Сколько способов составить четырехзначных чисел

Сколько всего можно составить четырехзначных чисел

Ответ или решение 1

1. Дано четырехзначное число, сумма его цифр рана 3.

Посчитаем, сколько таких чисел существует.

2. На первой позиции может стоять 3, тогда остальные цифры равны 0: 3000.

3. На первой позиции может стоять 2.

Тогда единица может стоять на любом из трех оставшихся разрядов – 3 варианта выбора.

4. На первой позиции может стоять 1, а цифра 2 будет стоять на одном из трех оставшихся разрядов: 1200, 1020, 1002.

3 варианта таких чисел.

5. В числе может быть 3 единицы.

Одна из них точно стоит на первой позиции – иначе число будет двузначным.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n_i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n₁*n₂*n₃*. *n_k.

Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n₁ элементов, а вторая – из n₂ элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n₂. Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n₂. Так как в первой группе всего n₁ элемент, всего возможных вариантов будет n₁*n₂.

Пример 2. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?
Решение: n₁=6 (т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n₂=7 (т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6), n₃=4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4, 6).
Итак, N=n₁*n₂*n₃=6*7*4=168.

В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n₁=n₂=. n_k=n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.

Пример 3. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение. Для каждого разряда четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью.

Число размещений из n элементов по m

Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 4. Различными размещениями из трех элементов по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A_n m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*. *n (читается: «эн факториал»), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример 5. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример 6. Для множества сочетаниями являются , , .

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C_n m и вычисляется по формуле:

Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле P_n=n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение:эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Пример 1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4 и 5, если: а) цифры не повторяются; б) повторение допустимо; в) числа должны быть нечетные и без повторения.

Решение. а) Первую цифру можно выбирать 5-ю способами. Так как в числе цифры не повторяются, то вторую цифру уже можно выбрать из четырех оставшихся 4-мя способами. Далее получаем, что третью цифру можно выбрать 3-мя способами и четвертую – двумя. Таким образом, число возможных четырехзначных чисел равно N=5×4×3×2=120.

б) Так как повторения допустимы, то каждую цифру можно выбирать каждый раз из 5 имеющихся цифр, т.е. пятью способами. Тогда число возможных чисел равно N=5×5×5×5=5 4 =625.

в) У нечетного числа последняя цифра нечетная, т.е. в данном случае может быть либо 1, либо 3, либо 5. Поэтому на это место можно поставить любую из этих трех чисел. После этого на оставшиеся места можно поставить: четыре цифры, три цифры и две цифры, ибо никакие из пяти цифр нельзя использовать более одного раза. Таким образом, N=3×4×3×2=72.

Принцип умножения. Если элемент А можно выбрать из некоторого множества m способами и если после каждого такого выбора элемент B можно выбрать n способами, то пара элементов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана (m×n) способами.

Источник

Комбинаторика. Правила суммы и произведения. Решение задач

Непосредственное применение комбинаторных правил произведения (умножения) и суммы.

1) Правило суммы. Если объект Х можно выбрать n способами, а объект Y можно выбрать m способами, причём эти способы выбора несовместны, то объект « Х или Y » можно выбрать n + m способами.

Несовместность способов выбора означает, что ни один способ выбора объекта Х не совпадает ни с одним способом выбора объекта Y .

Пример 1. Сколькими разными способами можно заказать напиток в кафе, где есть 8 видов сока и 5 видов минеральной воды?

Решение. Напиток – это или сок (объект Х ), или минеральная вода (объект Y ). Сок можно выбрать 8-ю разными способами, минеральную воду – 5-ю, причем способы выбора несовместны. Тогда по правилу суммы напиток (объект « Х или Y ») можно выбрать 8+5=13-ю способами.

Пример 2. Пусть есть колода карт (36 листов). Объект Х – карта червовой масти – может быть выбран 9-ю разными способами. Объект Y – туз – может быть выбран 4-мя разными способами. Сколькими способами может быть выбран объект « Х или Y » – «червовая карта или туз»?

