Сколькими способами можно выбрать пары для танца

На школьном вечере присутствуют 14 девушек и 17 юношей.Сколькими способами можно выбрать из них пару для танца?

Сколькими способами можно выбрать из 8 девушек и 8 юношей группу людей для работы
Мне очень нужна помощь с решением задач по комбинаторике. Я в ней плохо разбираюсь. Буду очень.

Сколькими способами можно выбрать двух девушек и трех юношей из десяти студентов?
1. Сколькими способами можно выбрать двух девушек и трех юношей из десяти студентов, среди которых.

в студенческой группе 12 девушек и 16 юношей . Сколькими способами можно выбрать двух студентов одного пола?
в студенческой группе 12 девушек и 16 юношей . Сколькими способами можно выбрать двух студентов.

Сколькими способами можно распределить девушек в комнатах
Здравствуйте , не могу решить задачу : 1. В общежитие необходимо поселить в три двухместных.

Сколькими способами можно выбрать из них пять книг, никакие две из которых не стоят рядом
На полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них пять книг, никакие две из которых.

Сколькими способами можно выбрать 5 карт так, чтобы 2 из них были с одним номером, а остальные — с разными
Задание: в колоде из 4n карт имеется 4 масти по n карт в каждой. Карты одной масти занумерованы от.

Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт, что среди них окажутся четыре карты из 5 с одинаковыми номерами
Здравствуйте, форумчане. Имеется колода из 36 карт 4-х мастей, занумерованных в каждой масти.

Сколькими способами можно выбрать 5 карт из 52 так, чтобы среди них оказались две карты одного достоинства
Сколькими способами можно выбрать 5 карт из 52 так, чтобы среди них оказались две карты одного.

Источник

Настоящее пособие подготовлено для учащихся и преподавателей лицеев, гимназий, школ и классов с углубленным изучением математики для проведения факультативов и спецкурсов Составители

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

6. Примеры более сложных задач на сочетания, размещения и перестановки без повторений.

Пример 17 . Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Выберем сначала из 10 роз 2 розы. Это можно осуществить способами. Мы используем сочетания, а не размещения, потому что порядок, в котором выбираются цветы, значения не имеет. Независимо от выбора роз 3 георгина из 8 можно взять способами. Тогда, по правилу произведения, 2 розы и 3 георгина можно выбрать способами.

. Ответ: 2520 способами.

Пример 18 . Собрание из 40 человек избирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколько существует возможностей выбора этих пяти человек?

Решение. Выберем сначала председателя и секретаря. Вариантов выбора этих двух человек из 40 будет . Размещения здесь потому, что этот выбор зависит от порядка, например, «Иванов – председатель, Петров – секретарь» и «Петров – председатель, Иванов – секретарь» – это разные варианты. Затем из оставшихся 38 человек изберем 3 человека в редакционную комиссию. Это делается способами. По правилу произведения всего вариантов:

Можно было действовать иначе: сначала выбрать комиссию способами, а затем председателя и секретаря способами. Всего вариантов: . Ответ: 13160160

Пример 19 . Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома:

б) не стояли рядом?

Решение. а). Подсчитаем сначала число вариантов расстановки, когда первый и второй тома стоят рядом. Их можно считать за одну книгу. Тогда получается Р 7 = 7! перестановок. Но первый и второй тома можно соединить двумя способами: слева первый, справа второй том и наоборот. За счет этого количество вариантов удваивается и всего их будет 27! = 10080.

б). Указанные тома не стоят рядом во всех остальных случаях, значит, из общего числа перестановок восьми книг надо вычесть число перестановок, когда тома стоят рядом. Итак, 8! – 10080 = 30240.

Ответ: а)10080, б) 30240.

Пример 20 . Даны две параллельные прямые. На одной из них имеется 10 точек, а на другой – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в данных точках?

Решение. Заметим, что здесь будет два типа треугольников, расположенных вершинами вверх и вершинами вниз. Для треугольника первого типа вершину выбираем 10 способами, а основание (2 точки из 20) – способами. Всего, по правилу произведения, получается 10 треугольников. Аналогично, треугольников второго типа будет 20 . Наконец, применив правило суммы, получим общее количество треугольников: 10 + 20 = 2800.

Ответ: 2800 треугольников

Пример 21 . В вагоне электрички имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом по ходу движения, трое – против хода, а остальным безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?

Решение. Желающих сидеть по ходу движения разместим способами, против хода – , остальных троих на три пустых места – Р 3 = 3! способами. По правилу произведения всех пассажиров можно разместить способами.

