Сокращение дробей способом разложения 6 класс

Сокращение дробей. Что значит сократить дробь?

Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.

Сокращение дробей, определение и формула.

Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?

Определение:
Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно основному свойству рациональных чисел.

Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.

Рассмотрим пример:
Сократите дробь \(\frac<9><15>\)

Решение:
Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.

Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac<3><5>\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.

Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.

Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

Получите несократимую дробь \(\frac<48><136>\).

Решение:
Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

Правило сокращения дроби до несократимого вида.

1. Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
2. Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.

Пример:
Сократите дробь \(\frac<152><168>\).

Решение:
Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

Ответ: \(\frac<19><21>\) несократимая дробь.

Сокращение неправильной дроби.

Как сократить неправильную дробь?
Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

Рассмотрим пример:
Сократите неправильную дробь \(\frac<44><32>\).

Решение:
Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

Сокращение смешанных дробей.

Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

Рассмотрим пример:
Сократите смешанную дробь \(2\frac<30><45>\).

Решение:
Решим двумя способами:
Первый способ:
Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

Второй способ:
Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

Вопросы по теме:
Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:

Решение:
Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

На какие числа можно сокращать дробь?
Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac<100><150>\).

Распишем на простые множители числа 100 и 150.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

Получили несократимую дробь \(\frac<2><3>\).

Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac<100><150>\) на 2.

Получили сократимую дробь \(\frac<50><75>\).

Какие дроби можно сокращать?
Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac<4><8>\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

Пример:
Сравните две дроби \(\frac<2><3>\) и \(\frac<8><12>\).

Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac<8><12>\):

Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

Пример:
Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac<90><65>\) б) \(\frac<27><63>\) в) \(\frac<17><100>\) г) \(\frac<100><250>\)

Источник

Конспект урока для 6 класса «Сокращение дробей»

Урок математики в 6 классе

по теме «Сокращение дробей».

Тип урока: учебное занятие по изучению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Из опыта работы

Урок математики в 6 классе.

1) Организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и

первичному закреплению знаний и способов деятельности по сокращению дробей

2) Содействовать осознанию учащимися ценности изучаемого предмета.

1) Актуализация опорных знаний и умений..

1) Найдите ошибку. Объясните. Повторить основное свойство дроби.

2 ) Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дробей:

3) Найдите такое значение а , чтобы равенство было верным:

2) Докажите

Деление числителя и знаменателя на одно и тоже число называется сокращением дробей.

Сократить:

Разобрать различные способы сокращения. Сделать вывод.

А) Один из способов мы уже рассмотрели, решая устное задание №2. Нахождение НОД числителя и знаменателя.

Б) Всегда ли можно быстро и легко найти НОД числителя и знаменателя? (Нет) Как тогда можно поступить? (Выполняя сокращение последовательно на общие делители числителя и знаменателя)

В) разложить числитель и знаменатель на множители и выполнить сокращение

3)Восприятие и осмысление учащимися нового материала.

А) На доске :Сократить

Как поступить? Вывод делают учащиеся. Решить на доске.

Б) Докажите , что дроби сократимы:

В)Выполните действия: . Как быть, мы ведь не знаем как выполнять действия с дробями с разными знаменателями? ? Вывод делают учащиеся. Решить на доске

Для дробей из первой строки найдите равные дроби из второй строки. Вы получите фамилию одного из древнегреческих ученых, который положил начало теории чисел- раздела математики, который изучает свойства чисел и действий над ними.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 799 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 277 человек из 70 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 604 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Конспект урока для 6 класса по учебнику Н.Я.Виленкина.
Это учебное занятие по изучению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности ( первый урок по данной теме).

Рассматриваются три способа сокращения дробей:

1. нахождение наибольшего общего делителя числителя и знаменателя;
2. последовательное сокращение;
3. разложение на множители.

Материал содержит элементы проблемного обучения; опирается на ранее изученный материал. В конце урока ( после выполнения самостоятельной работы), если позволяет время, можно сделать сообщение о древнегреческом ученом Евклиде, фамилия которого зашифрована.

Цели урока:

1. Организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению знаний и способов деятельности по сокращению дробей
2. Содействовать осознанию учащимися ценности изучаемого предмета.

1) Актуализация опорных знаний и умений..

1. Найдите ошибку. Объясните. Повторить основное свойство дроби.
2. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дробей:
3. Найдите такое значение а , чтобы равенство было верным:

2) Докажите

Деление числителя и знаменателя на одно и тоже число называется сокращением дробей.
Разобрать различные способы сокращения. Сделать вывод.

