Приемы быстрых вычислений
«Лучше усваиваются те знания,
которые поглощаются с аппетитом»
Анатоль Франс, французский писатель
Приемы быстрых вычислений
В самом обыкновенном устном счете, как и во многом другом, можно видеть много интересного, необычного и чудесного.
Математика – это инструмент для изучения других наук и различных сфер жизни, это не просто «сухие» цифры, формулы, а как сказал Аристотель: «Математика… выявляет порядок, симметрию, определенность, а это – важнейшие виды прекрасного».
Вряд ли кто-нибудь будет оспаривать необходимость вычислительной культуры современного человека.
Не потеряли своей актуальности слова М.В. Ломоносова о том, что арифметику за тем уже изучать стоит, что она ум в порядок приводит.
С приходом в нашу жизнь и школу калькуляторов, современные школьники перестали использовать устные формы вычислений. Между тем устный счет в их развитии нельзя заменить никакими калькуляторами.
Необходимо находить время на уроках для знакомства с приемами устного счета, тогда школьники не будут пользоваться калькуляторами.
В предлагаемой статье рассмотрены некоторые приемы быстрых вычислений, которые могут пригодиться не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.
Способы быстрого сложения чисел
Способы быстрого сложения чисел:
порядковое сложение чисел 15+39+26=(10+30+20)+(5=9+6)=60+20=80.
Прибавление к одному числу отдельных, разрядов другого числа, всегда начиная с высших:
Сложение с использованием свойств действий с числами
При выполнении быстрого сложения чисел самым простым, на мой взгляд, является прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших
Способы быстрого вычитания чисел
Способы быстрого вычитания:
Вычитание с использованием свойств действий с числами
Ученики чаще принимают метод с использованием свойств действий с числами.
Способы быстрого вычитания чисел
Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого
Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих.
Если уменьшаемое или вычитаемое близки, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:
Удобно выполнять вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих:
Способы быстрого умножения чисел
Чтобы умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки, затем единицы и оба результата складывают:
Умножение на двухзначное число.
Если оба множителя двухзначные числа, то разбиваем один из них на десятки и единицы. Разбивать надо множитель, у которого десятки и единицы выражены меньшими числами:
Индийская тайна быстрого умножения
Необходимо умножить два числа близкие к 100: 98х96
Найдем дополнения каждого множителя за 100 – соответственно 2 и 4.
Вычтем из 1-го множителя дополнения второго:
98-4=94 (или наоборот)
Это первые цифры произведения
Перемножим дополнения 2х4=8 (08) – это последние цифры произведения : 98х96=9408.
Умножение на 2 слева направо
При умножении на 2 запоминаем единицу, если цифра больше четырех, поэтому правило следующее: умножаем очередную цифру на 2 и произведение увеличиваем на единицу, когда последующая цифра больше 4, и записываем только цифру единицу результата, если это не первая цифра множителя; для первой цифры записываем полностью значение результата.
4286х2=8572, потому что 4х2=8 и пишем 8, так как последующая цифра не больше 4.
Далее: 2х2=4, следующая цифра больше 4, последнее произведение увеличиваем на единицу, и записываем 5.
Затем 8х2=16, но с учетом значения последней цифры, пишем 2: 5619х2=11238.
Действительно, 5х2=10, но следующая цифра больше 4, поэтому
Далее, 6х2=12, пишем только 2, так как последующая цифра меньше 4.
Далее, 1х2=2, но последующая цифра больше 4, поэтому пишем 3.
И наконец, 9х2=18, пишем 8.
Чтобы ускорить нахождение произведения, можно первый множитель разбить на грани, но несколько цифр в каждой последовательности умножаем числа каждой грани, записываем для первой грани полностью результат с учетом значения первой цифры следующей грани, для остальных граней записываем значение полученного результата, отбрасывая первую цифру, если число цифр результата больше числа цифр грани:
Разбиваем первый множитель на грани:
Далее, 32х2=64, но с учетом первой цифры следующей грани записываем 65. Затем 96х2=192 (количество цифр произведения 3, а грань состоит из двух цифр), первая цифра следующей грани не больше 4, поэтому записываем 92, затем записываем 90=45х2.