Решение. В этом примере правило суммы не работает , так как способы выбора объектов X и Y совместны: один из способов выбора объекта X совпадает с одним из способов выбора объекта Y (выбор червового туза – это и способ выбора объекта X , и способ выбора объекта Y ).

Задача решается перебором подходящих карт: червовых карт 9 и ещё 3 туза (один уже учтён). Значит, червовую карту или туз можно выбрать 9+3=12-ю способами.

Пример показывает, что при использовании правила суммы необходимо проверять несовместность выборов. В противном случае, можно получить неверный ответ.

На практике интуиция учащихся обычно работает так, что при решении задачи рассматриваются несовместные выборы. Поэтому постоянная проверка условия несовместности «надоедает» и её перестают осуществлять. А это может привести к тому, что «в один прекрасный момент» правило суммы ошибочно будет применено там, где оно не работает! Можно посоветовать учащимся при получении явно неверного ответа вспомнить, что ошибка могла быть именно в этом!

Правило суммы может быть применено к любому конечному числу объектов.

Пример 3. На книжной полке стоит 3 учебника по математике, 4 детектива, 2 задачника по теории вероятностей, 3 любовных романа, 2 сборника стихов и справочник по математике. Сколькими разными способами можно выбрать почитать художественную книгу?

Решение. Художественная книга – это или детектив (объект X ), или роман (объект Y ), или сборник стихов (объект Z ). Детектив можно выбрать 4-мя разными способами, роман – тремя, сборник стихов – двумя. Способы выбора несовместны, так как книг смешанного жанра нет. Тогда, применяя правило суммы к трём объектам, получаем, что художественную книгу, то есть объект « X или Y , или Z », можно выбрать 4+3+2=9-ю способами.

2) Правило произведения. Пусть объект Х может быть выбран n способами и после каждого такого выбора объект Y может быть выбран m способами. Тогда пара « Х и Y » может быть выбрана способами.

Пример. В гардеробе имеется 3 юбки (чёрная, коричневая, фиолетовая) и 4 блузки (белая, сиреневая, желтая и розовая). Сколько разных нарядов можно из них составить?

Решение. Эту задачу можно решать перед формулировкой правила произведения. При этом целесообразно использовать граф для перебора всех вариантов:

Юбку можно выбрать тремя разными способами. Для каждого из них блузку можно выбрать 4-мя способами. Тогда по правилу произведения весь наряд, то есть юбку и блузку, можно выбрать 3 -ю способами.

Правило произведения справедливо для выбора любого конечного числа объектов.

Правило произведения в общем виде. Пусть элемент может быть выбран числом способов. Для каждого способа выбора следующий элемент может быть выбран числом способов. Для каждого способа выбора двух элементов , третий элемент может быть выбран числом способов и т.д. Наконец, для каждого способа выбора элементов элемент может быть выбран числом способов. Тогда кортеж может быть выбран числом способов.

Пример. Сколько существует различных четырёхзначных чисел, составленных из чётных цифр так, что все цифры в числе различны?

Решение. Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Четырёхзначное число – это число, состоящее из четырёх цифр, причем первая цифра не равна нулю. То есть это кортеж . Начинаем составлять число с требуемыми свойствами. Первую цифру можно выбрать 4-мя способами (любую чётную цифру, кроме нуля). Для любого из 4-х способов выбора первой цифры вторую цифру можно выбрать тоже 4-мя способами (любую чётную, кроме той, которая уже выбрана на первое место). После этого третью цифру можно выбрать 3-мя способами. А для любого способа выбора первых трёх цифр четвёртую всегда можно выбрать 2-мя способами. Тогда по правилу произведения все четыре цифры, то есть нужное число, можно выбрать 4 способами. Следовательно, существует 96 различных четырёхзначных чисел, в которых все цифры не повторяются.

