Сколько имеется способов поставить оценки четырем школьникам по пятибалльной системе

Сколько имеется способов поставить оценки четырем школьникам по пятибалльной системе

Комбинаторика для начинающих. МФТИ. Разбор ряда задач недель 2-3

Эти недели были о тех самых четырёх формулах сочетания и размещения.

В семье семеро детей: старший −мальчик, дальше − девочка, девочка, мальчик, мальчик, мальчик и младшая − девочка. Сколькими способами родители могут выбрать имена, если они выбирают из 10 мужских и 13 женских имен и хотят, чтобы имена не повторялись?
Ответ: 8648640.
Решение: можно отвлечься на перечисление детей по возрасту. Не стоит. Соль в их количестве и условии различия имён. Все. Следовательно, обращаемся к числу размещений без повторений, а по правилу умножения размещению 4 мужских имён из 10 известных соответственно 3 женских из 13.

Жених и невеста выбирают трехъярусный свадебный торт. На выбор имеются 5 типов ярусов (бисквитный, йогуртовый, чизкейк и т.д.). Сколько различных тортов может предложить кондитер, если бисквитных ярусов может быть не больше двух, а ярусов любого другого типа не больше одного?
Ответ: 72.
Решение: используем правило сложения и суммируем результаты по трём вариантам — бисквитных ярусов нет, он один, их два.
Если их нет, мы просто размещаем по трём слоям четыре типа. Нам нельзя иметь более одного одинакового слоя из оставшихся. Это размещение без повторений из 4 по 3. Равно 24.
Один ярус может быть занят 3 способами, кроме того, каждому варианту соответствует размещение из 4 уже по 2. Это 3*12=36.
Наконец, бисквитных ярусов два. Они так же могут быть в составе торта 3 способами (чисто интуитивно 1-2, 2-3, 3-1) и им соответствует размещение уже из 4 по 1. 3*4=12.
Итого 24+36+12=72.

В университете десятибальная система оценок: 1−2 −»неудовлетворительно», 3−4 − «удовлетворительно», 5−7 − «хорошо» и 8−10 −»отлично». Сколькими способами можно поставить оценки 5 студентам, если известно, что экзамен сдали все (т.е. нет неудовлетворительных оценок)?
Ответ: 32768.
Решение: задача уже на размещение с повторениями. Ведь оценок у нас хоть сколько, а студенты разные. Здесь варианты 88889 и 88988 это не одно и то же.
Если неудовлетворительных оценок нет, но мы рассматриваем лишь 8 вариантов оценивания, а не 10. И «разместить» эти оценки мы должны по 5 студентам. С возможными повторениями. То бишь, это 8^5.

Группа из 8 студентов пришла в столовую. Сколькими способами они могут занять очередь друг за другом, если Маша и Таня хотят стоять рядом, а Коля не хочет быть последним?
Ответ: 8640.
Решение: Машу и Таню разделять нельзя — они, хоть убей, должны стоять вместе. Давайте для удобства считать, что они японские студентки в коротких юбках и вдвоем пилотируют огромного робота. Можно сказать, что из 8 мест становится 7, так как студентов у нас как будто стало 7.
Но у Коли нет варианта встать на последнее место из 7. У него вариантов вообще 6 — все, кроме последнего.
У всех остальных нет подобных заоморочек. На остальные оставшиеся ребята могут разместиться 6! способами — не 7!, т.к. Коля явно очень голоден и последним в очереди не будет.
Уточним. Маша и Таня могут поменяться местами между собой. Поэтому нам надо не просто умножить 6 на 6!, но и ещё на 2 — есть большая разница между тем, кто пилотирует робота и тем, кто находиться за прицелом и ведёт огонь по вражеским силам. Поэтому 6*6!*2.

