Сколькими способами за круглым столом могут сесть семь участников дискуссии
Принимаются заказы на решение задач, выполнение контрольных работ по:
аналитической геометрии и линейной алгебре;
математическому анализу,
дифференциальным уравнениям,
теории вероятностей и математической статистике,
математическому программированию,
экономико-математическим методам и моделям;
эконометрике;
финансовой математике и др.
Все подробности здесь
Теория вероятностей
1. Сколькими способами можно расположить шесть разных книг в ряд на одной полке?
2. Алхимик использует семь ингредиентов для приготовления эликсира жизни. Сколько существует различных порядков вливания их в воду?
3. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные пятизначные числа без повторяющихся цифр. 1) Сколько всего получится таких чисел? 2) Сколько среди них будет начинаться с цифры 5? 3) Сколько чисел будет оканчиваться комбинацией 41? 4) Сколько получится четных и сколько нечетных чисел? 5) Сколько получится чисел, кратных 3?
4. Сколько пятизначных чисел без повторяющихся цифр можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4?
5. 1) Сколькими способами за столом президиума собрания могут сесть семь членом президиума? 2) Сколькими способами за круглым столом могут сесть семь участников дискуссии?
6. Сколько трехзначных чисел без повторяющихся цифр можно записать, используя цифры:
а) 1, 2, 3, 4, 5; б) 0, 1, 2, 3, 4, 5?
7. На собрании членов кооператива присутствуют 20 человек. Сколькими способами из присутствующих можно выбрать: а) правление кооператива в составе 5 человек; б) председателя правления, его заместителя и бухгалтера?
8. Каждый из девяти человек обменялся рукопожатиями с восемью остальными. Сколько было рукопожатий? Сколькими способами можно выбрать двух человек (для рукопожатия) из девяти?
9. Сколько диагоналей имеет выпуклый 15-угольник; выпуклый n-угольник?
10. Из отряда солдат в 50 человек назначается в караул 4 человека. Сколькими способами это можно сделать? Сколько среди них таких, что в число караульных попадает рядовой Иванов?
11. На флагштоке 5 мест и 5 флагов: 2 красных и 3 белых. Сколько различных сигналов можно изобразить, используя все флаги одновременно?
12. На прямой отмечены 5 точек: А, B, C, D, E. Сколько отрезков определяют эти точки?
13. Из вершины прямого угла внутри него проведено 5 лучей. Сколько острых углов образовалось при этом?
14. Сколькими путями можно попасть: а) из точки О(0,0) в точку Р(5,3); б) из точки А(1,2) в точку В(3,5); в) из точки О(0,0) в точку Р(5,3) через точку А(1,2)? Допустимые движения складываются из движений вверх и движений вправо. Смена направления движения может произойти только в точке с целочисленными координатами.
15. В условиях предыдущей задачи определите число точек, в которых можно попасть из точки О(0,0) за k шагов. Под «шагом» в данном случае подразумевается допустимое движение на расстояние 1.
16. В шахматном кружке 12 юношей и 8 девушек. Для участия в соревнованиях из них нужно составить команду, в которую должны войти 9 юношей и 3 девушки. Сколькими способами это можно сделать?
17. Сколькими способами группу из 12 юношей и 8 девушек можно разбить на две группы по 10 человек так, чтобы в каждой из образоавшихся групп оказалось по 4 девушки?
18. Сколькими способами можно 20 шахматистов разбить на две группы по 10 человек так, чтобы двое наиболее сильных шахматистов оказались: в разных группах; в одной группе?
19. Автоматическая система состоит из пяти параллельно соединенных узлов. По тем или иным причинам за время Т каждый из этих узлов, независимо от остальных узлов, может выйти из строя. Сколько существует различных вариантов состояния системы к моменту времени Т? Сколько среди них таких, для которых хотя бы один узел оказывается не вышедшим из строя?
20. Для многочлена найдите: а) коэффициент при x 6 ; б) коэффициент при x; в) коэффициент при x 3 ; г) свободный член.
21. Найдите коэффициент при x 3 многочлена
22. Выпишите 10 строк треугольника Паскаля.
23. Сколько подмножеств имеет множество состоящее из 10 первых членов натурального ряда? Сколько из них содержит ровно три элемента?
24. Сколько непустых подмножеств содержит множество Сколько из них содержит лишь четные числа?
25. Сколькими способами можно выбрать нечетное число предметов из семи предметов; из восьми предметов?
26. Сколько аккордов можно взять на 10 клавишах рояля, если каждый аккорд содержит от 3 до 10 звуков?
27. Чему равен наибольший коэффициент разложения при
28. Чему равен наибольший коэффициент разложения если сумма всех коэффициентов разложения равна 4096?
29. Докажите, что С n 2n — четное число.
Макроэкономика
12. Дана функция потребления Представить объем сбережений в виде функции от дохода до налогообложения, если ставка подоходного налога равна 13%.
13. Зависимость между величиной национального дохода и объемом потребления домашних хозяйств задана следующей таблицей:
y
200
350
500
650
C
300
375
450
525
Определить: а) алгебраический вид функции потребления; б) при каком доходе сбережения равны нулю?
Автор оставляет за собой право:
а) отвечать не на все полученные письма, б) публиковать полностью или частично полученные письма в рассылке.
Источник
07. Перестановки
Рассмотрим частный случай, когда k=n. Соответствующее этому случаю размещение называется перестановкой.