Ответ: 43200 способами

Пример 22 . На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

Решение. Четырех девушек можно выбрать способами. После этого выбираем способами юношей (здесь уже существенен порядок). Всего = 17 417 400.

Ответ: 17 417 400 способами

7. Перестановки с повторениями

До сих пор мы рассматривали комбинации, в которых элементы не повторялись, то есть каждый из них можно было взять в выборку только один раз. Если же это ограничение убрать, то получим еще три вида комбинаций: перестановки, размещения и сочетания с повторениями.

Рассмотрим, например, слово «квант», состоящее из пяти различных букв. Если менять порядок букв, получим 5! =120 перестановок, т.е. 120 новых слов. (Словом будем называть любую комбинацию букв). Если проделать то же со словом «АТАКА», то перестановок будет меньше, потому что, меняя местами первую, третью и пятую буквы, будем получать то же самое слово. И, так как три буквы «А» можно менять местами 3! = 6 способами, то и перестановок в слове «АТАКА» будет в 6 раз меньше.

А теперь рассмотрим общий случай. Пусть дана выборка

,

состоящая из n элементов, причем, элемент а повторяется m 1 раз, элемент b – m 2 раз, и т.д., элемент с – m k раз и m 1 + m 2 +…+ m k = n . Перестановки в такой выборке, где есть одинаковые элементы, называются перестановками с повторениями и число перестановок с повторениями обозначается . Из приведенных выше рассуждений следует формула:

(7.1)

Пример 23 . Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

Решение. Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р 8 (2,2,2). По формуле:

Ответ: 5040 способами

Пример 24 . У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение девяти дней она выдает сыну по одному фрукту. Сколько может быть вариантов такой выдачи?

Решение. Обозначая фрукты по первым буквам названия, составим несколько вариантов выдачи: ЯЯГГГАААА, ААГГЯГААЯ, ГГГААЯЯАА. Эти выборки имеют один и тот же состав и отличаются только перестановкой элементов, поэтому применяем формулу числа перестановок с повторениями.

Ответ: 1260 вариантов

8. Размещения с повторениями

Определение.8.1. Размещениями с повторениями из n по m называются упорядоченные m -элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.

Число размещений с повторениями из n по m обозначается В отличие от обычных размещений, где m  n , в размещениях с повторениями m и n могут быть любыми. Выведем формулу числа размещений с повторениями. Будем конструировать m -элементную выборку из n элементов. Первый элемент, как и все последующие, мы можем выбирать n способами, ведь на любое место можно поставить любой из n элементов. Применяя правило произведения, получим:

(8.1)

Пример 25 . Сколько четырехбуквенных «слов» можно составить из букв «М» и «А»? Результат проверить непосредственно.

Решение. Составим несколько таких «слов». МММА, МАМА, МААА …Мы видим, что состав выборки меняется, порядок элементов в выборке существенен. Значит, это – размещения с повторениями из 2 букв «М» и «А» по 4 буквы.

Выпишем непосредственно все эти 16 «слов»:

ММММ, МММА, ММАМ, МАММ, АМММ, ММАА, МАМА, АММА, АМАМ, ААММ, МААМ, АМАА, ААМА, АААМ, МААА, АААА.

Пример 26 . Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: «красный», «желтый», «зеленый»?

Решение. Выпишем несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ, КЖЗКЖЗ… Мы видим, что состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Поэтому применяем формулу размещений с повторениями из 3 по 6:

Ответ: 729 комбинаций

9. Сочетания с повторениями

Определение 9.1. Сочетаниями с повторениями из n по m называются неупорядоченные m -элементные выборки, в которых элементы могут повторяться.

Число сочетаний с повторениями из n по m обозначается . В отличие от обычных сочетаний, где m  n , в сочетаниях с повторениями m и n могут быть любыми. Формулу для вычисления числа сочетаний с повторениями выведем на основе следующего частного примера.

Пример 27 . В почтовом отделении имеются открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить набор из 5 открыток?

Ясно, что в купленном наборе открыток они будут повторяться и порядок их в наборе не важен, то есть это будут сочетания с повторениями из 3 по 5. Зашифруем все возможные наборы из 5 открыток следующим образом: открытки каждого вида изобразим в виде единиц, разделенных символами . Так выборка 11111 означает, что мы купили 2 открытки первого вида, одну – второго и 2 открытки третьего вида, а 11111 – все 5 открыток третьего вида. Подсчитаем количество таких выборок. Каждая из них состоит из 7 элементов: пяти единиц и двух трегольников, то есть состав не меняется, а меняется только порядок элементов. Значит, это будут перестановки с повторениями из 7 элементов, где  повторяется два раза, а 1 – пять раз.

