Сколькими способами за столом президиума могут сесть 7 участников дискуссии за круглым столом
Принимаются заказы на решение задач, выполнение контрольных работ по:
аналитической геометрии и линейной алгебре;
математическому анализу,
дифференциальным уравнениям,
теории вероятностей и математической статистике,
математическому программированию,
экономико-математическим методам и моделям;
эконометрике;
финансовой математике и др.
Все подробности здесь
Теория вероятностей
1. Сколькими способами можно расположить шесть разных книг в ряд на одной полке?
2. Алхимик использует семь ингредиентов для приготовления эликсира жизни. Сколько существует различных порядков вливания их в воду?
3. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр. 1) Сколько всего получится таких чисел? 2) Сколько среди них будет начинаться с цифры 5? 3) Сколько чисел будет оканчиваться комбинацией 41? 4) Сколько получится четных и сколько нечетных чисел? 5) Сколько получится чисел, кратных 3?
4. Сколько пятизначных чисел без повторяющихся цифр можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4?
5. 1) Сколькими способами за столом президиума собрания могут сесть семь членом президиума? 2) Сколькими способами за круглым столом могут сесть семь участников дискуссии?
6. Сколько трехзначных чисел без повторяющихся цифр можно записать, используя цифры:
а) 1, 2, 3, 4, 5; б) 0, 1, 2, 3, 4, 5?
7. На собрании членов кооператива присутствуют 20 человек. Сколькими способами из присутствующих можно выбрать: а) правление кооператива в составе 5 человек; б) председателя правления, его заместителя и бухгалтера?
8. Каждый из девяти человек обменялся рукопожатиями с восемью остальными. Сколько было рукопожатий? Сколькими способами можно выбрать двух человек (для рукопожатия) из девяти?
9. Сколько диагоналей имеет выпуклый 15-угольник; выпуклый n-угольник?
10. Из отряда солдат в 50 человек назначается в караул 4 человека. Сколькими способами это можно сделать? Сколько среди них таких, что в число караульных попадает рядовой Иванов?
11. На флагштоке 5 мест и 5 флагов: 2 красных и 3 белых. Сколько различных сигналов можно изобразить, используя все флаги одновременно?
12. На прямой отмечены 5 точек: А, B, C, D, E. Сколько отрезков определяют эти точки?
13. Из вершины прямого угла внутри него проведено 5 лучей. Сколько острых углов образовалось при этом?
14. Сколькими путями можно попасть: а) из точки О(0,0) в точку Р(5,3); б) из точки А(1,2) в точку В(3,5); в) из точки О(0,0) в точку Р(5,3) через точку А(1,2)? Допустимые движения складываются из движений вверх и движений вправо. Смена направления движения может произойти только в точке с целочисленными координатами.
15. В условиях предыдущей задачи определите число точек, в которых можно попасть из точки О(0,0) за k шагов. Под «шагом» в данном случае подразумевается допустимое движение на расстояние 1.
16. В шахматном кружке 12 юношей и 8 девушек. Для участия в соревнованиях из них нужно составить команду, в которую должны войти 9 юношей и 3 девушки. Сколькими способами это можно сделать?
17. Сколькими способами группу из 12 юношей и 8 девушек можно разбить на две группы по 10 человек так, чтобы в каждой из образоавшихся групп оказалось по 4 девушки?
18. Сколькими способами можно 20 шахматистов разбить на две группы по 10 человек так, чтобы двое наиболее сильных шахматистов оказались: в разных группах; в одной группе?
19. Автоматическая система состоит из пяти параллельно соединенных узлов. По тем или иным причинам за время Т каждый из этих узлов, независимо от остальных узлов, может выйти из строя. Сколько существует различных вариантов состояния системы к моменту времени Т? Сколько среди них таких, для которых хотя бы один узел оказывается не вышедшим из строя?
20. Для многочлена найдите: а) коэффициент при x 6 ; б) коэффициент при x; в) коэффициент при x 3 ; г) свободный член.
21. Найдите коэффициент при x 3 многочлена
22. Выпишите 10 строк треугольника Паскаля.