Способы быстрого умножения чисел.
Умножение на 4 и на 8
Чтобы число умножить на 4; 8, его последовательно удваивают:
Так как 5= 10/2, поэтому, чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2, то есть к числу приписывают нуль и делят десять пополам:
Умножение на 0,5
Так как 0,5=1/2, поэтому чтобы умножить число на 0,5, его нужно разделить пополам:
Умножение на 1,5 и 15
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину:
Чтобы число умножить на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:
Часто в повседневной жизни нам приходится умножать число на 1,5 или на 15.
Это легко сделать так: 48х1,5=48+24=72;
Умножение на 15
Можно использовать соотношение 15=30/2, получаем, что ах15=ах30/2.
Предварительно представляем а, если оно нечетное, в виде суммы или разности нечетного числа и единицы:
Умножение на 11
Прием умножения на 11 поражает своей красотой.
36х11, для этого достаточно подписать 36 по 36, но сдвинув его на одну цифру вперед, вот так 36
А затем выполнить сложение в столбик.
Эту операцию можно проводить с любыми цифрами, будь то трехзначное или четырехзначное число.
Умножить на 11 можно и другим способом. Достаточно «раздвинуть» числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем, если эта сумма больше 9, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.
На 11 умножить можно и так: приписать к умножаемому числу 0, а затем прибавить его:
Умножение на 25, 50, 75, 125
Принимая во внимание, что
Соответствующим образом преобразовываем второй множитель:
Приемы сокращенного умножения
На 5: 46х5=46/2х10=230;
На 25: 83х25=80/4х100+3х25=2075;
На 125: 48х125=48/8х1000=6000;
На 155: ах155=100а+50а+5а
Умножение двух чисел, «близких» к 100
Когда каждый из множителей меньше 100, тогда:
(100-а)(100- b )=100х100-100а-100 b +а b =(100-а- b )х100+ ab .
(100+а)(100+ b )=100(100+ a + b )+а b
Подсчитаем число сотен произведения 100-(а+ b )=100-11=89
Возведение в квадрат чисел,
цифра единиц которых равна пять
а5ха5=(10а+5)(10а+5)=100а 2 +2х10х5а+25=100(а 2 +а)+25=100ха(а+1)+25==(а(а+1))25.
Получаем правило: для умножения числа, которое заканчивается цифрой пять на само себя, необходимо число десятков умножить на последующее число и к полученному произведению приписать произведение цифр единиц, то есть 25.
Аналогичным образом находится произведение двух чисел, которых количество десятков одинаковое, а сумма цифр единиц равна десяти.
35х35=1225, так как 3х4=12;
125х125=15625, так как 12х13=156;
42х48=2016, так как 4х5=20 и 2х8=16.при возведении в квадрат любых чисел можно воспользоваться свойством:
а 2 =а 2 — b 2 + b 2 =(а- b )(а+ b )+ b 2
Обычно в качестве b выбираем такое число, чтобы а+ b и a — b было круглым числом.
76 2 =(76+4)(76-4)+4 2 =80х72+4 2 =5760+16=5760 ( b=4) ;
76 2 =(76+6)(76-6)+6 2 =82х70+36=5740+36=5776 ( b =6).
34 2 =(34+6)(34-6)+6 2 =40х28+36=1156;
987 2 =(987+13)(987-13)+13 2 =1000х974+169=974169.
Способы быстрого деления чисел.
Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:
Нахождение частного, когда делитель равен 15, осуществляется по схеме:
Устный счет – это практическое явление, необходимое для развития вычислительных навыков и как следствие устной сдачи экзаменов.
Устное вычисление прекрасно стимулируют развитие памяти у детей и взрослых, увеличивают скорость мышления и улучшают сообразительность, тренируют внимание.
