Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом чтобы 3 клетки были

Сборник задач по теории вероятностей

§ 2. Выборки элементов

Пусть имеем некоторое множество из п элементов а 1 , а 2 , а 3 , . а п . Из этого множества можно образовать разные выборки, каж­дая из которых имеет r элементов

Выборки могут быть упорядоченными — размещениями. Напри­мер, из элементов a , b и с можно образовать такие выборки -размещения по 2 элемента:

Этих выборок 6, и они одна от другой отличаются либо элемента­ми, либо их порядком.

Попробуем из 4 элементов a , b , c и d образовать подобные выбор­ки по 3. Вот они:

Всего 24 выборки. В обоих примерах мы имеем дело с выборками, которые называются размещениями. В первом случае мы имеем дело с размещениями из 3 элементов по 2, во втором — из 4 по 3.

Размещениями из п элементов по т называются такие выборки, которые, имея по т элементов, выбранных из числа данных п элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из п элементов по т договоримся обозначать . Это число определяется следующим образом:

С помощью этой формулы решим задачу.

Допустим, в высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Скольки­ми способами медали могут быть распределены между командами?

Ясно, что нужно найти число размещений . По формуле (2.9)

Если кто-то в начале сезона, не зная, как укомплектованы и под­готовлены команды, ручается, что золотые медали будут у киевских динамовцев, серебряные — у араратовцев, а бронзовые — у мо­сковских спартаковцев, то он смельчак — называет одну комбина­цию из 4896 возможных. (Возможны случаи, когда команды делят места.)

Если в формуле (2.9) m = n , то — число таких размещений, которые отличаются только порядком расположения элементов, но не самими элементами. Такие размещения называются переста­новками. Их число по формуле (2.9)

Число п может принимать не только натуральные значения, оно может также равняться нулю. Пустое множество (выборка) явля­ется подмножеством любого множества, и естественно считать, что оно может быть упорядочено только одним способом. Принято счи­тать, что 0! = 1.

На практике не всегда важен порядок расположения в выбор­ках. Например, если в полуфинале первенства России по шахматам участвуют 20 шахматистов, а в финал из них попадут только трое, то участнику безразлично (если им не руководят соображения пре­стижа), какое из первых трех мест занять. Ведь были случаи, когда занявший третье место в полуфинале в финале был первым.

Если требуется установить, сколькими способами может образо­ваться финальная тройка, то надо посчитать только те выборки из 20 элементов по 3, которые одна от другой отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из п элементов по т обознача­ется

Применяя эту формулу для решения задачи о шахматистах, получим число возможных финальных троек

Формулы (2.9), (2.10) и (2.11) могут быть применены для опреде­ления числа случайных событий — результатов испытаний или на­блюдений.

На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?

Так как при составлении стартовой пятерки тренера интересует только состав пятерки, то достаточно определить число сочета­ний из 12 элементов по 5

Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?

Ясно, что в этом случае на каждой горизонтали и каждой вертикали шахматной доски мо­жет быть расположено только по одной ладье. Число возмож­ных позиций — число переста­новок из 8 элементов:

Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж космического корабля: командир корабля, первый его помощник, второй помощник, два бортинженера и один врач. Командующая тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера — из числа 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач — из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж исследователей космоса?

При выборе командира и его помощников, важно определить; какой из военных летчиков лучше других справляется с теми или иными функциями в управлении кораблем. Значит, здесь важен не только персональный состав командующей тройки, но и соответ­ствующая расстановка подобранных людей. Поэтому ясно, что ко­мандующая тройка может быть укомплектована способами.

Обязанности у обоих бортинженеров примерно одинаковые. Они могут выполнять их по очереди. Следовательно, пара борт­инженеров может быть укомплектована способами. Аналогич­ное положение и с врачом — его можно подобрать способами.

В силу формулы (3.2) весь экипаж может быть укомплектован

Ответ: 20 976 000.

Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Условно будем считать две книги одного автора единой книгой. Тогда количество способов расстановки условных 7 книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов:

Но в каждой такой перестановке книги одного автора можно поменять местами, поэтому общее число способов расстановки книг на полке будет в 2 раза больше, т.е. .

Ответ: 10 080 способами.

Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) белым, черным или зеленым?

Условно будем считать, что все клетки закрашиваем разными цветами. Это можно сделать способами. Но в каждой такой перестановке три клетки одного цвета и их можно переставить способами, следовательно, общее число способов будет меньше в 6 раз, т.е. способов.

Докажите равенство Паскаля:

Преобразуем левую часть равенства:

Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Выбираем 3 цифры из 5 данных; порядок выбора имеет значение:

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Выбираем из 10 цифр семь, причем первый выбор делается из 9 цифр(без нуля).