У королевы есть 12 одинаковых зеркал. Сколькими способами их можно повесить в 8 разных залах замка так, чтобы в каждом зале было хотя бы одно зеркало?
Ответ: 330.
Решение: внимательно прочитайте — ХОТЯ БЫ одно зеркало. То есть, или одно или два. Здесь нельзя вслепую выбрать сочетание (а порядок не важен и количество зеркал ограничено) 8 из 12. Нет.
Залов меньше, чем зеркал. Очевидно, будут залы с не одним зеркалом.
«Первые восемь» зеркал мы уже, давайте считать, повесили. Уточнение — да, залы разные, но сами зеркала одинаковые. Эти восемь взяли и повесили и, как потом не меняй их местами, суть не меняется.
А вот оставшиеся зеркала это уже другой вопрос. Их 4.
У нас есть 4 оставшихся зеркала. И 8 залов. Мы не обязаны раскидывать эти зеркала равномерно или через раз или ещё как. Мы вообще можем их все отнести в один зал. Это тонкий момент — если мы эти четыре зеркала можем отнести в один зал, то этот зал ПОВТОРЯЕТСЯ. Но при этом порядок тут не имеет значения.
Как вы уже догадываетесь — это сочетание с повторениями. Надо выбрать, в какой из восьми залов нести четыре зеркала. То есть, тут мы выбираем, по сути зал. Они разные, а зеркала одинаковые. Стало быть, это сочетание из 8 по 4 с повторами.

Сколькими способами в течение 5 дней можно выбирать на дежурство по 4 ученика из класса в 20 человек так, чтобы каждый день состав дежурных был разным?
Ответ: скрин.
Решение: легче, чем кажется. Без привязки к дням — как можно выбрать дежурных? Сочетание без повторений из 20 по 4. А дальше? А дальше просто из каждого нового дня вычитаем вариант, который был вчера. А затем это все умножить, ведь надо знать количество способов всего. И обратите внимание, как ловко сочетания тут свернулись в размещения.

Источник

Эксперты: пятибалльная система оценки удобна для учителей, но выбор за школой

МОСКВА, 16 августа. /ТАСС/. Традиционная пятибалльная система оценки школьных знаний остается актуальной и удобной для российских учителей, при этом каждой школе нужно дать возможность самостоятельно выбирать для себя ту или иную систему оценивания. Такое мнение в четверг выразили опрошенные ТАСС эксперты.

Ранее в ряде СМИ сообщалось, что новая версия электронного дневника и журнала в Москве позволяет учителям использовать не только пятибалльную систему оценивания, но и 100- и 10-балльную шкалу. Отмечалось, что это дает более широкие возможности для контроля за успеваемостью детей, в отличие от нынешней привычной пятибалльной системы. Глава министерства просвещения РФ Ольга Васильева сообщила, что пятибалльная система оценки знаний является для российских школьников традиционной, дальше дискуссии о том, чтобы перейти на другую систему, дело не пойдет.

Заместитель председателя комитета Госдумы по образованию и науке Любовь Духанина считает, что существующая пятибалльная система понятна и удобна как учителям, так и родителям с учениками.

«Сегодня фактически существует пятибалльная система, которая действует многие десятки лет. Она понятна учителям, родителям, ученикам. И одновременно уже есть фактически 100-балльная система, которая используется в период проведения единого государственного экзамена. Часто звучит вопрос о том, что не очевиден переход от пятерки к другой оценке. Может быть, правильно сделать таким образом, чтобы текущие школьные оценки больше коррелировали с системой оценивания, которая используется в рамках государственной итоговой аттестации,» — сказала Духанина.

По ее мнению, введение новой системы оценивания требует серьезного обоснования с точки зрения использования той или иной оценки.

«Например, если предлагается 10-балльная система, то что такое пять баллов? Поэтому важно, чтобы предлагаемая система была достаточно серьезно проработана, апробирована и только потом выходила в реализацию масштабов всей страны. Актуальной остается не система оценивания, актуальным всегда остается качественное образование, реальные знания, навыки, компетенции, умения, личностные качества, которые ребенок успевает развить в рамках формальной системы образования», — отметила Духанина.

Хорошему учителю достаточно пятибалльной системы

Научный руководитель Института проблем образовательной политики «Эврика» Александр Адамский считает, что если оценивать только предметные знания, то затевать какие-то изменения не имеет смысла.

