Задание №6 Выбор по одному элементу из трех групп
Математика «Алгебра и начала математического анализа»
Раздел: Комбинаторика
Тема: Правило суммы, правило произведения
Курганова О.Р.
ГБПОУ « Озерский технический колледж»
Название темы по программе:Правило суммы, правило произведения
Практическое занятие № 71
Тема:Правило суммы, правило произведения
Изучение понятий комбинаторики: правила суммы и правила произведения, Наработка навыков решения комбинаторных задач с применением закона сложения и умножения.
2. Дидактическое оснащение практического занятия:
Теория по ссылке: Закон сложения в комбинаторике, Закон умножения в комбинаторике
| Закон сложения | Допустим, что есть две группы: в одной k различных элементов, во второй n различных элементов. Если из первой группы какой-либо элемент можно выбрать k способами, а из второй n способами, то выбрать один элемент из первой или второй группы можно k+n способами. Закон сложения также используется, если нужно выбрать элемент из трёх, четырёх и т.д. групп. |
| Важно! | Закон сложения используется тогда, когда нужно выбрать только 1 элемент. |
| Правило использования закона сложения | Чтобы использовать закон сложения: 1. нужно понять, каковы группы, из которых нужно выбрать 1 элемент; 2. нужно выяснить количество элементов в каждой группе; 3. нужно убедиться, что в различных группах, из которых выбирают элемент, нет одинаковых элементов. |
| Важно! | Применение закона сложения невозможно, если есть совпадения при выборе элементов из групп |
| Если есть m — количество повторяющихся способов, то закон сложения (с повторениями) | Если объект a можно получить k способами, объект b n способами, то объект «a или b» можно получить k+n−m способами, где m — это количество повторяющихся способов. |
| Закон умножения | Если элемент A можно выбрать k способами и затем второй элемент B можно выбрать m различными способами, то пару элементов A и B можно выбрать k⋅m способами. Закон выполняется так же, если нужно выбирать по 1 элементу из трёх, четырёх и т.д. групп. |
Задания
Задание№1. Выбор элемента из нескольких групп
| Дана хочет нарядиться на классный вечер. В её шкатулке 5 цепочек, 3 колец и 12 браслетов. Сколькими способами она может выбрать одно украшение? | |
| Решение: Закон сложения: Существуют 2 группы: в одной k различных элементов, во второй n различных элементов. Если из первой группы элемент можно выбрать k способами, а из второй — n способами, то выбрать элемент из первой или второй группы можно k+n способами. Закон также в силе, если дано большее количество групп. В данном задании 3 группы: цепочки, кольца и браслеты. Цепочку можно выбрать 5 способами; Кольцо можно выбрать 3 способами; Браслет можно выбрать 12 способами. Одно украшение можно выбрать 5+3+12=20 способами. Ответ:Одно украшение можно выбрать 5+3+12=20 способами. | |
| Решить задание на ЯКласс | №1 Выбор элемента из нескольких групп |
Задание №2 Выбор элемента из множества групп, выбор нужной группы
В школьном самоуправлении участвуют ученики разных классов. Данные обобщены в таблице:
Сколькими способами можно выбрать одного ведущего школьного мероприятия, если для роли ведущего нужно выбрать девочку из 10-ого или 9-ого класса? | |||||||
| Решение: Допустим, что существуют 2 группы: в одной k различных элементов, во второй n различных элементов. Если из первой группы какой-либо элемент можно выбрать k способами, а из второй — n способами, то выбрать один элемент из первой или второй группы можно k+n способами. Закон сложения остаётся в силе, если групп больше, чем 2. В данном случае группы — это девочки из 10-ого и 11-ого класса, количество элементов — количество девочек в этих классах. Из закона сложения следует, что ведущего мероприятия можно выбрать 9+8=17 способами. Ответ: Одного ведущего можно выбрать 17 способами | |||||||
| Решить задание на ЯКласс | №2 Выбор элемента из множества групп, выбор нужной группы |
Задание №3 Варианты выбора элемента из нескольких групп
| По телевизору в воскресенье показывают 6 приключенческих фильмов, 5 комедий и 2 фильмов ужасов. Запиши, сколькими различными способами можно выбрать один из всех предложенных фильмов? | |
| Решение: Используется закон сложения: Если в двух группах нет одинаковых элементов и из одной группы какой —либо элемент можно выбрать n способами, а из второй — k способами, то выбрать один элемент из первой или второй группы можно n+k способами. 6+5+2=13 Ответ:Из всех фильмов один можно выбрать 13 различными способами. | |