В общем случае, если имеется n видов открыток, а купить надо m штук, получим:

(9.1)

Это и есть формула числа сочетаний с повторениями, однако она неудобна для запоминания, поэтому представим эту формулу в другом виде. Для этого вычислим по формуле (4.2):

и сравним с (9.1). Правые части этих равенств равны. Приравнивая левые части, получим формулу, выражающую число сочетаний с повторениями через обычное число сочетаний.

(9.2)

Пример 28 . В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?

Решение. Обозначая булки белого и черного хлеба буквами Б и Ч, составим несколько выборок: ББББББ, ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ, …

Состав меняется от выборки к выборке, значит, это уже не перестановки; порядок элементов несущественен, это – сочетания с повторениями из 2 по 6.

.

Сделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.

Ответ: 7 вариантов

Пример 29 . Сколько существует прямоугольных параллелепипедов, длина ребра которых выражается целым числом от 1 до 9?

Решение. Параллелепипед определяется тремя ребрами, поэтому его можно представить в виде тройки чисел. Выпишем несколько вариантов: (1,1,5); (2,7,9); (4,4,4) … Элементы в выборке могут повторяться, состав меняется, порядок не существенен, например, выборки (2,7,9) и (9,2,7) соответствуют одному и тому же параллепипеду. Применяем формулу сочетаний с повторениями

Ответ: 165 параллелепипедов

10. Схема определения вида комбинации

Приведем в систему полученные формулы всех 6 видов комбинаций с повторениями и без повторений, представив алгоритм определения вида комбинации следующей схемой.

Составить несколько комбинаций (выборок)

Повторяются ли элементы в выборке ?

Меняется ли состав ?

Меняется ли состав ?

Существенен ли порядок?

Существенен ли порядок?

Перестановки с повторениями

Размещения с повторениями

Сочетания с повторениями

Решим несколько задач с применением данной схемы.

Пример 30 . В магазине игрушек имеются 7 одинаковых Чебурашек и 2 одинаковых Крокодила. Сколькими способами их можно расставить в один ряд на витрине?

Решение. Обозначив игрушки первыми бувами названия, составим несколько комбинаций: КЧЧЧЧЧЧЧК, ЧЧЧКЧКЧЧЧ, ККЧЧЧЧЧЧЧ, … Повторяются ли элементы в выборке? Да. Меняется ли состав? Нет, ведь каждая выборка состоит из семи букв «Ч» и двух букв «К». Следовательно, это перестановки с повторениями.

. Ответ: 36 способами

Пример 31 . На окружности расположено 20 точек. Сколько существует вписанных треугольников с вершинами в этих точках?

Решение. Занумеруем точки числами от 1 до 20. Тогда каждый вписанный треугольник будет представлять собой тройку чисел. Выпишем несколько выборок: (1, 5, 19), (15, 2, 9), (14, 13, 7) …. Числа в выборке не могут повторяться, так как все вершины треугольника различны. Состав меняется от выборки к выборке, порядок не существенен, так как (1, 5, 19) и (19, 5, 1) – один и тот же треугольник. По схеме получается, что это сочетания без повторений из 20 по 3.

Ответ: 1140 треугольников

Пример 32 . В некотором сказочном государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов (либо у них разное число зубов, либо зубов нет в разных местах). Оцените наибольшую численность населения этого государства, если максимальное число зубов у человека – 32.

Решение. Закодируем каждого жителя набором из 32 нулей и единиц. Единица соответствует наличию зуба в данном месте, нуль – его отсутствию. Выпишем несколько комбинаций: 11111…11, 1010…11, 00000…00, …Элементы повторяются, состав меняется, порядок существенен. Это – размещения с повторениями из 2 по 32.

. Ответ: 4294967296 жителей

Пример 33 . Имеются в неограниченном количестве палочки длиной 5, 6, 7, 8, 9, 10 сантиметров. Сколько различных треугольников можно из них составить?

Решение. Составим несколько выборок: (5,5,5); (6,7,8); (8,9,9)..

Элементы повторяются, состав меняется, порядок не существенен. Согласно схеме, применяем формулу сочетаний с повторениями из 6 по 3: . Однако, здесь есть небольшой подвох: треугольника со сторонами 5, 5, 10 не существует, так что их будет 55.

Источник