«Есть много способов, благодаря которым учитель при пятибалльной системе может выделить те результаты, которые либо очень хорошо получились, либо не получились у ученика. А вот если мы начинаем все-таки всерьез реализовывать федеральный государственный образовательный стандарт, в котором есть только метапредметные и личностные результаты, то надо честно сказать, что инструментов для оценки таких результатов у нас нет или крайне мало», — сказал Адамский.

По его словам, разработаны событийные формы предъявления знаний, творческие формы — выставки, публикации, спектакли и так далее. «В этом смысле зацикливаться при системе оценки только на числовую шкалу, мне кажется, вчерашний день. Поэтому, с этой точки зрения, пять, 10 или 12 большого значения не имеет. Хороший учитель обойдется и пятибалльной системой, а плохому все равно — 10 или 12», — считает Адамский.

Школа должна сама выбирать систему

«Не думаю, что это должна быть какая-то централизованная единая политика по баллам — взять и вот так принять решение, что теперь все школы страны переходят на такую-то систему. Несмотря на то, что она [пятибалльная система] считается традиционной и в связи с этим, возможно, удобной для большинства педагогов и каких-то целых образовательных комплексов, каждая школа вольна принимать свое собственное решение», — считает директор по развитию Национальной родительской ассоциации Марианна Шевченко.

По ее мнению, каждая школа, имея возможности и, самое главное, чувствуя в этом потребность, имеет право переходить на удобную для себя систему оценки знаний.

«Не вижу сумасшедшей потребности это делать и невозможность это не сделать в рамках конкретной школы. Наверное, можно говорить о том, что все-таки пятибалльная система, являясь традиционной, может оставаться уже где-то в прошлом. Но если за нее так активно по-прежнему держатся, я так думаю, что в первую очередь педагоги, значит, что-то такое в ней есть, что им комфортно и удобно пользоваться, чем большим набором оценок,» — заключила Шевченко.

Источник

В школах подводят итоги четверти: родители в недоумении

Считанные дни остаются до школьных каникул. В школах подводят итоги второй четверти, и многие родители, мягко говоря, в недоумении. Итоговые оценки их детей не сходятся с данными электронных дневников. Некоторые отличники превращаются в хорошистов, а двоечники — наоборот — радуются результатам. Как так вышло?

— Я в принципе не понимаю, как выставляются оценки в электронном дневнике, потому что тут есть вот эти промежуточные баллы.

Разобраться в электронном дневнике своей дочери у Олеси Старцевой получается с трудом. Ей не понятно, почему при большинстве пятерок по алгебре итоговая оценка — «твердая» четверка.

— Если ребенок учится хорошо — вот, допустим, 4,60, — то учитель не поставит 5, поставит 4, потому что ребенок до 5 не дотягивает. То есть, двоечников мы вытягиваем, а хорошистов? Я не понимаю!

А вот Оксане Кучеровой — маме сразу троих школьников — подсчет среднего балла кажется задачей несложной

— Наверно, всем понятно, что это складывается и делится на количество выставленных оценок.

Но все не так просто — ведь от итоговой оценки за четверть этот средний балл тоже может отличаться. Вот пример. Оценки за первый триместр — семь пятерок и четыре четверки. Средний балл — 4,64, но итоговая оценка — 4. Почему? Оказывается, оценка оценке рознь.

«Все понимают, что значимость контрольной работы все-таки неизмеримо выше, нежели даже блестящий, но устный ответ у доски», — объясняет директор школы № 1995 Елена Норенко.

Оценки за контрольные работы в электронном дневнике выделены жирным шрифтом.

— По контрольным работам он может посчитать средний балл — но только в том случае, если вы активировали эту кнопку.

Сколько «весит» оценка, решают сами учителя.

«Конечно, в первую очередь руководствуемся локальным нормативным актом о выставлении оценок. Мы обращаем внимание на те работы, которые показывают умение ребенка применять знания, полученные на практике, то, насколько он овладел программным материалом», — говорит учитель русского языка и литературы школы № 109 Лариса Евстратова.