23. Сколько подмножеств имеет множество состоящее из 10 первых членов натурального ряда? Сколько из них содержит ровно три элемента?
24. Сколько непустых подмножеств содержит множество Сколько из них содержит лишь четные числа?
25. Сколькими способами можно выбрать нечетное число предметов из семи предметов; из восьми предметов?
26. Сколько аккордов можно взять на 10 клавишах рояля, если каждый аккорд содержит от 3 до 10 звуков?
27. Чему равен наибольший коэффициент разложения при
28. Чему равен наибольший коэффициент разложения если сумма всех коэффициентов разложения равна 4096?
29. Докажите, что С n 2n — четное число.
Макроэкономика
12. Дана функция потребления Представить объем сбережений в виде функции от дохода до налогообложения, если ставка подоходного налога равна 13%.
13. Зависимость между величиной национального дохода и объемом потребления домашних хозяйств задана следующей таблицей:
y
200
350
500
650
C
300
375
450
525
Определить: а) алгебраический вид функции потребления; б) при каком доходе сбережения равны нулю?
Автор оставляет за собой право:
а) отвечать не на все полученные письма, б) публиковать полностью или частично полученные письма в рассылке.
Источник
Сколькими способами за столом президиума могут сесть 7 участников дискуссии за круглым столом
В школьном курсе понятие «круговые перестановки» встречается в 7 классе в учебнике по алгебре в разделе «Для тех, кому интересно» [3].
В комбинаторных задачах часто ставится вопрос о том, сколькими способами можно расположить в ряд, или, как говорят математики, упорядочить, все элементы некоторого множества.
Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой. Получаемые при этом упорядоченные множества, которые отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов, называют перестановками без повторений из п элементовили «круговыми перестановками».
Из истории комбинаторики
Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют “сочетания”. В ХII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из п слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в Х V II в. В книге “Теория и практика арифметики” (1656 г.) французский автор Андре Таке также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу.
Б. Паскаль в “Трактате об арифметическом треугольнике” и в “Трактате о числовых порядках” (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин “комбинаторика” стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы “Рассуждение о комбинаторном искусстве”, в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги “Аг s соп j ес t ап d i” (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в ХIХ в [4].
Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств — правило суммы и правило произведения. При решении задач на перестановки используется правило умножения.
Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой. Рассмотрим задачу: В турнире четверо участников. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?
Будем рассуждать в соответствии с правилом умножения. Первое место может занять любой из четырех участников. При этом второе место может занять любой из трех оставшихся, третье любой из двух оставшихся, а на четвертом месте останется последний участник. Значит, места между участниками могут быть распределены 4 ۰ 3 ۰ 2 ۰ 1 = 24 способами. Решив задачу, мы фактически подсчитали число перестановок для множества из четырех элементов. Рассуждая точно так же, можно показать, что для множества из пяти элементов число перестановок равно 5 ۰ 4 ۰ 3 ۰ 2 ۰ 1, а для множества из десяти элементов это число равно 10 ۰ 9 ۰ 8 ۰ 7 ۰ б ۰ 5 ۰ 4 ۰ 3 ۰ 2 ۰ 1.
Вообще если множество содержит п элементов, то число перестановок равно произведению п(п – 1)(п – 2) ۰…۰ 2 ۰ 1. Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке: 1 ۰ 2 ۰ . ۰ (п – 2)(п – 1)п.
Такие произведения бывают очень длинными и часто выражаются огромными числами. Однако в математике есть специальный символ для их обозначения. Произведение всех натуральных чисел от 1 до п обозначаютп! (читают: «п факториал»). Значение выражения п! можно найти для любого натурального числа п (при этом считают, что 1! = 1).
Факториалы растут удивительно быстро. Можно понаблюдать за их изменением, рассмотрев таблицу, в которой приведены факториалы чисел от 1 до 10:
Источник
Сколькими способами за столом президиума могут сесть 7 участников дискуссии за круглым столом
За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна
Приведём другое решение (перестановки).