| Решить задание на ЯКласс | №3 Варианты выбора элемента из нескольких групп |
Задание №4 Варианты маршрутов по данному рисунку
. Отметь, сколькими различными способами можно попасть из города A в город C, если на данном рисунке схематически изображены варианты путей?  | |
Решение:  Количество различных путей из города A в город C: 1⋅2⋅1+1⋅2⋅1=2+2=4 Объяснение: Если ехать через города B и E, нужно выбрать комбинацию из 3 элементов: из A в B есть 1 возможность; из B в E есть 2 возможности; из E в C есть 1 возможность. По закону умножения из города A в C через B и E можно попасть 1⋅2⋅1=2 способами. Если ехать через города F и G, нужно выбрать комбинацию из 3 элементов: из A в F есть 1 возможность; из F в G есть 2 возможности; из G в C есть 1 возможность. По закону умножения из A в C через F и G можно попасть 1⋅2⋅1=2 способами. По закону сложения количество всех возможных путей равно 1⋅2⋅1+1⋅2⋅1=2+2=4 Ответ:количество всех возможных путей равно 4 | |
| Решить задание на ЯКласс | №4 Варианты маршрутов по данному рисунку |
Задание №5 Варианты выбора двух элементов ( закон умножения)
| На полке лежит 8 пар брюк. Игорь для путешествия из них выбирает 2 пары. Выясни, сколькими различными способами Игорь может выбрать себе брюки? | |
Решение: 1. Сначала Игорь может выбрать любые из всех 8 брюк. 2. Когда первый выбор сделан, для следующего остаётся 8−1=7 вариантов брюк. 3. По закону умножения: Если элемент A можно выбрать k способами и затем второй элемент B можно выбрать m различными способами, пару элементов A и B можно выбрать k⋅m способами.  8⋅7=56 (способами). Ответ:Игорь может выбрать брюки 56 различными способами. | |
| Решить задание на ЯКласс | № 5 Варианты выбора двух элементов |
Задание №6 Выбор по одному элементу из трех групп
| Дана корзина с конфетами разных видов. Из всех конфет 9 конфет «Буревестник», 11 конфет «Клубничные» и 3 конфеты «Белочка». Найди, сколькими способами можно выбрать 3 конфеты так, чтобы это были 1 «Буревестник», 1 «Клубничная» и 1 «Белочка»? | |
| Решение: О Для решения задачи используется закон умножения. Если элемент A можно выбрать k способами и затем другой элемент B независимо от выбора элемента A можно выбрать m различными способами, пару элементов A и B можно выбрать k⋅m различными способами. Закон в силе и тогда, когда нужно выбирать по одному элементу из большего количества групп. 9⋅11⋅3=297 Ответ:Конфеты можно выбрать 297 различными способами. | |
| Решить задание на ЯКласс | № 5 Выбор по одному элементу из трех групп |
Содержание отчета
Записать решение заданий в тетрадь, ответить на контрольные вопросы
5. Контрольные вопросы
| Какой закон применим для выбора 1 элемента из нескольких групп? |
| Возможно ли применение закона сложения при выборе элементов из нескольких групп, если есть совпадения при выборе элементов? ? |
| Какой закон применяется при выборе нескольких элементов из одной или нескольких групп? |
| В чем разница применения закона сложения и уможения? |
Литература и используемые интернет-ресурсы
Источник
Правила комбинаторики. Методы решения комбинаторных задач.
Список вопросов теста
Вопрос 1
Рита хочет нарядиться на классный вечер. В её шкатулке 2 цепочки, 6 колец и 10 браслетов. Сколькими способами она может выбрать одно украшение?
Варианты ответов
Вопрос 2
Даша хочет нарядиться на классный вечер. В её шкатулке 4 цепочки, 6 колец и 13 браслетов. Сколькими способами она может выбрать одно украшение?
Вопрос 3
В школьном самоуправлении участвуют ученики разных классов.
Данные обобщены в таблице.
Сколькими способами можно выбрать одного ведущего школьного мероприятия, если для роли ведущего нужно выбрать девочку из 8-го, 9-го или 11-го класса?
Вопрос 4
По телевизору в субботу показывают 5 приключенческих фильм(-ов, -а), 2 комеди(-й, -и) и 2 фильм(-ов, -а) ужасов.
Определи, сколькими различными способами можно выбрать один из всех предложенных фильмов?
Варианты ответов
Вопрос 5
Вычисли, сколькими различными способами можно попасть из города A в город C, если на данном рисунке схематически изображены варианты путей?
Вопрос 6
В магазине канцелярских товаров продаются ручки 6 различных видов, карандаши 13 различных видов и резинки 9 различных видов. Сколькими различными способами Маша может купить:
б) один карандаш и одну резинку?
