Сколькими способами среди всех натуральных чисел от 1 до 25 можно выбрать 13 различных

Из 25 натуральных чисел 1,2. 25 требуется выбрать несколько различных чисел.Помогите пожалуста!

Все почему-то по два числа приводят, хотя ясно написано, что «. трёх подряд идущих. «

Короче, рассуждать надо так.

1) Признак делимости на 10 — последняя цифра в числе — ноль.

2) Квадрат любого числа оканчивается на ту цифру, на которую оканчивается квадрат последней цифры этого числа. Например, 12^2 = 144 — оканчивается на цифру 4 (так же как и значение 2^2 = 4), 1239^2 = 1535121 — оканчивается на цифру 1 (так же как и значение 9^2 = 81).

3) У квадратов всех цифр (напомню, их всего 10: от 0 до 9) последними цифрами, соответственно, являются:
0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 (0^2 = 0; . ;9^2 =81).

4) Теперь суммированием трёх из этих цифр нужно получить число, делящееся на 10. Подходят группы цифр: 0+1+9; 1+4+5; 5+6+9.

5) Попробуем составить круг из 8-ми чисел: 0-1-9-0-1-9-0-1-(замкнулось с 0). Всё вроде бы хорошо, только там, где замкнули, сумма 0+1+0 не делится на 10. Аналогично и с двумя другими группами ничего не выйдет. Поэтому из 8 чисел составить требуемый круг НЕЛЬЗЯ.

6) Попробуем составить круг из 9-ти чисел: 0-1-9-0-1-9-0-1-9-(замкнулось с 0). Тут всё идеально — 1, 9 и 0 всегда есть в тройке чисел. Идеально и с двумя другими группами. Б) МОЖНО.

7) Итак, имеем три «черновых» круга (схемы) :
-0-1-9-0-1-9-0-1-9-(замкнулось с 0);
-1-4-5-1-4-5-1-4-5-(замкнулось с 1);
-5-6-9-5-6-9-5-6-9-(замкнулось с 5).

8) Теперь вместо этих цифр нужно поставить числа от 1 до 25, квадрат которых оканчивается на соответствующие цифры:

На «0» оканчиваются квадраты чисел: 10 и 20 (всего 2 числа, а для круга надо 3, поэтому первая схема невозможна для решения данной задачи) .

На «1» оканчиваются квадраты чисел: 1, 9, 11, 19, 21;
на «4» оканчиваются квадраты чисел: 2, 8, 12, 18, 22;
на «5» оканчиваются квадраты чисел: 5, 15, 25;
на «6» оканчиваются квадраты чисел: 4, 6, 14, 16, 24;
на «9» оканчиваются квадраты чисел: 3, 7, 13, 17, 23.

Теперь ничто не мешает вам составить несколько разных кругов.
Как уже было показано, решение по первой схеме невозможно. Попробуем со второй:
-1-2-5-9-8-15-11-12-25- (это один из вариантов, возможно больше!) ;

и с третьей: -5-4-3-15-6-7-25-14-13- (также возможно больше вариантов!)

Источник

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике
олимпиадные задания по математике (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс) на тему

Задания и ключи школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике

Скачать:

Вложение	Размер
matematika_zadachi_4_klass_2017-2018_uch_god.docx	13.52 КБ
matematika_zadachi_5_klass_2017-2018_uch_god.docx	17.66 КБ
matematika_zadachi_6_klass_2017-2018_uch_god.docx	16.55 КБ
matematika_zadachi_7_klass_2017-2018_uch_god.docx	14.09 КБ
matematika_zadachi_8_klass_2017-2018_uch_god.docx	18.69 КБ
matematika_zadachi_9_klass_2017-2018_uch_god.docx	14.43 КБ
matematika_zadachi_10_klass_2017-2018_uch_god.docx	15.06 КБ
matematika_zadachi_11_klass_2017-2018_uch_god.docx	17.85 КБ
klyuchi_matematika_4_klass_2017-2018_uch_god.docx	16.71 КБ
klyuchi_matematika_5_klass_2017-2018_uch_god.docx	26.08 КБ
klyuchi_matematika_6_klass_2017-2018_uch_god.docx	19.52 КБ
klyuchi_matematika_7_klass_2017-2018_uch_god.docx	15.29 КБ
klyuchi_matematika_8_klass_2017-2018_uch_god.docx	40.05 КБ
klyuchi_matematika_9_klass_2017-2018_uch_god.docx	25.44 КБ
klyuchi_matematika_10_klass_2017-2018_uch_god.docx	26.6 КБ
klyuchi_matematika_11_klass_2017-2018_uch_god.docx	42.11 КБ

Предварительный просмотр:

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

1. Площадь прямоугольника 91 . Длина одной из его сторон 13 см. Чему равна сумма всех сторон прямоугольника?

