Сколько существует способов раскроя

Глава 3. Оптимальный раскрой

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования для решения задач раскроя. Эта об­ласть приложения модели линейного программирования хорошо изучена. Благодаря работам в области оптимального раскроя ос­новоположника теории линейного программирования лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича задачу опти­мального раскроя можно назвать классической прикладной опти­мизационной задачей.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь формулировать и использовать для эконо­мического анализа следующие понятия:

• способ раскроя (рациональный и оптимальный);

• интенсивность использования рациональных способов рас­кроя.

Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосред­ственное использование таких материалов, как правило, невоз­можно. Предварительно их разделяют на заготовки необходимых размеров. Это можно сделать, используя различные способы рас­кроя материала. Задача оптимального раскроя состоит в том, что­бы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала следует раскраивать, при­меняя каждый из выбранных способов. Задачи такого типа воз­никают в металлургии и машиностроении, лесной, лесообрабаты­вающей, легкой промышленности.

Выделяют два этапа решения задачи оптимального раскроя. На первом этапе определяются рациональные способы раскроя мате­риала, на втором — решается задача линейного программирова­ния для определения интенсивности использования рациональных способов раскроя.

1. Определение рациональных способов раскроя материала.

В задачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые рациональные (оптимальные по Парето) способы раскроя. Пред­положим, что из единицы материала можно изготовить заготов­ки нескольких видов. Способ раскроя единицы материала назы­вается рациональным (оптимальным по Парето), если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.

Пусть k — индекс вида заготовки, k = 1. q; i — индекс спо­соба раскроя единицы материала, i = 1. р; а_ik — количество (це­лое число) заготовок вида k, полученных при раскрое единицы материала 2. Определение интенсивности использования рациональных спо­собов раскроя.

k —индекс вида заготовки, k = 1, . q;

i — индекс способа раскроя единицы материала, i = 1. р;

а_ijk — количество (целое число) заготовок вида k, полученных при раскрое единицы j-го материала i-м способом;

b_k — число заготовок вида kв комплекте, поставляемом заказ­чику;

x_ji — количество единицу j-го материала, раскраиваемых по i-му способу (интенсивность использования способа раскроя);

c_ji — величина отхода, полученного при раскрое единицы j-го материала по i-му способу;

у — число комплектов заготовок различного вида, поставля­емых заказчику.

Модель А раскроя с минимальным расходом материалов:

Здесь (1) — целевая функция (минимум количества использу­емых материалов);

(2) — система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;

(3) — условия неотрицательности переменных.

Специфическими для данной области приложения модели ли­нейного программирования являются ограничения (2).

Модель В раскроя с минимальными отходами:

Здесь (4) — целевая функция (минимум отходов при раскрое ма­териалов);

(5) — система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для выполнения заказа;

(6) — условия неотрицательности переменных.

Модель С раскроя с учетом комплектации:

Здесь (7) — целевая функция (максимум комплектов, включающих заготовки различных видов);

(8) — ограничения по количеству материалов;

(9) — система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для формирования комплектов;

(10) — условия неотрицательности переменных.

Специфическими для данной области приложения модели ли­нейного программирования являются ограничения (9).

Пример 1. Способы раскроя металлического стержня.

Определите все рациональные способы раскроя металлического стержня длиной 100 см на заготовки трех типов: длиной 20, 30 и 50 см. Укажите величину отходов для каждого способа.

Решение. Для данного материала и указанных заготовок су­ществует семь различных рациональных способов раскроя. Все они приведены в следующей таблице:

Пример 2. Способы раскроя куска кожи.

Определите все рациональные способы раскроя прямоугольного куска кожи размером 100 х 60 см на квадратные заготовки со сторо­нами 50,40 и 20 см и укажите величину отходов для каждого способа.

Решение. Для данного материала и указанных заготовок су­ществует шесть различных рациональных способов раскроя:

Пример 3. Изготовление парников из металлических стержней.

При изготовлении парников используется материал в виде ме­таллических стержней длиной 220 см. Этот материал разрезается на стержни длиной 120, 100 и 70 см. Для выполнения заказа тре­буется изготовить 80 стержней длиной 120 см, 120 стержней дли­ной 100 см и 102 стержня длиной 70 см.

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Какое минимальное количество материала следует разрезать, чтобы выполнить заказ?

3. Сколько способов раскроя следует использовать при выпол­нении заказа?