Перестановками из n элементов называются такие комбинации, каждая из которых содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.
Поясним это на следующем примере. Из этих трёх элементов: a, b и c. можно составить шесть перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Все приведённые перестановки отличаются друг от друга только порядком их расположения.
Число перестановок n различных элементов обозначают символом Pn и равно
Пример 5.1. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?
Решение. Будем считать выделенные книги за одну книгу. Тогда уже для шести книг существует P6=6!=720 перестановок. Однако четыре определенные книги можно переставить между собой P4=4!=24 способами. По принципу умножения имеем
P6P4 = 720×24 = 17280.
Пример 5.2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?
Решение. Рассматриваемое число может быть представлено как некоторая перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так как число перестановок из четырех цифр равно P4=4! и из них 3! перестановок начинаются с нуля, то искомое количество равно
4! – 3! = 3×3! = 3×1×2×3 = 18.
Пример 5.3. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Решение. Естественно предположить, что как мужчины, так и женщины различимы. Предположим также, что места за столом также различимы. Пронумеруем их. Если женщины займут чётные места n! способами, то мужчины будут занимать нечётные места тоже n! способами и наоборот. По правилу умножения получаем .
Если места за столом неразличимы, то стол можно поворачивать на одно место, то при этом расположение сидящих не изменится (такая ситуация имеет место, например, на карусели). Поскольку имеется n способов расположения стола относительно сидящих, то предыдущий результат нужно разделить на n.
Вопрос. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n супружеских пар, если супруги должны сидеть рядом?
5.1. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани 6 различных цветов и все стулья должны быть разного цвета.
Ответ: .
5.2. Дачник выделил на своём участке семь грядок для выращивания овощей, т. к. хочет иметь свои помидоры, огурцы, перец, лук, чеснок, салат и кабачки. Каждый вид должен иметь отдельную грядку. Сколькими способами он может расположить грядки для посадки?
Ответ: .
5.3. Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?
Ответ: .
5.4. В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?
Ответ:
5.5. Сколькими способами можно упорядочить множество <1,2,3,…,2n>так, чтобы каждое чётное число стояло на чётном месте?
Ответ: .
5.6. Четыре мальчика и четыре девочки рассаживаются в ряд на восемь подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на четные места, а девочки – на нечетные. Сколькими способами они могут это сделать?
Ответ: .
5.7. Сколькими способами можно посадить за круглый стол трех мужчин и трех женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Ответ: .
5.8. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если Б не должен выступать до того, как выступил А? Решите эту же задачу, если Б должен выступить сразу после А.
Источник
Сколькими способами за круглым столом могут сесть семь участников дискуссии
В школьном курсе понятие «круговые перестановки» встречается в 7 классе в учебнике по алгебре в разделе «Для тех, кому интересно» [3].
В комбинаторных задачах часто ставится вопрос о том, сколькими способами можно расположить в ряд, или, как говорят математики, упорядочить, все элементы некоторого множества.
Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой. Получаемые при этом упорядоченные множества, которые отличаются друг от друга лишь порядком входящих в них элементов, называют перестановками без повторений из п элементовили «круговыми перестановками».
Из истории комбинаторики
Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют “сочетания”. В ХII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из п слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в Х V II в. В книге “Теория и практика арифметики” (1656 г.) французский автор Андре Таке также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу.
Б. Паскаль в “Трактате об арифметическом треугольнике” и в “Трактате о числовых порядках” (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин “комбинаторика” стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы “Рассуждение о комбинаторном искусстве”, в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги “Аг s соп j ес t ап d i” (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в ХIХ в [4].
Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств — правило суммы и правило произведения. При решении задач на перестановки используется правило умножения.
Каждое расположение элементов множества в определенном порядке называют перестановкой. Рассмотрим задачу: В турнире четверо участников. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?
Будем рассуждать в соответствии с правилом умножения. Первое место может занять любой из четырех участников. При этом второе место может занять любой из трех оставшихся, третье любой из двух оставшихся, а на четвертом месте останется последний участник. Значит, места между участниками могут быть распределены 4 ۰ 3 ۰ 2 ۰ 1 = 24 способами. Решив задачу, мы фактически подсчитали число перестановок для множества из четырех элементов. Рассуждая точно так же, можно показать, что для множества из пяти элементов число перестановок равно 5 ۰ 4 ۰ 3 ۰ 2 ۰ 1, а для множества из десяти элементов это число равно 10 ۰ 9 ۰ 8 ۰ 7 ۰ б ۰ 5 ۰ 4 ۰ 3 ۰ 2 ۰ 1.
Вообще если множество содержит п элементов, то число перестановок равно произведению п(п – 1)(п – 2) ۰…۰ 2 ۰ 1. Множители в этом произведении можно записать в обратном порядке: 1 ۰ 2 ۰ . ۰ (п – 2)(п – 1)п.
Такие произведения бывают очень длинными и часто выражаются огромными числами. Однако в математике есть специальный символ для их обозначения. Произведение всех натуральных чисел от 1 до п обозначаютп! (читают: «п факториал»). Значение выражения п! можно найти для любого натурального числа п (при этом считают, что 1! = 1).
Факториалы растут удивительно быстро. Можно понаблюдать за их изменением, рассмотрев таблицу, в которой приведены факториалы чисел от 1 до 10:
.
.
.
.
.
.
.
