14. Сочетания с повторениями
Пусть имеются предметы n различных типов. Сколькими способами можно составить из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, но при этом предметы одного и того же типа могут повторяться? Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа. Такие комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать 
.
Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть сочетаний с повторениями по два элемента: ab, ac, bc, aa, bb, cc.
Таким образом, сочетание с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Следует отметить, что если, например, две комбинации по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.
Существует специальная формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:
(12.1)
Выведем эту формулу. Прежде всего надо занумеровать возможные типы элементов числами от 1 до n (иначе можно оказаться в положении мужа, который никак не мог вспомнить, что ему поручила купить жена: 5 пакетов молока и 2 банки пива или наоборот 2 пакета молока и 5 банок пива). Теперь можно каждую комбинацию зашифровать с помощью последовательности единиц и палочек: для каждого типа с 1-го до n-го по порядку написать столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделять друг от друга палочками.
Например, в кондитерском магазине продаются пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Если куплено 3 корзиночки (к), 1 наполеон (н), 2 песочных (п) и 1 эклер (э), то получим такую запись:
В этой записи палочки отделяют одну группу пирожных от другой. Если же куплено 2 корзиночки и 5 песочных, то получим запись 
. Ясно, что разным покупкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 палочек. Обратно, каждой комбинации единиц и палочек соответствует какая-то покупка. Например, комбинации 
соответствует покупка 3 наполеонов и 4 песочных (крайние группы отсутствуют).
В результате мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, т. е. k, а число палочек будет на 1 меньше, чем число типов предметов, т. е. n–1. Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из k единиц и n–1 палочек. Различным комбинациям при этом соответствуют различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация.
Итак, число сочетаний с повторениями из элементов n типов по k равно числу P(k, n–1) перестановок с повторениями из n–1 палочек и k единиц. А
. Поэтому
.
Пример 12.1. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?
Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,
Пример 12.2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?
Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,
, 
.
В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:
.
Пример 12.3. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?
Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку 
, 
, 
, 
, 
, то существует 
чисел, удовлетворяющих условию задачи.
12.1. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?
Ответ: 
.
12.2. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырёх пирожных?
Ответ: 
.
12.3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?
Ответ: 
.
12.4. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?
Ответ: 
.
Источник
15. Формула включений и исключений
Принцип сложения можно применять в тех случаях, когда все множество перечисляемых комбинаций разбивается на попарно непересекающиеся группы комбинаций. Обобщим принцип сложения на случай, когда могут иметь место случаи непустых пересечений.
Пусть имеется n предметов, которые могут обладать двумя свойствами A и B. При этом каждый предмет может либо не обладать ни одним из этих свойств, либо обладать одним или обоими свойствами. Обозначим через n(A), n(B), n(AB) количество предметов, обладающих свойством A, свойством B, обоими свойствами. Тогда число предметов, обладающих хотя бы одним из указанных свойств, равно
. (13.1)
Появление третьего слагаемого связано с тем, что число предметов обладающих обоими свойствами при сложении n(A) и n(B) учитывались дважды (см. рис. 13.1).
Формула (13.1) является частным случаем более общей формулы:
(13.2)
Которую называют формулой перекрытий, или формулой включений и исключений. Чаще эту формулу записывают в следующем виде.
Обозначим символом 
свойство A, которым данные предметы не обладают. Тогда число предметов, не обладающих ни одним из указанных свойств, будет равно
(13.3)
Здесь алгебраическая сумма распространена на все комбинации свойств A1,…,Am (без учета их порядка), причем знак «+» ставится, если число учитываемых свойств четно, и знак «–», если это число нечетно. Название формулы (13.2) как формулы включений и исключений связано с тем, что сначала исключаются все предметы, обладающие хотя бы одним из свойств, потом включаются предметы, обладающие по крайней мере двумя из этих свойств, после этого исключаются предметы, обладающие по крайней мере тремя свойствами, и т. д.
В случае трёх свойств формулы (13.2) и (13.3) примут вид:
, (13.4)
. (13.5)
Пример 13.1. В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 – немецкий язык и 23 – оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языков?
Решение. Обозначим через A – сотрудников, знающих английский язык, через B – сотрудников, знающих немецкий язык. По условию
.
Итак, 8 человек не знают ни английского, ни немецкого языка.
Пример 13.2. Сколько можно сделать перестановок из n элементов, в которых данные два элемента a и b не стоят рядом? Данные три элемента a, b, c не стоят рядом (в любом порядке)? Никакие два из элементов a, b, c не стоят рядом?
Решение. Если a и b стоят рядом, то их можно объединить в один знак. Учитывая, что a и b можно переставлять местами, получаем 
перестановок, в которых a и b стоят рядом. Тогда в
Случаях они не стоят рядом. Точно также получаем, что a, b, c не стоят рядом
Случаях. Никакие два из элементов a, b, c не стоят рядом
Случаях (формула включений и исключений).
Пример 13.3. Сколькими способами можно посадить рядом 3 англичан, 3 французов и 3 немцев так, чтобы никакие три соотечественника не сидели рядом?
Решение. 9 человек можно пересаживать 9! способами. Найдём, во скольких перестановках 3 англичанина сидят рядом. Все такие перестановки получаются из одной пересаживанием между собой англичан (3! способов) и 3 французов и 3 немцев и компании из трех англичан (7! способов). Всего получаем 3!7! перестановок. Во стольких же перестановках сидят рядом 3 французов и во стольких же – 3 немцев. Далее, в (3!)25! перестановках сидят рядом трое англичан и трое французов, а также трое англичан и трое немцев, трое французов и трое немцев. И, последнее, в (3!)4 перестановках сидят рядом и англичане, и французы, и немцы. В результате, по формуле включений и исключений, находим
способа.
13.1. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, и с сыром и с колбасой – 28 человек, и с колбасой и с ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?
13.2. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек знает английский язык, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 знают английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Сколько человек знают только один язык?
Ответ: По формуле включений и исключений число работающих равно 6+7+6–4–3–2+1=11. Только английский знают 6–4–2+1=1, только немецкий 6–4–3+1=0, только французский 7–3–2+1=3. Т. о., только один язык знают 4 человека.
13.3. Староста одного класса дал следующие сведения об учениках: «В классе учатся 45 школьников, в том числе 25 мальчиков. 30 школьников учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 школьников, учащихся на хорошо и отлично. 15 мальчиков учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом». Покажите, что в этих сведениях есть ошибка.
Ответ: Число школьников, которые не учатся на хорошо и отлично и не занимаются спортом, равно 45–30–28+17=4. Число мальчиков, которые не учатся на хорошо и отлично и не занимаются спортом, равно 25–16–18+15=6, т. е. их больше 4, что не может быть.
13.4. В лифт сели 8 человек. Сколькими способами они могут выйти на четырех этажах так, чтобы на каждом этаже вышел, по крайней мере, один человек?
Ответ: 8 пассажиров могут распределиться между этажами 48 способами. Из них в 38 случаях на данном этаже, 28 случаях на данных двух этажах и в 1 случае на данных трех этажах не выйдет ни один человек. По формуле включений и исключений получаем 
способа.
13.5. Сколько неотрицательных целых чисел, меньших чем миллион, содержит все цифры 1, 2, 3, 4? Сколько чисел состоит только из этих цифр?
Ответ: По формуле включений и исключений получаем, что все цифры 1, 2, 3, 4 содержат 
чисел. Только из цифр 1, 2, 3, 4 состоят 
чисел.
Источник