Решение. Определяем все рациональные способы раскроя ма­териала на заготовки. Таких способов оказывается пять:

Используем модель А для одного вида материала. Тогда х_i — количество единиц материала, раскраиваемых по i-му способу.

Для ответа на второй и третий вопросы задачи получаем сле­дующую модель линейного программирования с критерием «ми­нимум общего количества используемого материала»:

Решая задачу, получаем следующий результат:

Ответы: 1. Пять способов. 2. 134 единицы материала. 3. Три из пяти рациональных способов раскроя.

Вопрос 1. Способ раскроя называется рациональным, если:

1) он является безотходным;

2) он обеспечивает минимум отходов;

3) отходы меньше любой из заготовок;

4) он позволяет получить наибольшее число заготовок;

5) нет другого способа, дающего не меньше заготовок каждого типа.

Вопрос 2. Рассматривается задача оптимального раскроя дере­вянных брусьев на заготовки для строительства дома. Длина бру­сьев измеряется в сантиметрах. В соответствующей модели линей­ного программирования неизвестными являются интенсивности рациональных способов раскроя материала, значения которых измеряется в штуках. В качестве критерия рассматривается мини­мум отходов. В каких единицах измеряется коэффициент целевой функции?

1) шт.; 2) см; 3) шт./см; 4) см/шт.;

5) безразмерная величина.

Вопрос 3. Рассматривается задача оптимального раскроя кожи для пошива перчаток. В соответствующей модели линейного про­граммирования учитывается ограничение на количество матери­ала. Правая часть ограничения измеряется в штуках кожи. Мак­симизируется количество пар пошитых перчаток. В каких едини­цах измеряется двойственная оценка ресурсного ограничения?

1) шт.; 2) пара; 3) пара/шт.; 4) шт./пара; 5) безразмерная величина.

Вопрос 4. Сколько существует рациональных способов раскроя металлического стержня длиной 100 см на стержни длиной 50, 20 и 10 см?

1) более десяти; 2) десять; 3) девять;

4) восемь; 5) менее восьми.

Вопрос 5. Какое из следующих утверждений является верным?

2) безотходный способ раскроя может быть рациональным;

3) безотходный способ раскроя не является рациональным;

4) рациональный способ раскроя является безотходным;

5) рациональный способ раскроя не является безотходным.

Задача 1. Из прямоугольного листа железа размером 100 х 60 см необходимо изготовить квадратные заготовки со сторонами 50,40 и 20 см. Эти заготовки нужны в качестве перегородок при изго­товлении пластмассовых коробок для хранения инструментов. Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь четыре заготовки со стороной 50 см, шесть заготовок со стороной 40 см и двенадцать — со стороной 20 см. На складе находится 100 листов материала.

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Какое максимальное количество коробок можно изготовить при условии, что оставшиеся заготовки можно использовать для следующей партии коробок?

3. Сколько рациональных способов раскроя следует использо­вать?

4. Сколько листов материала нужно, чтобы изготовить одну коробку?

Задача 2. Существует три рациональных способа раскроя еди­ницы материала А на заготовки трех типов. Эти же заготовки мо­гут быть получены двумя рациональными способами при раскрое единицы материала В. Количество заготовок, получаемых каждым из этих способов, показано в следующей таблице:

Заготовки используются для производства бытовой техники. В комплект поставки входят четыре заготовки первого типа, три заготовки второго типа и семь — третьего типа. На складе имеет­ся 100 единиц материала А и 300 единиц материала В.

1. Сколько рациональных способов раскроя следует использо­вать?

2. Какое максимальное число комплектов заготовок можно из­готовить из имеющегося материала в предположении, что оставшиеся заготовки можно использовать при выполнении следующего заказа?

3. Сколько единиц материала А следует раскраивать третьим способом?

4. Какое максимальное число комплектов заготовок можно из­готовить из имеющегося материала, если число заготовок второго типа в комплекте увеличится до семи?

Задача 3. При раскрое деталей для производства единственно­го изделия на швейной фабрике используются два артикула тка­ни. Ширина ткани 1 м. Изделие собирается из двух деталей, при­чем каждая из них может быть получена путем раскроя ткани любого типа. Ткани можно раскраивать тремя способами, коли­чество деталей каждого вида, полученных из одного погонного метра ткани, указано в следующей таблице:

Ткани 1 поступает на фабрику в 2 раза больше (по длине), чем ткани 2. Количество готовых изделий должно быть максимальным.