2. Разрежьте фигуру на три одинаковые (совпадающие при наложении) фигурки:

3. Восстановите пример на сложение, где цифры слагаемых заменены звездочками: *** + *** = 1997.

4 . Четыре девочки ели конфеты. Аня съела больше, чем Юля, Ира – больше, чем Света, но меньше, чем Юля. Расставьте имена девочек в порядке возрастания съеденных конфет.

Предварительный просмотр:

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

1. Не меняя порядка расположения цифр 1 2 3 4 5, поставьте между ними знаки арифметических действий и скобки так, чтобы в результате получилась единица. «Склеивать» соседние цифры в одно число нельзя.

2. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе?

3. Разрежьте фигуру на три одинаковые (совпадающие при наложении) фигурки:

4. Замените букву А на ненулевую цифру, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример.

5. Девочки и мальчики по дороге в школу зашли в магазин. Каждый ученик купил по 5 тонких тетрадей. Кроме этого, каждая девочка купила 5 ручек и 2 карандаша, а каждый мальчик купил 3 карандаша и 4 ручки. Сколько было куплено тетрадей, если всего ручек и карандашей дети купили 196 штук?

Предварительный просмотр:

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

1. На прямой 30 точек, расстояние между любыми двумя соседними равно 2 см. Какое расстояние между двумя крайними точками?

2. Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + . + 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007? Ответ обоснуйте.

3. Разрежьте фигурку на 6 равных клетчатых фигурок.

4. Настя расставляет в клетках квадрата 3 на 3 числа 1, 3, 5, 7, 9. Она хочет, чтобы сумма чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям делилась на 5. Приведите пример такой расстановки, при условии, что каждое число Настя собирается использовать не более двух раз.

5. Обычно за Павликом после уроков приезжает папа на машине. Однажды уроки закончились раньше обычного и Павлик пошел домой пешком. Спустя 20 минут он встретил папу, сел в машину и приехал домой на 10 минут раньше. На сколько минут раньше закончились уроки в этот день?

Предварительный просмотр:

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

1. Найдите решение числового ребуса a,bb + bb,ab = 60 , где a и b – различные цифры.

2. После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину от оставшихся персиков?

3. Разрежьте по линиям сетки прямоугольник, изображённый на рисунке, на пять прямоугольников различной площади.

4. Замените буквы Y, E, A и R цифрами так, чтобы получилось верное равенство:

YYYY ─ EEE ─ AA + R = 2017 .

5. На острове жив ё т неч ё тное число людей, прич ё м каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лж ё т. Как-то раз все рыцари заявили: ― «Я дружу только с 1 лжецом», а все лжецы: ― «Я не дружу с рыцарями». Кого на острове больше, рыцарей или лжецов?

Предварительный просмотр:

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

1. В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату – на 15%, если же зарплату удвоят папе – на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

2. На сторонах АВ , CD и AD квадрата АВСD вовне построены равносторонние треугольники АВМ , CLD и ADK соответственно. Найдите ∠ МKL .

3. Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф делили три кусочка трюфеля массами 4 г., 7 г. и 10 г. Волк решил им помочь. Он может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г. трюфеля. Сможет ли волк оставить поросятам равные кусочки трюфеля? Если да, то как?

4. Сколько всего есть четырехзначных чисел, которые делятся на 19 и оканчиваются на 19?

5. Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого – контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася – за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

6. Докажите, что если a, b, c и — целые числа, то и дробь будет целым числом.

Предварительный просмотр:

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

1. Саше и Юре сейчас вместе 35 лет. Саше сейчас вдвое больше лет, чем было Юре тогда, когда Саше было столько лет, сколько Юре сейчас. Сколько лет сейчас Саше и сколько – Юре?

2. Числа a и b таковы, что уравнения и имеют решения. Докажите, что уравнение тоже имеет решение.

3. Рыбак выловил большое число рыб весом 3,5 кг. и 4,5 кг. Его рюкзак вмещает не более 20 кг. Какой максимальный вес рыбы он может взять с собой? Ответ обоснуйте.

4. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков.

Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

5 . Середины соседних сторон в выпуклом четырехугольнике соединены отрезками. Докажите, что площадь получившегося четырехугольника в два раза меньше площади первоначального.

6. При каких натуральных x выражение является квадратом натурального числа?

