Сколько способов выбрать карты

Содержание

Мастерство не пропьёшь
воскресенье, 22 июля 2012 г.
Выбрать 6 карт из колоды
1 комментарий:
комбинаторика — Сколькими способами можно выбрать 6 карт
1 ответ
Комбинаторика — карты
Задайте свой вопрос по высшей математике профессионалам
Другие вопросы на эту тему:
Комбинаторика: рассадка людей за столом
Сколько способов выбрать карты
Подсказка
Ответ
Источники и прецеденты использования

Мастерство не пропьёшь

Головоломки и задачи на сообразительность

воскресенье, 22 июля 2012 г.

Выбрать 6 карт из колоды

Есть полная колода из 52-х карт, без джокеров. Сколькими способами можно выбрать из этой колоды 6 карт так, чтобы в этом наборе были представлены все 4 масти?

Решение
Понятно, что раз карт 6, а мастей 4, то какие-то масти обязательно будут повторяться. Возможны два варианта: либо какая-то масть будет встречаться 3 раза (т.е. 3-1-1-1), либо две масти будут повторяться по два раза (т.е. 2-2-1-1), и других вариантов нет. Это позволяет нам посчитать по отдельности эти два класса.

Сначала рассмотрим вариант с 3 картами одной масти. Сначала мы выбираем «длинную» масть, для этого у нас есть $C^1_4$ варианта. После этого нам нужно выбрать любые 3 карты этой масти, что можно сделать $C^3_<13>$ способами. Наконец, из каждой из оставшихся трёх мастей мы выбираем по одной карте, т.е. трижды по $C^1_<13>$. Общее число способов составить набор вида 3-1-1-1, таким образом, равно$$
P_1 = C^1_4 \cdot C^3_ <13>\cdot \left(C^1_<13>\right)^3
= 4 \cdot \frac<13!> <3!10!>\cdot 13^3
= 4 \cdot \frac<10!\cdot11\cdot12\cdot13><6\cdot10!>\cdot 13^3
= 88\cdot13^4
$$Теперь посчитаем варианты во втором классе. Сначала мы выбираем те две масти, в которых будет по две карты (это $C^2_4$ способа). После этого мы выбираем по две карты из каждой из них (дважды по $C^2_<13>$) и по одной из оставшихся (два раза по $C^1_<13>$).$$
P_2 = C^2_4 \cdot \left(C^2_<13>\right)^2 \cdot \left(C^1_<13>\right)^2
=6 \cdot \left( \frac<13!> <2!11!>\right)^2 \cdot 13^2=$$ $$
=6 \cdot \left( \frac<11!\cdot12\cdot13><2\cdot11!>\right)^2 \cdot 13^2
=6^3 \cdot 13^4 = 216\cdot13^4
$$
Как мы уже заметили, эти два класса не пересекаются, поэтому количество всех способов выбрать 6 карт, задействовав все 4 масти, равно$$
P = P_1 + P_2 = 88\cdot13^4 + 216\cdot13^4 = 304\cdot13^4 = 8682544$$

1 комментарий:

Я считал по-другому, но ответ такой же. Вот мое решение:

# Факториал.
def fac(n):
res = 1
for i in xrange(2, n + 1):
res = res * i
return res

# C из n по k.
def c(n, k):
return fac(n) / fac(k) / fac(n — k)

# Сколькими способами можно выбрать 6 карт одной масти из
# колоды, в которой m мастей (13 карт каждой масти).
def v1(m):
return m * c(13, 6)

# Сколькими способами можно выбрать 6 карт двух мастей из
# колоды, в которой m мастей.
def v2(m):
return c(m, 2) * (c(26, 6) — v1(2))

# Сколькими способами можно выбрать 6 карт трех мастей из
# колоды, в которой m мастей.
def v3(m):
return c(m, 3) * (c(39, 6) — v2(3) — v1(3))

# Сколько всего способов выбрать 6 кари из полной колоды.
total = c(52, 6)

# Сколькими способами можно выбрать 6 карт четырех мастей из
# полной колоды.
result = total — v3(4) — v2(4) — v1(4)

Еще я перебором проверил, что ответ правильный. Программка на C++:

#define FOR(i, n) for (int i = 0; i != n; ++i)

Источник

комбинаторика — Сколькими способами можно выбрать 6 карт

Имеется 52 карты. Сколькими способами можно выбрать 6 карт так, чтобы все масти были разные.

