КОМБИНАТОРИКА
Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.
Правила сложения и умножения в комбинаторике
Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.
Пример 1.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?
Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.
По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.
Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:
Пример 2.
В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?
Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.
После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.
По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.
Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?
Пример 3.
Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?
Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:
.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m (
) из этих (n*r) предметов?
.
Пример 4.
В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.
.
Размещения без повторений. Размещения с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?
Пример 5.
В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?
В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:
Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.
Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?
Пример 6.
У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?
Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:
.
Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?
Пример 7.
Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?
Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.
Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k
Пример 8.
Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»
Источник
комплект индивидуальных заданий. Протокол пцк енд от 20 Председатель пцк енд л. А. Гончарова 20
| Название | Протокол пцк енд от 20 Председатель пцк енд л. А. Гончарова 20 |
| Анкор | комплект индивидуальных заданий.docx |
| Дата | 13.05.2017 |
| Размер | 1.6 Mb. |
| Формат файла |  |
| Имя файла | комплект индивидуальных заданий.docx |
| Тип | Протокол #7533 |
| страница | 6 из 8 |
| Подборка по базе: Лечение бронхита у детей по протоколу кадиров.ppt, Бизюк А.П. — Протокол для НПС Храковская.docx, Установка сетевых протоколов.docx, Подготовка + протокол.docx, Пример протокола осмотра.doc, Бруцеллёз клин. протокол.docx, Оновлений клінічний протокол «Реанімація новонароджених»_copy.pd, выписка из протокола.docx, 3.2 Протокол по результатам снимка сварка РФ.doc, 2. Протокол по результатам образца сварка РФ.doc | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 5 | Сколькими способами можно выделить делегацию из 5 человек, выбирая из 7 женщин | В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем? | Сколько существует способов рассадить квартет из басни Крылова | На железной станции 4 светофора. Сколько можно дать различных сигналов, если каждый | Сколькими способами в группе из двадцати человек можно выбрать старосту и физорга, при условии, что каждый учащийся может быть выбран только на одну из этих должностей? | Сколько можно составить сигналов из шести флажков различного цвета, взятых по два? |
| 6 | Сколько сигналов можно подать пятью различными флажками, поднимая их в любом количестве и в произвольном порядке? | Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута? | Из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 образуются всевозможные двузначные числа. Найдите количество всех этих чисел? | Сколько семизначных чисел можно образовать с помощью семи различных цифр, отличных от 0? | Сколько шестизначных чисел, кратных 5 можно составить из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, при условии, что в числе цифры не повторяются? | Сколькими способами из девяти рабочих можно выделить четырёх для работы на определённом участке |
| 7 | Сколькими способами можно выделить делегацию из 5человек, выбирая из 7 женщин и 8 мужчин, если в делегацию должны входить 5 женщин? | 4 учащихся сдают экзамен. Сколькими способами может быть поставлена им отметка, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительную оценку? | Сколькими способами можно выбрать в группе из 25 человек старосту, профорга, физорга на равных условиях. | В библиотеке имеются книги по 16-ти разделам науки. Поступило четыре заказа на литературу. Сколько существует способов получения заказа? | Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз? | Для дежурства в классе, в течение недели (кроме воскресенья) выделено 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит 1 раз? |
| 8 | Сколькими способами можно составить делегацию из 4человек, выбирая из 8 мужчин и 5 женщин, если в делегацию должны входить только мужчины или только женщины? | В правлении фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президент. Сколькими способами это можно сделать? | Сколькими способами можно выбрать 5человек на 6 должностей из 8 кандидатов на эту должность? | Сколькими способами можно составить делегацию в составе двух человек, выбирая из пяти супружеских пар, если в делегацию должны входить одна женщина, и один мужчина? | Для дежурства в классе, в течение недели (кроме воскресенья) выделено 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит 1 раз? | Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз? |
| 9 | Сколькими способами можно выделить делегацию из 4 человек, выбирая из 7 женщин и 2 мужчин? | Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, если не допускать в одной фразе повторения звуков? | Сколькими способами из семи предметов можно выбрать три? | Сколькими различными способами можно выбрать из 15 человек делегацию в составе трех человек? | Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «КОЛОКОЛ» | Сколькими способами можно выбрать из множества два элемента? |
| 10 | В вазе 12 хризантем и 7 роз. Сколькими способами можно сделать букет из 5 хризантем. | Сколько существует способов рассадить квартет из басни Крылова | Сколькими способами можно разделить группу в 12 человек так, чтобы в одной группе было 5 человек, а в другой 7? | Семь одинаковых шариков рассыпаются по четырём лункам. Сколько существует способов распределения шариков по лункам? | Сколькими способами из девяти рабочих можно выделить четырёх для работы на определённом участке | 30 учащихся обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек? |
Выполнение действий над координатами
в координатной плоскости. Найдите аналитически:
2 Углы треугольника
3 Площадь треугольника
4 Центр тяжести (как точку пересечения медиан)
Источник