Замечание. Необходимо обратить внимание учащихся на равносильность вопросов:

«Сколько существует четырёхзначных чисел, в которых все цифры различны?»

«Сколькими способами можно выбрать четырёхзначное число, в котором все цифры различны?»

«Сколько можно составить четырёхзначных чисел так, чтобы цифры в числе не повторялись?»

Договориться с учениками о способе оформления задач на правило произведения (ступенька!)

1 . Ф. Сколько различных трехзначных чисел, в записи которых цифры могут повторяться, можно записать с помощью цифр: 1)1, 2, 3,4; 2)0,1,2,3?

1) Составляем трехзначные числа из цифр 1, 2, 3, 4 с повторениями: первую цифру можно выбрать 4 способами, вторую и третью -тоже 4 способами, всего можно составить 4-4-4 = 4 =64 различных трехзначных чисел.

2) Составляем трехзначные числа из цифр 0, 1, 2, 3 с повторениями: первую цифру можно выбрать 3 способами (ноль нельзя), вторую и третью — 4 способами каждую; всего можно составить 3 • 4 • 4 = 48 различных трехзначных чисел.

Ответ: 1) 64; 2) 48.

2 . Ф. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 6, 7, 8, 9, 0 при условии, что цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть различными?

1) Составляем трехзначные числа из пяти цифр 6, 7, 8, 9, 0 с повторениями:

первую цифру выбираем 4 способами (ноль нельзя); вторую и третью цифры — 5 способами каждую, всего можно составить 4 • 5 • 5 = 100 различных трехзначных чисел.

2) Составляем трехзначные числа из пяти цифр 6, 7, 8, 9, 0 без
повторений: первую цифру можно составить 4 способами (ноль нельзя),

М-задачи из уч. пособия А.Г.Мордковича

Т- под ред. С.А.Теляковского

вторую — тоже 4 способами (из пяти данных цифр, включая ноль, но исключая цифру, выбранную на первую позицию), третью цифру — 3 способами, всего можно составить: 4 • 4 3 = 48 различных трехзначных чисел.

Ответ: 1) 100; 2)48.

3. Т. Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 10, если цифры в числах могут повторяться?

Четырехзначное число кратно 10, если его первая цифра не ноль, а последняя — только ноль. Задачу проще всего решить прямым применением правила произведения: первую цифру можно выбрать 9 способами, вторую — 10, третью -10 (выбор с повторением), четвертую — 1. По правилу произведения количество чисел равно: = 900.

Ответ: 900 чисел.

4. Т. Из цифр 1, 2, 3, 5 составили все возможные четырехзначные числа (без повторения цифр). Сколько среди них таких чисел, которые больше 2000, но меньше 5000?

Четырехзначные числа, большие 2000, но меньшие 5000, начинаются с цифр 2 или 3 (из данных 4 цифр). Задачу проще всего решить прямым применением правила произведения: выбор первой цифры — 2 способа, второй — 3 способа, третьей -2 способа, четвертой — 1; по правилу произведения количество чисел равно чисел.

5. Т. Из села Дятлова в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино — четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Дятлова в Першино через Матвеевское?

Для проезда из Дятлова в Матвеевское можно выбрать одну из трех дорог; после этого для проезда из Матвеевского в Першино можно выбрать одну из четырех дорог. Каждый вариант первого выбора может сочетаться с каждым вариантом второго выбора, потому по правилу произведения общее количество вариантов равно: = 12.

Замечание. В задаче 2 выбора, но каждый выбор осуществляется из своего множества вариантов; выбираемые пары являются упорядоченными (сначала — путь из Д в М, затем — путь из М в П).

6.Т. В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?

По условию задачи последовательно осуществляются три выбора, но каждый выбор — из своего множества вариантов; поэтому выборы независимы, а каждая выбираемая тройка блюд оказывается упорядоченной (первое — второе — третье). По правилу произведения общее число способов выбрать обед равно

Ответ: 30 способов.