задан 12 Ноя ’14 19:35

gagarin
101 ● 2 ● 20
94&#037 принятых

В условии точно 6 карт? Мастей всего четыре.

Может быть, всё-таки не масти, а значения? В противном случае ответ будет равен нулю.

Важно, чтобы присутствовали все 4 масти. А две остальные естественным образом могут повторяться.

@Алексей авт: тогда надо по-другому формулировать, говоря, что среди 6 карт должны присутствовать карты каждой из 4 мастей.

1 ответ

Если мы достаём 6 карт из колоды, и при этом каждая масть присутствует, то возможны два случая: 1) взяты три карты одной масти, а все остальные — по одной из оставшихся мастей, то есть по схеме 3+1+1+1; 2) взяты по две карты каких-то двух мастей, и по одной из оставшихся, то есть по схеме 2+2+1+1. Подсчитаем отдельно то и другое, а потом сложим.

1) Есть 4 способа загадать ту масть, из которой мы берём три карты. Далее есть $%C_<13>^3$% способов выбрать три конкретные карты этой масти. Потом мы 13 способами трижды берём по одной карте каждой из трёх мастей. Итого по правилу произведения будет $%4\cdot C_<13>^3\cdot13^3$%.

2) Имеется $%C_4^2=6$% способов указать те две масти из четырёх, где мы должны взять по 2 карты. Сами две карты последовательно выбираются $%C_<13>^2=78$% способами из обеих мастей. На следующих двух этапах есть по 13 способов выбора. Итого будет $%6\cdot78^2\cdot13^2$%.

Источник

Комбинаторика — карты

Сколько способов вынуть из колоды в 36 карт:
а) 4 карты,
б) 4 карты разных мастей и достоинств,
в) 4 карты, среди которых 2 бубны?

а) 36*35*34*33. б) 36*26*16*6 в) 9*8*27*26

Валентина Алексеевна по п.а) Это число сочетаний а не размещений))

Да, Виктор Иванович. Спасибо. Я везде размещения понаписала. Ночью надо спать мне (не сова), а не в комбинаторику соваться.

а) Число способов вынуть из колоды в 36 карт 4 карты — это число сочетаний по 4 карты из 36. Это число равно 58 905.
б) 58 905-4*(сочетаний по 4 из 9)-4*(сочетаний по 4 из 9) — это число равно 54 873
в) 58 905- (число сочетаний из 4 по 2)*(число сочетаний из 9 по 2). Это 58905-216=58 689

а) С из 36 по 4, б) 4*С из 9 по 1. в) С из 9 по2 * С из 27 по 2

а) С из 36 по 4=58905 б)9*8*7*6=3024 в) (С из 9 по 2 )*(С из 27 по 2 )=12636

Задайте свой вопрос по высшей математике
профессионалам

Другие вопросы на эту тему:

Комбинаторика: рассадка людей за столом

За длинным столом рассаживают p мужчин и q женщин.
Сколько есть возможных положений, где все мужчины сидят вместе?

Я взяла для примера 3-х мужчин и 2-х женщин, для того, чтобы было легче расписать всевозможные получающиеся комбинации.
И действительно получается 36 различных случаев рассадить мужчин рядом друг с другом, но вот формула p!*(q+1)! = 3!*3! = 36 хотя конечно же и правильная, только как-то тяжело логически усваивается у меня…

Источник