Школьники, развивающие навыки устного счета, очень быстро обгоняют по интеллекту своих одноклассников, полагающихся на калькуляторы.
Гибкость ума является предметом гордости людей, а способности производить быстрые вычисления в уме вызывают удивление.
Источник
Законы математики
О чем эта статья:
Переместительный закон сложения
Начнем изучать основные законы математики со сложения натуральных чисел.
Переместительный закон сложения
От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. С помощью переменных его можно записать так:
m + n = n + m
Переместительный закон сложения работает для любых чисел.
Если прибавить шестерку к двойке — получим восьмерку. И наоборот, прибавим двойку к шестерке — снова получим восьмерку. Это доказывает справедливость переместительного закона сложения.
Приведем пример с весами, которые используют продавцы в магазинах.
Если мы положим на одну чашу весов 3 килограмма конфет, а на другую — такие же 3 килограмма конфет, то стрелка весов будет на нейтральной позиции. Это говорит нам о том, что чаши действительно весят одинаково.
При этом неважно, как будут лежать конфеты, в каком порядке. Если перемешать конфеты в пакете, как шары в лотерейном мешке — их вес не изменится и будет по-прежнему 3 килограмма. От перестановки мест конфет их сумма, то есть вес, не меняется.
Поэтому, между выражениями 8 + 2 и 2 + 8 можно поставить знак равенства. Это значит, что их сумма равна:
Формула переместительного закона для обыкновенных дробей:
Чтобы сложить две дроби нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним. Вот так:
Сочетательный закон сложения
Сочетательный закон сложения помогает группировать слагаемые для удобства их вычислений.
Сочетательный закон сложения: два способа
- Результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.
- Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
Чтобы лучше запомнить суть этого закона, просто выбирайте формулировку, которая вам больше нравится.
Рассмотрим сумму из трех слагаемых:
Чтобы вычислить это выражение, можно сначала сложить числа 1 и 3 и к полученному результату прибавить 4. Чтобы было удобнее, можно сумму 1 и 3 взять в скобки — так мы поймем, что ими нужно заняться в первую очередь:
- 1 + 3 + 4 = (1 + 3) + 4 = 5 + 4 = 8
Или по-другому: сложим числа 3 и 4 и к результату прибавим 1:
- 1 + 3 + 4 = 1 + (3 + 4) = 1 + 7 = 8
В обоих случаях получается один и тот же результат — что и требовалось доказать.
Между выражениями (1 + 3) + 4 и 1 + (3 + 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному и тому же значению:
Отразим сочетательный закон сложения с помощью переменных:
(a + b) + c = a + (b + c)
Формула сочетательного закона для обыкновенных дробей:
Например, если к сумме одной седьмой и трёх седьмых прибавить четыре седьмых, то в результате получим восемь седьмых.
Переставим скобки — к одной седьмой прибавим сумму трёх седьмых и четырех седьмых. И снова ответ будет восемь седьмых.
Значит, сочетательный закон справедлив и для обыкновенных дробей.
Переместительный закон умножения
С каждым новым правилом решать задачки по математике все интереснее.
Переместительный закон умножения
От перемены мест множителей произведение не меняется. То есть, если множимое и множитель поменять местами — их произведение никак не изменится.
Проверим, действительно ли это так. Умножим пятерку на двойку, а потом наоборот:
В обоих случаях получили один ответ — значит между выражениями 5 * 2 и 2 * 5 можно поставить знак равенства.
Переместительный закон умножения с помощью переменных выглядит так:
a * b = b * a
Сочетательный закон умножения
Рассмотрим еще один полезный закон в математике.
Сочетательный закон умножения
Если выражение состоит из нескольких сомножителей, то их произведение не зависит от порядка действий.
Другими словами, умножайте числа в любом порядке — как вам больше нравится.