7.Ф. Имеется 6 видов овощей. Решено приготовить салат из 3 видов. Сколько различных (по сочетанию видов овощей) вариантов салатов можно приготовить?

Если считать, что порядок выбора овощей для салата важен и должен учитываться (что кажется странным), то можно приготовить: 6 • 5 • 4 = 120 вариантов салата. Если порядок выбора значения не имеет, то это число нужно разделить на количество различных перестановок из трех элементов, равное = 3! = 6; тогда получим =20 различных вариантов салатов.

Ответ: 120 или 20.

8. Ф. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?

Юбку можно выбрать 3 способами, после этого кофту — 5 способами; всего = 15 различных комбинаций

Ответ: 15 комбинаций.

9. Т. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?

В задаче 4 последовательных выбора, каждый из своего множества вариантов. Общее количество различных карнавальных костюмов по правилу произведения равно: =180.

Ответ: 180 различных костюмов.

10. Ф. На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

Первый тетраэдр может лечь на стол одной из 4 своих граней; второй тетраэдр — также одной из 4 своих граней; всего = 16 Различных пар граней (чисел).

Ответ: 16 пар чисел.

11. Ф. Мама решила сварить компот из фруктов двух видов. Сколько различных (по сочетанию видов фруктов) вариантов компотов может сварить мама, если у нее имеется 7 видов фруктов?

Начиная варить компот, мама может выбрать первым один из 7 видов фруктов, а вторым — один из 6 оставшихся; по правилу произведения получаем = 42 варианта выбора. Однако эти 42 варианта учитывают каждую пару выбранных фруктов дважды, с учетом порядка выбора (т. е. считается яблоки-груши и груши — яблоки). Однако при приготовлении компота разные фрукты закладываются в кастрюлю, как правило, одновременно. И в условии задачи говорится о вариантах по сочетанию видов фруктов, а сочетания порядок не учитывают. Поэтому полученное количество вариантов нужно разделить на 2, чтобы не учитывать порядок выбора. Получаем = 21 вариант.

Ответ: 21 вариант.

12. М. Игральный кубик бросили дважды и записали выпавшие очки. Найдите число всех возможных результатов.

Результатом двух последовательных бросаний является пара чисел — исходов (выпавшие очки при первом и при втором бросаниях). Первое бросание кубика может закончиться одним из 6 исходов, после этого второе бросание также может закончиться одним из 6 исходов. Каждый исход первого бросания может сочетаться с каждым исходом второго, поэтому общее число возможных пар исходов по правилу произведения равно = 36. Это и есть число всех возможных результатов двух бросаний кубика.

Ответ: 36 результатов.

13. Ф. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 0, 1,2, 3, 4, 5, если цифры в числе: 1) могут повторяться; 2) должны быть различными?

В этом случае на первую позицию нельзя выбрать ноль.

1)Если цифры могут повторяться, то выбор первой цифры возможен 5 способами (без нуля), а выбор второй цифры — 6 способами (любую из данных 6 цифр, считая и ноль, и цифру, выбранную первой). Всего возможно составить = 30 различных двузначных чисел.

2)Если цифры не могут повторяться, то выбор первой цифры возможен 5 способами (без нуля), а выбор второй цифры – также 5 способами (считая и ноль, но исключая ненулевую цифру, выбранную первой). Всего возможно составить = 25 чисел.

Ответ: 1) 30; 2) 25.

14. М. а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

б) Сколько среди них чисел, кратных 11?

в) Сколько среди них чисел, кратных 3?

а) Цифру на первую позицию в составленном числе мы можем выбрать 5 разными способами; после этого на вторую позицию цифру можно выбрать также 5 способами (предполагается, что цифры могут повторяться); всего по правилу произведения есть = 25 разных способов выбора и соответственно 25 разных двузначных чисел.