Предварительный просмотр:

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

1. Расставьте знаки модуля так, чтобы получилось верное равенство

4 – 5 – 7 – 11 – 19 = 22

2. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки мёда, 4 тарелки сгущёнки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки мёда, 3 тарелки сгущёнки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки мёда, 2 тарелки сгущёнки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущёнки?

3. В уравнении одно из чисел заменено точками. Найти это число, если известно, что один из корней равен 2.

4. Из города в деревню вышла Марья Ивановна, а навстречу ей из деревни в город одновременно вышла Катерина Михайловна. Найти расстояние между деревней и городом, если известно, что расстояние между пешеходами равнялось 2 км дважды: сначала, когда Марья Ивановна прошла половину пути до деревни, и потом, когда Катерина Михайловна прошла треть пути до города.

5. В треугольнике ABC провели биссектрису BL . Оказалось, что . Докажите, что треугольник ABL – равнобедренный.

6. По определению, . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения , чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

Предварительный просмотр:

Задачи Всероссийской олимпиады школьников по математике

Максимальная оценка каждой задачи – 7 баллов

1. Сумма двух чисел равна 1. Может ли их произведение быть больше 0,3?

2. Отрезки AM и BH — соответственно медиана и высота треугольника ABC .

Известно, что AH = 1 и . Найти длину стороны BC .

3. При каких значениях числового параметра а неравенство верно при всех значениях х ?

4. Есть один килограмм 20%-ного соляного раствора. Лаборант поместил колбу с этим раствором в аппарат, в котором выпаривается вода из раствора и одновременно с этим в него с постоянной скоростью, равной 300 г./ч., подливается 30%-ный раствор этой же соли. Скорость выпаривания также постоянна и составляет 200 г./ч. Процесс останавливается, как только в колбе окажется 40%-ный раствор. Какова будет масса полученного раствора?

5. Сколькими способами среди всех натуральных чисел от 1 до 25 можно выбрать 13 различных так, чтобы сумма любых двух выбранных чисел не равнялась 25 или 26?

6. Пусть k – натуральное число. Известно, что среди 29 последовательных чисел 30k+1, 30k+2, . 30k+29 имеется 7 простых. Докажите, что первое и последнее из них – простые.

Предварительный просмотр:

Ключи школьной олимпиады по математике

1. Площадь прямоугольника 91 . Длина одной из его сторон 13 см. Чему равна сумма всех сторон прямоугольника?

Решение. Длину неизвестной стороны прямоугольника находим из площади и известной стороны: 91 :13 см = 7 см.

Сумма всех сторон прямоугольника равна 13 + 7 + 13 + 7 = 40 см.

2. Разрежьте фигуру на три одинаковые (совпадающие при наложении) фигурки:

3. Восстановите пример на сложение, где цифры слагаемых заменены звездочками: *** + *** = 1997.

Ответ. 999 + 998 = 1997.

4 . Четыре девочки ели конфеты. Аня съела больше, чем Юля, Ира – больше, чем Света, но меньше, чем Юля. Расставьте имена девочек в порядке возрастания съеденных конфет.

Ответ. Света, Ира, Юля, Аня.

Предварительный просмотр:

Ключи школьной олимпиады по математике

1. Не меняя порядка расположения цифр 1 2 3 4 5, поставьте между ними знаки арифметических действий и скобки так, чтобы в результате получилась единица. «Склеивать» соседние цифры в одно число нельзя.

Решение. Например, ((1 + 2) : 3 + 4) : 5 = 1. Возможны другие решения.

2. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Мальчик сосчитал количество голов, их оказалось 30, а затем он сосчитал количество ног, их оказалось 84. Сколько гусей и сколько поросят было на школьном дворе?

Ответ. 12 поросят и 18 гусей.

1 шаг. Представьте, что все поросята подняли по две ноги вверх.

2 шаг. На земле осталось стоять 30 ∙ 2 = 60 ног.

3 шаг. Подняли вверх 84 — 60 = 24 ноги.

4 шаг. Подняли 24 : 2 = 12 поросят.

5 шаг. 30 — 12 = 18 гусей.

3. Разрежьте фигуру на три одинаковые (совпадающие при наложении) фигурки:

4. Замените букву А на ненулевую цифру, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример.

Решение. Несложно показать, что А = 3 подходит, докажем, что других решений нет. Сократим равенство на А . Получим .
Если А ,
если А > 3, то .

5. Девочки и мальчики по дороге в школу зашли в магазин. Каждый ученик купил по 5 тонких тетрадей. Кроме этого, каждая девочка купила 5 ручек и 2 карандаша, а каждый мальчик купил 3 карандаша и 4 ручки. Сколько было куплено тетрадей, если всего ручек и карандашей дети купили 196 штук?