Это выражение можно вычислить в любом порядке. Давайте сначала перемножим числа 2 и 3, а полученный результат умножим на 4:
А теперь по-другому: перемножим числа 3 и 4, а результат умножим на 2:
- 3 * 4 = 12
- 2 * 12 = 24
- 2 * 3 * 4 = 24
Тот же ответ! Значит между выражениями (2 * 3) * 4 и 2 * (3 * 4) можно поставить знак равенства, так как они равны одному значению.
- (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4)
- 6 * 4 = 2 * 12
- 24 = 24
Для любых натуральных чисел a, b и c верно равенство:
a * b * с = (a * b) * с = a * (b * с)
Пример
Вычислить: 5 * 6 * 7 * 8.
Это выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим слева направо:
5 * 6 * 7 * 8 = 1680
Распределительный закон умножения
Для умножения есть еще один закон — распределительный. На математике в 6 классе он звучит так:
Распределительный закон умножения
- Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
- Чтобы сумму чисел умножить на число, нужно каждое слагаемое отдельно умножить на число и полученные произведения сложить.
То есть при помощи распределительного закона умножения можно умножить сумму на число и число на сумму. Проверим на примере:
Сначала выполним действие в скобках:
В главном выражении (3 + 5) * 2 заменим выражение в скобках на восьмерку:
Получили ответ 16. Этот же пример можно решить с помощью распределительного закона умножения. Для этого каждое слагаемое в скобках, нужно умножить на 2, а потом сложить полученные результаты:
- (3 + 5) * 2 = 3 * 2 + 5 * 2
- 3 * 2 = 6
- 5 * 2 = 10
- 6 + 10 = 16
Отразим распределительный закон умножения с помощью переменных:
(a + b) * c = a * c + b * c
Выражение в скобках (a + b) — это множимое. Тогда переменная с — множитель, так как они соединены знаком умножения.
Из переместительного закона умножения мы знаем, что от перемены мест множимого и множителя произведение не изменится.
Если множимое (a + b) и множитель c поменять местами, то получим выражение c * (a + b). Тогда получится, что мы умножаем переменную c на сумму (a + b). Для такого умножения можно применять распределительный закон умножения. Переменную c можно умножить на каждое слагаемое в скобках:
c * (a + b) = c * a + c * b
Пример 1
Умножим пятерку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
5 * (3 + 2) = 5 * 3 + 5 * 2 = 15 + 10 = 25
Пример 2
Найти значение выражения 2 * (5 + 2).
Умножим двойку на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:
2 * (5 + 2) = 2 * 5 + 2 * 2 = 10 + 4 = 14
Если в скобках не сумма, а разность, то сначала нужно умножить множимое на каждое число, которое в скобках. А после из полученного первого числа вычесть второе число.
Пример 3
Умножим четверку на каждое число в скобках. Из полученного первого числа вычтем второе число:
4 * (6 − 2) = 4 * 6 − 4 * 2 = 24 − 8 = 16
Распределительный закон умножения для суммы обыкновенных дробей:
Распределительный закон умножения для разности обыкновенных дробей:
Проверим справедливость этого закона:
Посчитаем, чему равна левая часть равенства.
Теперь посчитаем, чему равна правая часть равенства.
Так мы доказали справедливость распределительного закона.
Задания для самопроверки
Давайте потренируемся! Решите примеры и сравните с ответами — только чур, не подглядывать 🙂
Задание 1. Найти значение выражения: 8 * (1 + 6).
Задание 2. Применить распределительный закон умножения: 2 * (9 + 5).
Задание 3. Решить в порядке выполнения действий: 3 * (6 + 4) + 7 * (8 + 2).
Задание 4. Решить выражение: 4 * (5 + 4) + 9 * (3 + 2).
Задание 5. Применить распределительный закон умножения: 13 * (3 + 8) + 5 * (4 + 2)
Задание 6. Какое из действий (умножение, деление, сложение или вычитание) нужно выполнить последним ((20 − 1) * 12 + 30) : 3?
Задание 7. В смартфоне 32 гб памяти. Какое количество приложений можно установить, если одно занимает 1,2 гб?
Задание 8. Верно ли равенство: 8 * 5 = 49?
Источник