б) Двузначное число кратно 11, если обе его цифры равны, поэтому для составления такого числа достаточно сделать один выбор и выбранную цифру записать на обоих позициях. Одну цифру из 5 данных можно выбрать пятью разными способами, поэтому получаем 5 разных двузначных чисел, кратных 11.

в) Число кратно 3, если сумма его цифр делится на 3. Чтобы подсчитать количество таких чисел, нужно узнать, сколько среди всевозможных пар, отличающихся составом, но не учитывающих порядка расположения цифр в паре, можно составить из 5 данных цифр, а затем подсчитать, сколько среди этих пар таких, сумма цифр которых делится на 3 (фактически мы используем при этом метод полного перебора).

Составим все возможные пары цифр из 1,3, 5, 7, 9 (без учета порядка):

Таких пар 15. Среди них 5 пар (1-5, 3-3, 3-9, 5-7 и 9-9), сумма цифр которых делится на 3, причем три пары (1-5, 3-9 и 5-7) допускают перестановку, т. е. могут образовать по два разных числа. Таким образом, из данных 5 цифр можно составить 5 + 3 = 8 различных двузначных чисел, кратных 3.

Ответ: а) 25; б) 5; в) 5; г) 8.

15. М. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех вертикальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг.

а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?

б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой полосой?

в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней зеленой полосой?

г) Сколько всего стран могут использовать такую символику с синей и красной полосами, расположенными рядом?

Прежде всего отметим, что в условии задачи противоречие: сначала говорят о вертикальных полосах, а потом – о верхней и нижней. Будем считать , что флаг состоит из четырех горизонтальных полос( это несущественно).

а) Нужно определить, сколько есть разных способов переставить местами 4 полосы разного цвета.

Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, цвет второй полосы — одним из 3 оставшихся, цвет третьей полосы -одним из 2 оставшихся, а цвет четвертой полосы — 1 способом (без выбора); по правилу произведения всего есть = 24 разных способа расположения полос на флаге, т. е. 24 разных флага.

б) Если фиксировать цвет верхней полосы, то цвета следующих полос можно выбрать =6 разными способами; получаем 6 флагов с белой верхней полосой.

в) Если фиксировать цвет нижней полосы, то цвета трех расположенных над ней полос можно выбрать =6 разными способами; получаем 6 флагов с нижней зеленой полосой.

г) Две полосы, всегда расположенные рядом, можно рассматривать как одну полосу, тогда полос останется 3, из них можно будет составить =6 разных флагов. Но две полосы (синюю и красную) можно «склеить» по-разному: синяя, а под ней красная или красная, а под ней синяя. Каждую из этих двух двойных полос можно переставлять с оставшимися белой и зеленой полосами, получая по =6 вариантов флага. Поэтому общее количество вариантов по комбинаторному правилу суммы равно 6 + 6=12.

Ответ: а) 24; 6)6; в) 6; г) 12.

Замечание. Можно использовать в рассуждениях и правило произведения: каждый из 2 вариантов «склеивания» полос может сочетаться с 6 вариантами перестановок полос; всего 2 • 6 = 12 вариантов флага.

16.Ф. Сколько существует способов занять 1-е, 2-е и 3-е места на чемпионате по футболу, в котором участвуют: 1) 10 команд; 2) 11 команд?

На первое место можно поставить любую из 10 команд, на второе- любую из 9 оставшихся, на третье- любую из 8 оставшихся; по правилу произведения общее число способов равно

Рассуждая аналогично, получаем различных способов.

Ответ: 1) 720; 2) 990.

17.М. В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты.

а) Сколько команд участвовали в турнире?

б) Сколько команд играли в зеленых футболках?

в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?

г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?