Используя метод исключения лишних вариантов, получаем:

§ 3. Выборки с повторениями

Из букв с, т, е, н, а можно образовать Р 5 = 5! = 120 разных слов. Сколько разных слов можно образовать из букв слова «гамма»? Столько же? Оказывается, нет! Только 30. Знакомая формула числа перестановок в данном случае бессильна, ибо элементы в «перестановках» повторяются: в слове «гамма» при перестановке местами букв а и м никаких изменений не происходит — остается то же самое слово. Мы ввели новый вид выборок — перестановки с повторениями.

Пусть даны k элементов. Построим выборку из этого множества элементов. Первый элемент повторим n 1 раз, второй n 2 раз, . k — й повторим n k раз: . Если бы все элементы были различными, то по формуле (3.4) у нас получилось бы п! перестановок.

Но так как некоторые элементы в выборке повторяются и при их перестановке новой перестановки не получим, то понятно, что число перестановок с повторениями меньше n ! но во сколько раз меньше?

Пусть имеется выборка

Элементы а можно переставить способами, элементы b — способами, . элементы — способами, но число перестановок с повторениями от этого не изменится. Значит, число перестановок с повторениями меньше числа пере­становок без повторения в раз. Поэтому число переста­новок с повторениями

В примере с выборкой букв из слова «гамма» п = 5, n 1 = 1, п 2 = 2, п 3 = 2. Поэтому, как мы уже убедились, можно образовать

разных слов (не все они имеют смысл).

Рассмотрим следующую задачу.

В гастрономе имеются конфеты трех наименований. Конфеты упакованы в коробки трех видов — для каждого наимено­вания своя коробка. Сколькими способами можно заказать набор из 5 коробок?

Здесь необходимо установить число выборок, которые составля­ются из 5 элементов и отличаются (хотя бы одним элементом). В составе каждой выборки непременно будет повторений элементов.

Каждый заказ зашифруем теперь нулями и единицами. Сначала напишем столько единиц, сколько заказали коробок конфет первого наименования. Потом напишем нуль. Дальше напишем столько еди­ниц, сколько заказали коробок конфет второго наименования. После этого опять нуль и столько единиц, сколько заказали коро­бок конфет третьего наименования. Если конфет второго или третьего наименования совсем не заказали, то этот факт в нашей шифровке окажется отмечен двумя нулями. Если не заказаны кон­феты первого или последнего наименования, пишем один нуль.

Например, событие «заказано 2 коробки конфет первого наиме­нования, 1 — второго наименования, 2 — третьего наименования» зашифруем так:

событие «заказано 2 коробки конфет первого наименования и 3 — третьего»:

событие «заказано 4 коробки конфет второго и 1 — третьего»:

Нетрудно заметить, что каждый зашифрованный заказ пред­ставляет комбинацию пяти единиц и двух нулей. Это перестановки с повторениями, где 1 повторяется 5 раз, нуль — 2 раза. Применяя формулу (3.6), устанавливаем число всевозможных наборов конфет:

Встретившиеся в рассмотренной задаче выборки, составляемые из элементов одного и того же множества, не отличаются по своему объему, но отличаются по составу (хотя бы одним элементом). Такие выборки называются сочетаниями с повторениями.

Подсчитаем теперь число сочетаний с повторениями, если объем каждой такой выборки равен k , а множество, из которого строятся выборки, содержит п элементов.

На основании проведенных рассуждений получаем:

Теперь полезно решить еще такую задачу.

Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если одна и та же цифра может повториться несколько раз?

Если бы не было повторений, то задача нам уже известна — пришлось бы вычислять . Но в данном случае элементы могут по­вторяться. Значит, мы имеем размещения с повторениями.

Первую цифру трехзначного числа мы можем выбрать пятью способами: одну из цифр 1, 2, 3, 4 и 5. Вторую — также пятью спо­собами. Тогда по формуле (3.2) двузначное число можно образовать способами. Третью цифру опять можно выбрать пятью способами, и поэтому трехзначное число может быть образо­вано способами.

Аналогичные рассуждения помогут нам определить число раз­мещений с повторениями и в общем случае.

Пусть данное множество содержит п элементов, из которых не­обходимо образовать размещения по k элементов с повторениями, т. е. водном размещении тот же самый элемент может повториться 2, 3, . . ., k раз. Сколько таких размещений?

Первый элемент какого-нибудь из упомянутых размещений мы можем выбрать п способами (одного из данных п элементов). Второй элемент тоже п способами. Тогда в силу формулы (3.2) пару эле­ментов можно образовать способами. Третий элемент опять можем выбрать п способами, четвертый также и т. д. Понятно, что в таком случае размещения из п элементов можем образовать способами. Если договоримся число размеще­ний с повторениями обозначать то

Мать купила 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Девять дней подряд она каждый день предлагает сыну по одному фрукту. Сколь­кими способами она может выдать сыну фрукты?