Число способов рассадить 9 человек по девяти стульям равно Благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит «первая» девочка, на соседнем справа сидит «вторая» девочка, а на остальных семи стульях произвольным образом рассажены мальчики. Поскольку выбрать «первую» девочку можно двумя способами, количество таких исходов равно А так как «первым» стулом может быть любой из девяти стульев (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 9. Таким образом, вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом, равна
Приведём другое решение (круговые перестановки).
Напомним, что число способов, которыми можно расположить n различных объектов по n расположенным по кругу местам равно (n − 1)! Поэтому посадить за круглым столом 9 детей можно 8! способами. Объединим двух девочек в пару, это можно сделать двумя способами; рассадить по кругу 7 мальчиков и эту неделимую пару можно 7! способами. Тем самым, посадить детей требуемым образом можно 2 · 7! способами, поэтому искомая вероятность равна
Рассуждая аналогично, получим, что в общем случае для n девочек и m мальчиков, сидящих девочки с девочками, а мальчики с мальчиками, количество способов занять места за круговым столом равно n!m!, а вероятность случайной рассадки требуемым образом равна
Источник
Сколькими способами за столом президиума могут сесть 7 участников дискуссии за круглым столом
В школьном курсе понятие «круговые перестановки» встречается в 7 классе в учебнике по алгебре в разделе «Для тех, кому интересно» [3].
В комбинаторных задачах часто ставится вопрос о том, сколькими способами можно расположить в ряд, или, как говорят математики, упорядочить, все элементы некоторого множества.
Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой. Получаемые при этом упорядоченные множества, которые отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов, называют перестановками без повторений из п элементовили «круговыми перестановками».
Из истории комбинаторики
Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют “сочетания”. В ХII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из п слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в Х V II в. В книге “Теория и практика арифметики” (1656 г.) французский автор Андре Таке также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу.
Б. Паскаль в “Трактате об арифметическом треугольнике” и в “Трактате о числовых порядках” (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин “комбинаторика” стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы “Рассуждение о комбинаторном искусстве”, в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги “Аг s соп j ес t ап d i” (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в ХIХ в [4].
Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств — правило суммы и правило произведения. При решении задач на перестановки используется правило умножения.
Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой. Рассмотрим задачу: В турнире четверо участников. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?
Будем рассуждать в соответствии с правилом умножения. Первое место может занять любой из четырех участников. При этом второе место может занять любой из трех оставшихся, третье любой из двух оставшихся, а на четвертом месте останется последний участник. Значит, места между участниками могут быть распределены 4 ۰ 3 ۰ 2 ۰ 1 = 24 способами. Решив задачу, мы фактически подсчитали число перестановок для множества из четырех элементов. Рассуждая точно так же, можно показать, что для множества из пяти элементов число перестановок равно 5 ۰ 4 ۰ 3 ۰ 2 ۰ 1, а для множества из десяти элементов это число равно 10 ۰ 9 ۰ 8 ۰ 7 ۰ б ۰ 5 ۰ 4 ۰ 3 ۰ 2 ۰ 1.
Вообще если множество содержит п элементов, то число перестановок равно произведению п(п – 1)(п – 2) ۰…۰ 2 ۰ 1. Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке: 1 ۰ 2 ۰ . ۰ (п – 2)(п – 1)п.
Такие произведения бывают очень длинными и часто выражаются огромными числами. Однако в математике есть специальный символ для их обозначения. Произведение всех натуральных чисел от 1 до п обозначаютп! (читают: «п факториал»). Значение выражения п! можно найти для любого натурального числа п (при этом считают, что 1! = 1).
Факториалы растут удивительно быстро. Можно понаблюдать за их изменением, рассмотрев таблицу, в которой приведены факториалы чисел от 1 до 10:
Благоприятным является случай, когда на «первом» стуле сидит «первая» девочка, на соседнем справа сидит «вторая» девочка, а на остальных семи стульях произвольным образом рассажены мальчики. Поскольку выбрать «первую» девочку можно двумя способами, количество таких исходов равно 
А так как «первым» стулом может быть любой из девяти стульев (стулья стоят по кругу), количество благоприятных исходов нужно умножить на 9. Таким образом, вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом, равна 