1. Сколько способов раскроя ткани 1 следует использовать?

2. Какая часть (в %) ткани 1 должна быть раскроена способом 1?

3. На сколько (в %) изменится выход готовых изделий по срав­нению с первоначальным, если на фабрику будет поступать равное количество обеих тканей?

Задача 4. На производство поступила партия стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо получить 470 заготовок длиной 120 см и 450 заготовок длиной 80 см. Отходы должны быть минимальны.

1. Какое количество стержней длиной 250 см надо разрезать?

2. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать?

3. Какова величина отходов (в см)?

4. Оказалось, что количество стержней длиной 250 см ограни­чено и равно 200 шт. Какое количество стержней длиной 190 см надо разрезать в этом случае?

5. На сколько при этом увеличатся отходы (в см)?

Задача 5. Завод заключил договор на поставку комплектов стерж­ней длиной 18, 23 и 32 см. Причем количество стержней разной длины в комплекте должно быть в соотношении 1:5:3. На сегод­няшний день имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как их следует разрезать, чтобы количество комплектов было максимальным?

1. Сколько существует рациональных способов раскроя?

2. Сколько комплектов стержней будет выпущено?

3. Какова при этом величина отходов (в см)?

Ответы и решения

Определим все рациональные способы раскроя прямоугольного листа железа размером 100 х 60 см на квадратные заготовки со сторонами 50, 40 и 20 см.

Получаем шесть рациональных способов раскроя:

Пусть х₁, . х₆ — количество единиц материала, раскроенных соответству­ющим способом, х₇ — количество изготовленных коробок. Тогда ответ на второй вопрос можно получить, используя следующую модель:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Отсюда следует, что из 100 листов железа можно изготовить 20 ящиков. При этом следует использовать два способа раскроя.

Значение двойственной оценки показывает, что при увеличении количества материала на один лист можно дополнительно изготовить 0,2 коробки.

В следующей таблице приведены границы устойчивости:

Учитывая границы устойчивости по ограничению «материал», можно сделать вывод, что для изготовления одной коробки требуется пять листов железа.

Ответы: I. Шесть способов. 2. 20 коробок. 3. Два способа. 4. Пять листов.

Заметим, что всего существует пять рациональных способов раскроя.

Пусть х₁, . х₅ — количество единиц материала, раскроенных соответству­ющим способом, х₆ — количество комплектов. Тогда используем следующую модель:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

Используется три рациональных способа раскроя из пяти. Из имеющегося материала можно изготовить 320 комплектов заготовок. Третьим способом сле­дует раскраивать все 100 единиц материала А. Для ответа на последний вопрос задачи увеличим количество заготовок в комплекте с 3 до 7. Получим следующий результат:

Ответы: 1. Три способа. 2. 320 комплектов. 3. 100 единиц. 4. 249 комплектов.

Предположим, что на фабрику поступает 100 м ткани 2. Тогда ткани 1 посту­пает 200 м. Модель оптимального раскроя будет иметь следующий вид:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Предположим, что оба вила ткани поступают в равных количествах. Тогда при условии, что общее количество ткани остается неизменным, получаем следующую модель оптимального раскроя:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Ответы: 1. Два способа. 2.50%. 3. На 9%.

Определяем рациональные способы раскроя материала каждого вида на заго­товки. Получаем пять способов, показанных в следующей таблице:

Задача минимизации отходов при условии выполнения задания по изготов­лению заготовок описывается следующей моделью:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

При условии, что количество материала длиной 250 см ограничено, получа­ем модифицированную модель:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Ответы: 1. 385 стержней. 2. 0. 3. 3850см. 4. 295 стержней. 5. На 9800 см.

Определяем рациональные способы раскроя материала каждого вида на заго­товки. Получаем девять способов, показанных в следующей таблице:

Задача максимизации количества комплектов при ограничении на количество используемого материала описывается следующей моделью:

Проводя расчеты, получаем следующий результат:

Ответы: 1. Девять способов. 2. 30 комплектов. 3. 250см.

Источник

Вам также может понравиться

Ясень семена способ распространения

Ясень обыкновенный Fraxinus excelsior – так в ботанической

Ярлыки способы создания ярлыков ос windows

Создаем ярлыки на рабочем столе Windows Создаем ярлыки

Японское удобрение фуджима способ применения

Удобрения Фуджима Знаете потрясающее удобрение, палочка

Японский чай способ заварки

Технология заваривания японского чая Известно, что