Обозначим: яблоко — я, грушу — г, апельсин — а. Напишем одну из возможных выборок:

г г я г а а я а а

Все остальные выборки можно получить перестановкой ее эле­ментов. Следовательно, приходится вычислять перестановки с по­вторениями. В нашей задаче п = 9, п 1 = 2, п 2 = 3, п 3 = 4.

Поэтому число всевозможных способов раздачи фруктов

В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать набор из 12 открыток? из 8 открыток?

В данном случае нам приходится считать сочетания с повторе­ниями

Ответ: 293 930; 24 310.

Сколько разных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2, если та же самая цифра может повториться несколько раз?

Из цифр 0, 1, 2 можно составить четырехзначных числа. Но числа, записанные четырьмя цифрами, первая из которых нуль, не являются четырехзначными. Значит, из числа размещений с по­вторениями надо вычесть число таких выборок, которые начинаются нулем. Последних столько, сколько трехзначных чисел можно со­ставить из цифр 0, 1, 2 при повторении цифр. Таких чисел будет .

Сколькими способами можно расставить п нулей и k единиц так, чтобы никакие две единицы не стояли рядом?

Эта задача имеет смысл только при .

Убедимся в этом.

Между п нулями имеется п — 1 одноместное «гнездо» для еди­ницы. Но единица еще может занять одно место впереди всех нулей и одно место за всеми нулями. Таким образом, для k единиц имеем п — 1 + 1 + 1 = п + 1 одноместных «гнезд». Задача сводится к такой формулировке: «Сколькими способами можно k одинаковых «шариков» распределить по n + 1 одноместным «гнездам», что рав­носильно: «Сколькими способами из п + 1 элемента можно образо­вать выборки по k элементов, когда их порядок не существен?»

Ответ : разумеется, способами.

Между четырьмя игроками в домино поровну распределя­ются 28 костей. Сколькими способами могут распределиться кости домино?

Первый игрок 7 костей может выбрать способами. (Он не обязательно первым набрал кости, но с него мы начинаем строить возможные выборки.) Второму игроку приходится свою долю костей выбирать из числа 21 оставшейся кости. Это он может сделать способами. Третий — способами, а четвертый — спосо­бами. Тогда по правилу (3.2) кости могут быть распределены

Учащийся может возразить, что число всевозможных выборок раздачи костей зависит от порядка раздачи. Это не так! Допустим, игрокам кости розданы в таком порядке:

первый может получить 4 кости способами, после чего

второй может получить 3 кости способами, после чего

третий может получить 6 костей способами, после чего

четвертый может получить 2 кости способами, после чего

первый может получить 3 кости способами, после чего

четвертый может получить 5 костей способами, после чего

третий может получить 1 кость способами, после чего

второй может получить 4 кости способами.

В силу правила (3.2) число всех выборок равно

Но первый игрок кости выбирал два раза, поэтому выборок образовалось в раз больше из-за очередности, которая не имеет влияния на окончательный результат. Второй игрок также выбирал два раза, поэтому выборок образовалось в раз больше. Третий опять два раза, поэтому выборок образовалось в раз больше. У четвертого получилось в раз больше.

Следовательно, выборок получилось

Итак, очередность выбора костей (как это, естественно, и следо­вало ожидать) не влияет на результат.

Источник

Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом чтобы 3 клетки были

Вопрос по алгебре:

2 комбинаторные задачки. 9 класс. Помогите пожалуйста, заранее благодарна)
№1 Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) белым, черным, зеленым?
№2 Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую 6-ку?

Ответы и объяснения 1

№2. сочетание из 10 по 6.

№1 Выберем три клетки из шести. Это можно сделать сочетания из шести по три.
И закрасим их красным цветом. Из оставшихся трех выбираем одну и красим её белым цветом. Тогда имеем сочетание из шести по три, умножить на сочетание из трех по одному. Поскольку цветов три. умножим это на три. Клетку можем закрасить как белым, так и зеленым и черным цветом.
Теперь из оставшихся двух клеток выбираем одну и закрашиваем ее одним из двух оставших цветов ( черным или зеленым).
А если выбрали в предыдущий выбор зеленый ( то теперь белый или черный)
И если выбрали в предыдущий выбор черный цвет ( то теперь белый и зеленый)
Итак сочетание из шести по три умножаем на 3 на сочетание из трех по одному на 2 и на сочетание из двух по одному. Это в числителе.

А в знаменателе, наверное перестановка из шести.

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

Источник