а) Количество команд равно количеству способов выбора двух цветов из 5 данных с учетом порядка (один цвет — для футболки, другой — для трусов). В условии говорится о «всех возможных вариантах», т. е. допускается, что футболка и трусы могут быть одинакового цвета. Поэтому цвет футболки можно выбрать 5 способами, цвет трусов — также 5 способами, всего возможно 5 • 5 = 25 вариантов формы, т. е. в турнире участвовали 25 команд.

б) Если цвет футболки фиксирован, то цвет трусов можно выбрать одним из 5 способов; следовательно, в зеленых футболках играло 5 команд.

в) Если футболки и трусы должны быть разного цвета, то цвет футболки можно выбрать 5 способами, а после этого цвет трусов — только 4 оставшимися; общее число способов выбора равно 5 • 4 = 20, т. е. у 20 команд футболки и трусы разного цвета.

г) Рассмотрим два взаимоисключающих случая:

для футболки выбран не красный цвет;

для футболки выбран красный цвет.

В первом случае есть 4 способа выбрать цвет футболки, а после этого — 3 способа выбрать цвет трусов (кроме красного и цвета Футболки), всего 12 способов.

Во втором случае цвет футболки фиксирован (красный, а цвет трусов можно выбрать 4 способами (кроме красного); всего есть 4 способа выбора формы.

По комбинаторному правилу суммы общее число способов выбора формы в этом случае равно 12 + 4 = 16 способов, т. е. у 16 команд футболки и трусы разного цвета, причем трусы — не красные.

Ответ: а) 25; б) 5; в) 20; г) 16 команд.

18.Ф. Завуч составляет расписание уроков. В пятницу в 7 А классе должно быть 5 уроков, причем обязательно один сдвоенный урок — алгебра. Сколько различных вариантов расписания уроков может составить завуч на пятницу, если 3 оставшихся урока он комбинирует из литературы, истории и физики?

Будем рассматривать сдвоенный урок как один урок, тогда всего нужно поставить в расписание 4 урока. Первый урок можно выбрать из 4 вариантов, второй — из 3, третий — из 2 вариантов, а четвертым поставить оставшийся урок (возможно, это будет сдвоенный урок алгебры). Общее число вариантов расписания равно = 24.

Ответ: 24 варианта.

19.М. В контрольной работе будет пять задач — по одной из каждой пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к контрольной Вова решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

а) общее число всех возможных вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи;

г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой.

а) Первая задача может быть выбрана 10 способами, вторая тоже 10 (из задач другой темы), третья, четвертая и пятая задачи также могут быть выбраны 10 способами каждая; по правилу произведения общее число всех возможных вариантов контрольной работы равно = 105 = 100000.

б) Число вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач, равно = 85 = 32768.

в) Число вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи, равно = 25 = 32.

г) Число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме первой, равно = 2-84 = 8192.

Ответ: а) 100000; б) 32768; в) 32; г) 8192.

20. Ф. При игре в крестики-нолики на поле размером клетки неопытный первый игрок делает 1-й ход: ставит крестик в любую из клеток; вторым ходом второй неопытный игрок ста вит нолик в любую из оставшихся свободных клеток, затем третьим ходом первый игрок ставит крестик и т. д. Сколько существует вариантов заполнения клеток после: 1) двух ходов; 2) трех ходов; 3) четырех ходов?

Первая клетка для заполнения может быть выбрана из 9 свободных клеток, вторая — из 8 оставшихся, и т. д.

После 2 ходов могут быть заполнены любые две клетки из = 72 возможных вариантов их выбора.

После 3 ходов могут быть заполнены любые три клетки из = 504 возможных вариантов их выбора. После 4 ходов могут быть заполнены любые 4 клетки из = 3024 возможных вариантов их выбора.

Ответ: 1) 72; 2) 504; 3) 3024.

21. М. Три вершины правильного 10-угольника покрасили в рыжий цвет, а остальные — в черный. Сколько можно провести отрезков с разноцветными концами?