«У меня был такой случай, что у меня было на грани тройки или четверки, и учитель поставил мне 4, потому что контрольную я писала на хорошую оценку», — рассказывает одна из учениц.

Получается, средний балл итоговой оценкой автоматически не становится. Более того — администрация учебного заведения не вправе устанавливать некий коэффициент, при котором оценка округляется в одну или другую сторону. Это когда в одних школах, чтобы получить 5 по предмету, достаточно набрать 4,5 средних балла, а в других — 4,7. Решение по-прежнему остается за учителем, который знает возможности каждого ребенка.

«Какой может быть коэффициент, когда у нас только одно — ребенок знает, а если нет, то что еще нужно сделать для того, чтобы он это освоил?» — говорит Елена Норенко.

При этом оценить эти знания по пятибалльной шкале сложно. Чтобы сделать это объективно, по мнению многих педагогов, правильнее применять, к примеру, 100-балльную шкалу. Такая система оценки знаний в качестве эксперимента уже работает в некоторых московских школах.

Источник

Опять двойка: нужно ли в школах вводить 100-балльную систему

Фото: m24.ru/Лидия Широнина

Новая версия электронных дневников в московских школах теперь позволяет оценивать знания по 100-балльной, 10-балльной и буквенной системам оценки. Директор центра образования «Царицыно» Ефим Рачевский, заведующий кафедрой психологии личности факультета психологии МГУ Александр Асмолов и другие заслуженные учителя России рассказали m24.ru, нужно ли прощаться с привычными пятерками и четверками в школе, а также о том, как оценки влияют на знания школьников и мотивацию в учебе.

Фото: ТАСС/Михаил Климентьев

Ефим Рачевский, директор центра образования «Царицыно» № 548:

– По закону любая школа может вводить у себя любую систему оценок. В нашей школе пятибалльная система, и мы ее не планируем менять. Я не считаю, что изменение шкалы на что-то влияет. Да, вместо оценки 3+ можно поставить 39 баллов. Это хорошо, так будет точнее. Но, в принципе, это мало что меняет.

На мой взгляд, в школьных оценках есть системная ошибка. У ученика отнимается право на ошибку. Мы привыкли снимать баллы за неверное решение, а не прибавлять баллы за то, что ребенок сделал. Может быть, ответ получился неверным, но решение было инновационное. Если в этот момент ребенка не поддержать, то со временем он перестанет творить и пробовать новое. Так мы теряем будущих ученых, а оценки теряют свой первоначальный смысл – воспитывать и мотивировать.

Человеку нужны оценки с самого момента рождения. Вспомните себя в четырехлетнем возрасте. Вам же говорили, что делать хорошо, а что плохо. Может быть, к концу недели за то, что вы ничего не подожгли и не испортили, вас награждали порцией мороженого или походом в кино на мультфильм. Все это оценивание. Без этого невозможно научение, освоение новых знаний и практик.

Но мы оценку подменяем школьным понятием «отметка». Это две совершенно разные вещи. Оценивание в школе начинает с момента, как ребенок в нее попал. А вот отметки в нашей школе ставят только со второго класса.

Когда говорят о гуманной педагогике, предлагают использовать безотметочные технологии. В школах Москвы это практикуют. Но все равно ученикам ставят солдатиков, гусят, звездочки.

В начальной школе я бы ввел систему оценок, где не было бы верхнего предела. Чем лучше учишься, тем больше солдатиков получаешь. Их максимальное количество не надо ограничивать пятью, как это обычно делают. Тогда ученики поймут, что могут заработать столько солдатиков, сколько смогут. Это повысит мотивацию и создаст рейтинговую систему оценок.

Фото: ТАСС/Юрий Машков

Александр Асмолов, заведующий кафедрой психологии личности факультета психологии МГУ, член-корреспондент Российской академии образования:

– Когда мы вводим новые критерии оценки качества и пытаемся школьникам дать детальную обратную связь об их успеваемости, мы должны четко понимать, ради чего мы это делаем. Любые меры в образовании балансируют между двумя полюсами – развитием ученика или усилением контроля за образованием. Все инновации должны ориентироваться на развитие, потому что контроль парализует сознание.