А) Один из способов мы уже рассмотрели, решая устное задание №2. Нахождение НОД числителя и знаменателя.

Б) Всегда ли можно быстро и легко найти НОД числителя и знаменателя? (Нет) Как тогда можно поступить? (Выполняя сокращение последовательно на общие делители числителя и знаменателя)

В) разложить числитель и знаменатель на множители и выполнить сокращение

3)Восприятие и осмысление учащимися нового материала.
А) На доске :Сократить
Как поступить? Вывод делают учащиеся. Решить на доске.

Б) Докажите , что дроби сократимы:

В)Выполните действия: . Как быть, мы ведь не знаем как выполнять действия с дробями с разными знаменателями? ? Вывод делают учащиеся. Решить на доске

4)Первичное закрепление.

Для дробей из первой строки найдите равные дроби из второй строки. Вы получите фамилию одного из древнегреческих ученых, который положил начало теории чисел- раздела математики, который изучает свойства чисел и действий над ними.

5) Анализ и домашнее задание.

Источник

Сокращение дробей

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 200.

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 200.

Сокращение дробей тема достаточно трудная для математики 6 класса, поэтому разбирать ее стоит поэтапно. Чтобы не допускать ошибок, первые сокращения лучше делать так же, поэтапно. Приведем алгоритм, чтобы не допускать ошибок и научится быстро и просто сокращать любые дроби.

Алгоритм сокращения дробей.

Сначала нужно сказать, что само сокращение дробей возможно благодаря одному из определений дроби.

Дробь – это незавершенная операция деления. Имеется в виде, что всегда любую дробь можно заменить частным. Замена дробью нужна, чтобы сохранить точность вычислений.

Посмотрим, как выглядит подробное сокращение на примере:

Чтобы каждый раз не расписывать – это выражение, можно пользоваться правилом сокращения дробей: если умножить или разделить знаменатель на одно и тоже число, то значение дроби не измениться.

Теперь запишем сам алгоритм. Для того, чтобы сократить дробь нужно:

• Представить числитель и знаменатель в виде простых множителей.
• Сократить каждый из равных простых множителей.
• Перемножить оставшиеся числа и записать результат.

Вместо того, чтобы расписывать в качестве множителей числитель и знаменатель, можно просто найти НОД числителя и знаменателя. Это и будет максимально возможное число, на которое можно разделить оба значения.

Специальной формулы для сокращения любой дроби не существует, зато можно использовать правила, приведенные в этом алгоритме.

Как найти НОД?

Вспомним, как находится НОД:

• Первый шаг это разложение числа на простые множители.
• В разложении ищутся общие простые числа и выписываются в отдельное выражение.
• Получившееся значение и есть НОД.

Пример

Приведем пример сокращения дробей. Для этого упрости дробь $<513216\over<145152>>$. Для примера специально выбраны большие числа, чтобы показать, как самое большое число может стать маленьким в результате упрощения.

Мы не будем искать НОД, разложим числа на простые множители и найдем общие значения.

513216:2=256608 – в первую очередь число делится на 2. Чтобы число делилось на два, нужно, чтобы число единиц было четным.

256608:2=128304 – деление на 2 продолжается вплоть до момента, когда последняя цифра числа перестанет быть четной. После этого пробуем делить число на 3 и другие простые числа. Все простые числа есть в таблице простых чисел.

Запишем результат разложения: 513216=2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*3*3*11 – всего получилось 6 чисел 3, 6 чисел 2 и число 11. Таким же образом разложим 145152.

145152=2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*7 – всего 8 чисел 2, 4 числа 3 и одно число 7.

В обоих числах нужно сократить 6 чисел 2 и 4 числа 3. Запишем получившийся числитель. В нем останутся числа: 2 числа 3 и число 11

Запишем получившийся знаменатель. В нем останутся числа: 2 числа два и число 7

В результате сокращения получилась дробь:

$<99\over<28>>$ – при желании можно выделить целую часть. Но, если этого не требуется в условии задачи, то допускается оставить ответ в таком виде.

Что мы узнали?

Мы поговорили о сокращении дробей. Узнали, почему сокращение возможно. Выяснили, как правильно производить сокращение. Привели алгоритм сокращения и два способа проведения операции. Рассмотрели пример сокращения дробей.

Источник