Ответ. 140 тетрадей.

Решение. Каждый из учеников купил по 7 ручек и карандашей. Всего было куплено 196 ручек и карандашей.

196 : 7 = 28 учеников.

Каждый из учеников купил по 5 тетрадей, значит, всего куплено
28 ⋅ 5=140 тетрадей.

Предварительный просмотр:

Ключи школьной олимпиады по математике

1. На прямой 30 точек, расстояние между любыми двумя соседними равно 2 см. Какое расстояние между двумя крайними точками?

Решение. Между крайними точками помещается 29 частей по 2 см.

2 см * 29 = 58 см.

2. Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + . + 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007? Ответ обоснуйте.

Решение. Представим данную сумму в виде следующих слагаемых:
(1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.

Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.

3. Разрежьте фигурку на 6 равных клетчатых фигурок.

Решение. Фигурку можно разрезать только так

4. Настя расставляет в клетках квадрата 3 на 3 числа 1, 3, 5, 7, 9. Она хочет, чтобы сумма чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям делилась на 5. Приведите пример такой расстановки, при условии, что каждое число Настя собирается использовать не более двух раз.

Решение. Ниже приведена одна из расстановок. Существуют и другие решения.

5. Обычно за Павликом после уроков приезжает папа на машине. Однажды уроки закончились раньше обычного и Павлик пошел домой пешком. Спустя 20 минут он встретил папу, сел в машину и приехал домой на 10 минут раньше. На сколько минут раньше закончились уроки в этот день?

Ответ. На 25 минут раньше.

Решение. Машина приехала домой раньше, потому что ей не пришлось доезжать с места встречи до школы и обратно, значит, удвоенный этот путь машина проезжает за 10 минут, а в одну сторону – за 5 минут. Итак, машина встретилась с Павликом за 5 минут до обычного окончания уроков. К этому моменту Павлик уже шел 20 минут. Таким образом, уроки закончились на 25 минут раньше.

Предварительный просмотр:

Ключи школьной олимпиады по математике

1. Найдите решение числового ребуса a,bb + bb,ab = 60 , где a и b – различные цифры.

Ответ. 4,55 + 55,45 = 60

2. После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину от оставшихся персиков?

Ответ. На одну четверть.

Решение. Из условия ясно, что половина персиков занимает треть банки. Значит, после того как Наташа съела половину персиков, в банке персиков и компота осталось поровну (по одной трети). Значит, половина от числа оставшихся персиков составляет четверть от всего объёма содержимого

банки. Если съесть эту половину оставшихся персиков, уровень компота понизится на четверть.

3. Разрежьте по линиям сетки прямоугольник, изображённый на рисунке, на пять прямоугольников различной площади.

Решение. Например, так

4. Замените буквы Y, E, A и R цифрами так, чтобы получилось верное равенство: YYYY ─ EEE ─ AA + R = 2017 .

Ответ. При Y=2, E=1, A=9, R=5 получаем 2222 ─ 111 ─ 99 + 5 = 2017.

5. На острове жив ё т неч ё тное число людей, прич ё м каждый из них либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лж ё т. Как-то раз все рыцари заявили: ― «Я дружу только с 1 лжецом», а все лжецы: ― «Я не дружу с рыцарями». Кого на острове больше, рыцарей или лжецов?

Ответ. Рыцарей больше

Решение. Каждый лжец дружит хотя бы с одним рыцарем. Но так как каждый рыцарь дружит ровно с одним лжецом, у двух лжецов не может быть общего друга-рыцаря. Тогда каждому лжецу можно поставить в соответствие его друга рыцаря, откуда получается, что рыцарей, по крайней мере, столько же, сколько и лжецов. Так как всего жителей на острове неч ё тное число, то равенство невозможно. Значит, рыцарей больше.

Предварительный просмотр:

Ключи школьной олимпиады по математике

1. В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату – на 15%, если же зарплату удвоят папе – на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

Решение . При удвоении стипендии Маши общий доход семьи увеличивается ровно на величину этой стипендии, поэтому она составляет 5% от дохода. Аналогично, зарплаты мамы и папы составляют 15% и 25%. Значит, пенсия дедушки составляет 100 – 5 – 15 — 25 = 55%, и если е ё удвоят, то доход семьи вырастет на 55%.

2. На сторонах АВ , CD и AD квадрата АВСD вовне построены равносторонние треугольники АВМ , CLD и ADK соответственно. Найдите ∠ МKL .