Школьники должны понимать, зачем им вводят новые шкалы, иначе инновация не принесет пользы. Им должно быть ясно, как их оценивают. Они не должны путаться в баллах. А это может произойти, если резко перейти от привычной пятибалльной системы к 100-балльной системе.

Еще вопрос – как делать пересчет из одной системы в другую. Вспомните, например, как сложно купить себе вещь в магазине, когда размеры на ней указаны в европейской и американской системе отчета, если вы привыкли к российской. Надо все померить и запомнить. Для этого нужно время.

Евгения Абелюк, заслуженный учитель РФ, учитель литературы лицея № 1525 «Воробьевы горы»:

– Я не чувствую необходимости переходить на 100-балльную систему оценки знаний школьников. По-видимому, потому, что не понимаю, как пользоваться новой шкалой. При критериальном оценивании, когда нужна объективная внешняя оценка, дается конкретная работа (например, экзаменационная или олимпиадная), для которой специально разработаны критерии оценки, и заранее оговаривается, сколько стоит выполнение каждого задания. Такая шкала, безусловно, нужна. Она нужна везде, где нужно по всей стране унифицировать систему оценки какой-то работы.

Другой вопрос, как эту систему ежедневно применять в условиях школы? Может, конечно, быть накопительная рейтинговая система. Но нужно помнить, что учитель должен иметь право и на субъективную внутреннюю оценку. Например, он должен иметь возможность по-разному оценить работу одного и того же уровня у слабого и сильного ученика. Все зависит от возможностей ребенка. Например, если я вижу, что работа слабая, но выполнявший ее человек многого добился, я сознательно поставлю ему завышенную оценку. К тому же я считаю, что ребенка лучше растить на похвале. Успех может подстегнуть интерес. И потому иногда я ставлю одну отметку, а в скобках пишу оценку на балл ниже, а рядом оставляю подробную рецензию на работу. Важно не просто оценить, а объяснить школьнику, что он сделал верно, а с чем еще надо работать.

Возможно, правда, новая шкала даст мне какие-то возможности, о которых я не подозреваю. Тогда пусть мне покажут, что это за возможности.

Александр Рывкин, заслуженный учитель России, кандидат исторических наук, директор центра образования № 1811 «Измайлово»:

– Возможность вводить более детальные шкалы оценки знаний школе нужны. Это новый шаг в системе образования Москвы. Нововведение пойдет на пользу и ученикам, и учителям.

100-балльная система, например, может помочь ввести сразу несколько критериев, по которым будут оцениваться знания. Например, правильно ли выполнено задание, была ли проявлена инициатива и самостоятельность, креативность, сделано ли решение кейсовой задачи и так далее. Оценка по пятибалльной шкале делать это не позволяет.

Ставить отметки от 0 до 5 начали в XIX веке в гимназиях. Нуль означал, что ученик совсем не исполнил своих обязанностей. Если он получал два нуля подряд, то его наказывали телесно (до 1864 года). Единицу и двойку ставили за неудовлетворительную подготовку к уроку; тройку – за посредственное прилежание; четыре ставили, если ученик хорошо исполнил свои обязанности; пять – за отличное знание.

В России пятибалльная система оценивания была установлена в качестве единой и официальной для всех школ только в 1937 году Министерством народного просвещения. Единицу мы потеряли уже в XX веке. Она стала больше эмоциональной оценкой, чем показателем знаний. Ставить ее учащимся перестали, поэтому система стала, по сути, четырехбалльной.

Сейчас в России нет единой системы оценивания. Согласно законодательству, 28-й статье закона «Об образовании в РФ», систему оценок каждая школа выбирает самостоятельно. И действительно, в некоторых школах есть семибалльная система, где-то проводят контрольные работы по 100-балльной системе, близкой к ЕГЭ. Но после завершения школы, для того чтобы выставить отметки в аттестат, каждая школа должна пересчитать их в пятибалльную систему. Двойки и единицы в аттестат не ставятся, так как свидетельствуют о неосвоении материала, а значит, и не получении общего образования, аттестат в этом случае выдать нельзя.

Источник