в) одну резинку или один карандаш?
г) все три принадлежности — ручку, карандаш и резинку?.
В ответе запиши полученные числа через пробел по порядку вопросов.
Вопрос 7
В классе 8 человек имеют «5» по математике, 7 человек — «5» по истории, 3 человек(-а) имеют «5» и по математике, и по истории. Сколько человек имеют пятёрку по математике или по истории?
Вопрос 8
На дне рождения Сергея присутствовали 4 мальчика и 4 девочки. Сергей станцевал 9 парных танцев, Игорь — 7 парных танцев, Андрей и Дима — по 10 танцев, Света — 10 танцев, Илона — 9 танцев, а Ира — 8 танцев. Сколько парных танцев станцевала Наташа?
Вопрос 9
Имеются 9 ступенек. Сосчитай, сколькими способами Олег может подняться по ступенькам, если он передвигается по одной или по двум ступенькам за раз?
Вопрос 10
В группе 32 человека. Среди них 17 студентов играют в волейбол, 18 — в шахматы, 14 — и в волейбол, и в шахматы. Сколько студентов не играют ни в волейбол, ни в шахматы?
Вопрос 11
Жители сказочной планеты Эпсилон имеют три руки: левую, правую и среднюю. На каждой руке имеется по крайней мере один палец, вместе 17 пальцев. Определи, сколько комплектов перчаток должно быть в продаже, чтобы каждый житель планеты Эпсилон мог бы подобрать себе соответствующий.
Вопрос 12
От Октябрьской площади до цирка можно проехать через Северную и Южную дамбы. В первом случае количество дорог равно 5, а во втором — 4. Сосчитай, сколькими способами можно добраться от Октябрьской площади до цирка?
Вопрос 13
В группе 9 человек имеют «5» по математике, 15 человек — «5» по философии. В сессии 2 экзамена. Известно, что 3 человека сдали сессию отлично. Сколько человек имеют хотя бы одну пятерку в сессии?
Вопрос 14
В классе 22 человек, из них 8 человек изучают язык программирования Бейсик, и 8 человек изучают Паскаль. Сколько человек не изучают языки программирования, если известно, что других языков в этом классе не изучают и каждый человек знает не более одного языка программирования?
Вопрос 15
На полке лежат 8 пар(-ы) брюк. Игорь для путешествия выбирает из них 2 пары. Одну он наденет сразу, а другую возьмёт с собой. Выясни, сколькими различными способами Игорь может выбрать себе брюки.
Вопрос 16
Дана корзина с конфетами разных видов. Из всех конфет 4 конфеты «Буревестник», 6 конфет «Клубничные» и 10 конфет «Белочка».
Определи, сколькими способами можно выбрать 3 конфеты так, чтобы это были 1 «Буревестник», 1 «Клубничная» и 1 «Белочка»?
Вопрос 17
В магазине продаются жёлтые и чёрные рубашки размеров S, M, L и XL.
Определи, сколько различных рубашек можно купить.
Вопрос 18
Яна хочет нарядиться на классный вечер. В её шкатулке 11 цепочек, 8 кол(-ец, -ьца) и 9 браслет(-ов, -а). Вычисли, сколькими способами она может выбрать цепочку, кольцо и браслет?
Вопрос 19
Даны цифры 1;2;3;4;5;6;7;8.
Найди, сколько различных четырёхзначных телефонных номеров можно составить из этих цифр, если
а) они не должны повторяться?
б) цифры могут повторяться?
В ответе запиши полученные числа через пробел.
Вопрос 20
Найди, сколько различных пятизначных чисел, делящихся на 10, можно составить из цифр 0;1;2;3;4;5;6;7;8, если цифры могут повторяться?
Вопрос 21
У учеников 10 класса во вторник могут быть только следующие предметы: литература, геометрия, биология, физика и физическая культура. Определи, сколько существует вариантов поставить
а) 5 различных уроков во вторник?
б) 5 уроков в среду, если уроки могут повторяться?
В ответе запиши полученные числа через пробел.
Вопрос 22
Запиши, сколько различных 6-значных чисел можно составить из данных цифр 1;2;3;4;5;6, если каждая цифра в одном числе используется только 1 раз.
Вопрос 23
Данны цифры 1;2;3;4;5;6.
Найди, сколько различных двузначных чисел с разными цифрами можно составить из данных цифр.
Вопрос 24
Выясни, сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0;1;2;3;4, если эти цифры не могут повторяться.
Вопрос 25
Выясни, сколько различных пятизначных чисел, которые делятся на 2, можно составить из цифр 1;2;3;4;5;6, если цифры в числе могут повторяться.
Источник