Первую рыжую вершину можно соединить отрезком с любой из 10 — 3 = 7 черных вершин, после этого вторую рыжую вершину можно соединить отрезком с любой из 6 оставшихся черных вершин, а третью рыжую — с любой из 5 оставшихся черных вершин. Общее число вариантов (отрезков с разноцветными концами) по комбинаторному правилу произведения равно: = 210.

Ответ: 210 отрезков.

22.Ф. Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на дежурство по столовой, если в классе: 1) 24 учащихся; 2) 25 учащихся?

Назначая двух дежурных по столовой, мы не учитываем порядок выбора пары из учащихся данного класса.

1) Если в классе 24 учащихся, то первого дежурного можно выбрать из 24 человек, а второго — из 23 человек. Составленные так пары учитывают порядок выбора: могут быть выбраны Иванов, затем Петров, или Петров, затем Иванов. Поэтому двух дежурных можно выбрать одним из способов.

2)Если в классе 25 учащихся, то, рассуждая аналогично, находим число способов назначения дежурных: =300 способов.

Ответ: 1) 276 способов: 2) 300 способов.

23. Ф. Имеется 7 книг, причем две из них одинаковые, а остальные книги отличаются от этих двух и различны между собой. Сколькими способами можно расставить эти книги на книжки полке при условии, что одинаковые книги в любой последовательности должны стоять рядом?

Поскольку две «склеенные» книги одинаковые, неразличимые то мы не рассматриваем перестановки их между собой.

Ответ: 720 способов.

24. Т. Учащиеся 9 класса решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 24 учащихся?

Возможны две модели:

а) считаем, что в каждой паре только один (первый) учащийся передает свою фотографию, а второй только принимает, ничего не отдавая. Тогда порядок выбора имеет значение: есть 24 способа выбрать отдающего и 23 способа выбрать принимающего, всего 24 = 552 пары, в каждой из которых передается фотография.

б) Считаем, что в каждой паре происходит передача одновременно двух фотографий, т. е. учащиеся в паре равноправны, неразличимы. Тогда при образовании пар порядок выбора не имеет значения; количество таких пар равно =276. Количество фотографий будет в 2 раза больше, чем пар, т. е. = 552.

Можно рассуждать и проще: в классе 24 ученика, каждый должен отдать 23 своих фотографии; общее количество фотографий есть 24 • 23 = 522 (это наша первая модель).

Ответ: 522 фотографии.

25. Ф. Вася забыл вторую и последнюю цифры пятизначного номера телефона приятеля. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Васе, если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в результате дозвониться до приятеля?

Васе предстоит проверить 10 вариантов выбора второй цифры и 10 вариантов выбора пятой цифры телефонного номера; остальные цифры, известные Васе, на перебор никак не влияют. По правилу произведения наибольшее число вариантов номеров, которые предстоит проверить Васе, равно = 100 вариантов.

Ответ: максимум 100 вариантов.

Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах, — Ярославль: ЯГПУ , 1994.

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник для студентов химико-математических специальностей педагогических вузов-2-е издание, переработанное. — М.:Просвещение, 1993.

Бунимович Е. А., Булычёв В.А. Вероятность и статистика. 5-9 классы: Пособие для общеобразовательных учебных заведений, — М.:Дрофа , 2005.

Виленкин Н. Я. и другие. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. — М.:Просвещение,1992.

Виленкин Н. Я. и другие. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики — М.:Просвещение, 1990.

Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс. Пособие для учителей. — М.: Просвещение 1983.

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Математика 9:Алгебра. Функции. Анализ данных — М.: Дрофа, 2000.

Колягин и другие. Алгебра и начала анализа 11 класс. Математика в школе — 2002 — №4 — с.43,44,46.

Люпшкас В.С. Факультативные курсы по математике: теория вероятностей: Учебное пособие для 9-11 классов.- М.,1991.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов.- М.: Просвещение, 2005.

Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) – М.: Мнемозина, 2005.

Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов.- М.: Просвещение, 2005.

Источник