треугольник Паскаля

До этого мы нашли формулы сокращенного умножения, которые позволяют возводить бином (a + b) во вторую и третью степень. Интересно, что есть быстрый способ составить подобное тождество для возведения выражения (a + b) в любую натуральную степень. Для этого используется так называемый треугольник Паскаля. Справедливости ради сразу отметим, что Блез Паскаль описал его лишь в 1653 году, в то время как упоминание о таком треугольнике содержится в трудах китайца Чжу Шицзе (1303 г.), перса Омара Хайяма (1100 г.) и индийца Халаюдхи (Xвек).

Выглядит треугольник Паскаля так:

На вершине (его условно считают нулевым, а не первым уровнем) стоит число 1. На следующем (первом) уровне стоит уже две единицы. Изучим уровень ниже. Здесь уже три числа. По краям снова единицы, а в центре двойка. Обратите внимание, что двойка равна сумме тех 2 цифр, которые расположены над ней (1 и 1).

На следующем уровне уже 4 числа. Снова по краям единицы, а в других ячейках стоят такие числа, что они равны сумме двух чисел над собой (2 + 1 = 3).

По такому же принципу построен весь треугольник. Количество уровней в нем не ограничено, хотя на рисунке последним показан 10-ый уровень.

Итак, при построении треугольника Паскаля используются следующие правила:

• на вершине стоит одна единица
• на каждом следующем уровне находится на одно число больше, чем на предыдущем;
• по бокам на каждом уровне стоят единицы;
• на всех остальных позициях стоят числа, которые равны сумме двух расположенных над ними чисел.

Какое же отношение треугольник Паскаля имеет к формулам сокращенного умножения? Запишем тождества для возведения в различные степени бинома a + b, а рядом – числа из соответствующего уровня треугольника (их называют биноминальными коэффициентами):

• (a + b) 1 = 1a + 1b, биноминальные коэффициенты 1 и 1;
• (a + b) 2 = 1a 2 + 2ab+ 1b 2 , биноминальные коэффициенты 1, 2, 1;
• (a + b) 3 = 1a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + 1b 3 , коэффициенты равны 1, 3, 3, 1;

Можно заметить, что числа в треугольнике совпадают с теми коэффициентами, которые есть в формуле сокращенного умножения:

И такое соответствие будет верно для любой формулы вида (a + b) n , где n– натуральное число, хотя доказательство этого факта выходит за рамки 7 класса. Так, формула для возведения в 6-ую степень будет выглядеть так:

(a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6

Первым слагаемым идет a 6 , а далее слагаемое с буквенной частью a 5 b. У каждого следующего слагаемого числовой множитель берется из треугольника Паскаля, а в буквенной части у переменной a степень уменьшается, в то время как у b – увеличивается:

При этом степень каждого одночлена равна 6.

У треугольника Паскаля есть много других важных свойств, из-за которых он используется в иных разделах математики, в частности, в комбинаторике (она изучает количество способов, которыми можно расставить в определенном порядке предметы)и теории вероятностей. Например, можно заметить, что сумма всех чисел в строке n равна 2 n :

1 + 2 + 1 = 4 = 2 2

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 3

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 4

Более подробно использование треугольника Паскаля будет рассмотрено в старших классах.

Источник