Решение. Рассмотрим треугольник MAK : угол MAK равен 360° — 90° — 60° — 60° = 150°. MA = AK по условию, значит, треугольник MAK равнобедренный, ∠ AMK = ∠ AKM = (180° — 150°) : 2 = 15°.

Аналогично получаем, что угол DKL равен 15°. Тогда искомый угол MKL равен сумме ∠ MKA + ∠ AKD + ∠ DKL = 15° + 60° + 15° = 90°.

3. Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф-Нуф делили три кусочка трюфеля массами 4 г., 7 г. и 10 г. Волк решил им помочь. Он может от любых двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г. трюфеля. Сможет ли волк оставить поросятам равные кусочки трюфеля? Если да, то как?

Решение. Волк может сначала три раза отрезать по 1 г от кусочков в 4 г и 10 г. Получатся один кусок в 1 г и два куска по 7 г. Теперь осталось шесть раз отрезать и съесть по 1 г от кусочков в 7 г., тогда поросятам достанется по 1 г. трюфеля.

4. Сколько всего есть четырехзначных чисел, которые делятся на 19 и оканчиваются на 19?

Решение. Пусть – такое число. Тогда тоже кратно 19. Но
Поскольку 100 и 19 взаимно просты, то двузначное число делится на 19. А таких всего пять: 19, 38, 57, 76 и 95.

Легко убедиться, что все числа 1919, 3819, 5719, 7619 и 9519 нам подходят.

5. Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке. Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого – контрольный пункт. Петя пробегает участок за 9 мин, Вася – за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин. Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним. Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте). Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Решение. Если время одного станет меньше времени другого из ребят, то увеличится время другого и, следовательно, время команды. Значит, время ребят должно совпадать. Обозначив число проезжаемых Петей участков через x и решив уравнение , получим x = 18.

6. Докажите, что если a, b, c и — целые числа, то и дробь будет целым числом.

Рассмотрим , по условию это число целое.

Тогда и будет тоже целым числом как разность N и удвоенного целого числа .

Предварительный просмотр:

Ключи школьной олимпиады по математике

1. Саше и Юре сейчас вместе 35 лет. Саше сейчас вдвое больше лет, чем было Юре тогда, когда Саше было столько лет, сколько Юре сейчас. Сколько лет сейчас Саше и сколько – Юре?

Ответ. Саше 20 лет, Юре 15 лет .

Решение. Пусть Саше сейчас x лет, тогда Юре , а когда Саше было лет, то Юре, по условию, . Но времени и для Саши и для Юры прошло поровну, поэтому получаем уравнение

2. Числа a и b таковы, что уравнения и имеют решения. Докажите, что уравнение тоже имеет решение.

Решение. Если первые уравнения имеют решения, то их дискриминанты неотрицательны, откуда и . Перемножая эти неравенства, получаем или , откуда следует, что дискриминант последнего уравнения также неотрицателен и уравнение имеет решение.

3. Рыбак выловил большое число рыб весом 3,5 кг. и 4,5 кг. Его рюкзак вмещает не более 20 кг. Какой максимальный вес рыбы он может взять с собой? Ответ обоснуйте.

Решение. В рюкзак можно поместить 0, 1, 2, 3 или 4 рыбы весом 4,5 кг.
(не больше, поскольку ). Для каждого из этих вариантов остаток вместимости рюкзака не делится нацело на 3,5 и в лучшем случае удастся упаковать кг. рыбы.

4. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков.

Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Ответ. В семерку – 1 попадание, в восьмерку – 2 попадания, в девятку – 3 попадания.

Решение. Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (так как по крайней мере по одному разу в семерку, восьмерку и девятку стрелок попал) он наберет очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

5 . Середины соседних сторон в выпуклом четырехугольнике соединены отрезками. Докажите, что площадь получившегося четырехугольника в два раза меньше площади первоначального.

Решение. Обозначим четырёхугольник за ABCD , а середины сторон AB , BC , CD , DA за P , Q , S , T соответственно. Заметим, что в треугольнике ABC отрезок PQ является средней линией, значит, она отсекает от него треугольник PBQ в четыре раза меньше площади, чем площадь ABC . Аналогично, . Но треугольники ABC и CDA в сумме составляют весь четырёхугольник ABCD , значит Аналогично получаем, что Тогда суммарная площадь этих четырёх треугольников составляет половину площади четырёхугольника ABCD и площадь оставшегося четырёхугольника PQST равна также половине площади ABCD .

6. При каких натуральных x выражение является квадратом натурального числа?

Решение. Пусть . Отметим, что – также квадрат некоторого целого числа , меньшего t . Получаем, что . Числа и – натуральные и первое больше второго. Значит , а . Решив эту систему, получаем , , что дает .

Источник