Сколькими способами можно восстановить число кости

Решение задач о бросании игральных костей

Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) — задача о подбрасывании игральных костей.

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Основной метод решения подобных задач — использование формулы классической вероятности, который мы и разберем на примерах ниже.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный Excel-файл для расчета вероятности при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

Одна игральная кость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ — число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ — число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость, то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию «выпало не менее 5 очков», то есть «выпало или 5, или 6 очков» удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков. По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали — число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ниже):

А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков — запишем туда сумму, про разность — запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней — 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию «в сумме выпадет менее 5 очков» исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в файле Excel).

Другие задачи про кости и кубики

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ — сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ — сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ — сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Наиболее простой способ решения этой задачи — снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию «на первой кости выпало не более 4 очков» — то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

Эту же задачу можно решить по-другому, используя формулу условной вероятности. Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac. $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ — $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac=\frac<18><36>=\frac<1><2>; \quad P(AB)=\frac=\frac<12><36>=\frac<1><3>;\\ P(B|A)=\frac=\frac<1><1>=\frac<2><3>. $$ Ответы совпали.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз, а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли.

Итак, имеем $n=4$ независимых испытания (броски кубика), вероятность выпадения четного числа очков в одном испытании (при одном броске кубика) равна $p=3/6=1/2=0.5$ (см. выше задачи для одной игральной кости).

Тогда по формуле Бернулли $P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^$, подставляя $k=3$, найдем вероятность того, что четное число очков появится 3 раза: $$ P_4(3)=C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^3 \cdot \left(1-1/2\right)^1=4 \cdot \left(1/2\right)^4=1/4=0,25. $$

Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.

Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.

Подставляем в формулу Бернулли следующие значения: $n=8$ (число бросков), $p=1/6$ (вероятность появления 6 при одном броске), $k\ge 1$ (хотя бы один раз появится шестерка). Прежде чем вычислять эту вероятность, напомню, что практически все задачи с формулировкой «хотя бы один. » удобно решать, переходя к противоположному событию «ни одного. «. В нашем примере сначала стоит найти вероятность события «Шестёрка не появится ни разу», то есть $k=0$: $$ P_8(0)=C_8^0 \cdot \left(1/6\right)^0 \cdot \left(1-1/6\right)^8=\left(5/6\right)^8. $$ Тогда искомая вероятность будет равна $$ P_8(k\ge 1)=1-P_8(0)=1-\left(5/6\right)^8=0.767. $$

Полезные ссылки

Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности.

В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков.

Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel.

Еще по теории вероятностей:

В решебнике вы найдете более 400 задач о бросании игральных костей и кубиков с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Источник

Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости

1. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было приложить друг к другу (т.е некоторое число очков встретилось на обеих костях). (отв 147)

ПОЧЕМУ 147. Почему решение 7*(1+2+3+4+5+6) ?

Я пытаюсь разобраться в комбинаторных задачах.
НОЛЬ.

Буду благодарна, если кто поможет. Может учебник где КУЧА решенных заданий.

Сколькими способами можно выбрать две кости
в Универе задали контрольную на установочной сессии. Прошу помочь только с 2- мя задачками 1.

При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?
При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?

Из полного набора костей домино (28 шт.) наугад берут две кости
Из полного набора костей домино (28 шт.) наугад берут две кости. Определить вероятность того, что.

Выбрать случайным образом две кости домино и определить, можно ли их приставить друг к другу
Доброе время суток, помогите пожалуйста написать программу, за ранее большое спасибо. .

Решение

Сколькими способами можно выбрать две карты, одна из которых туз?
Из колоды с 36 картами извлекают 2 карты.Сколькими способами можно это сделать так,чтобы среди.

Сколькими способами можно выбрать из них пять книг, никакие две из которых не стоят рядом
На полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них пять книг, никакие две из которых.

Сколькими способами можно выбрать 5 карт из 52 так, чтобы среди них оказались две карты одного достоинства
Сколькими способами можно выбрать 5 карт из 52 так, чтобы среди них оказались две карты одного.

Источник

Сколькими способами могут выпасть 3 игральные кости?

Сколькими способами могут упасть три кости?
Бросают три игральные кости (с шестью гранями каждая). Сколькими способами они могут упасть так.

Сколькими способами можно выбрать две кости
в Универе задали контрольную на установочной сессии. Прошу помочь только с 2- мя задачками 1.

Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости
1. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно было.

Сколькими способами могут выданы премии?
Приветствую, :friends: Помогите решить задачку Для премий на математической олимпиаде.

Сколькими способами могут распределиться медали
Сколькими способами на первенстве мира по футболу могут распределиться медали, если в финальной.

Сколькими способами могут быть заполнены бюллетени?
Приветствую, :friends: В предвыборной борьбе за 2 одинаковые должности выступают 6 кандидатов.

Сколькими способами могут поразить 5 мишеней 3 стрелка
Сколькими способами могут поразить 5 мишеней 3 стрелка (6 стрелков)?

Сколькими способами дети могут занять места?
Шесть мальчиков и шесть девочек идут на концерт вместе. Сколькими способами они могут занять.

Сколькими различными способами могут упасть фишки?
Одновременно подбрасываются 3 фишки с 6, 8, 10 гранями соответственно, и фиксируют грани, которыми.

Сколькими различными способами могут упасть кубики
Одновременно подбрасывают три кубика, имеющих 6, 8 и 10 граней соответственно. Сколькими различными.

Источник

Материал для самостоятельного изучения темы «Комбинаторика»

ТЕМА ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ:

«СОЧЕТАНИЯ, РАЗМЕЩЕНИЯ, ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ»

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

Перестановки-соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их

Количество всех перестановок из n элементов обозначают

Число n при этом называется порядком перестановки

Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! (Читается “эн — факториал”). Используя знак факториала, можно, например, записать:

5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.

Необходимо знать, что 0!=1

РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.

Пример. В группе ТД – 21 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно А243. По формуле находим

Ответ: 12144 способа

Определение: размещения из n элементов, в каждое из которых входит m элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом размещении любое число раз, но не более m , называются размещениями из n по m с повторениями.

Например: числа 445, 544, 454, 445, 554, 545, 455, 555 — размещения из 2 элементов по 3 с повторениями (по трем различным местам размещаются 2 элемента с повторениями каждого из них любое число раз, но не больше трех)

Обозначение: число размещений из «эн» по «эм» с повторениями —

Подсчет числа размещений с повторениями:

Пример 1. Каждый телефонный номер состоит из 7 цифр. Сколько существует телефонных номеров, не содержащих других цифр, кроме 2, 3, 5 и 7?

Решение: основное множество:

соединение – семизначный телефонный номер

2233447  7443322  порядок важен  задана последовательность  это либо размещения, либо перестановки. Так как семизначный номер может включать не все элементы основного множества (например, номер 2223332 не содержит цифр 5, 7), а лишь некоторые из них, то это размещения в семи разных местах семи цифр, выбранных из четырех разных цифр с повторениями каждой из них любое число раз, но не более семи.

— размещения из 4 по 7 с повторениями

Пример 2. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров в три вагона?

Решение: эту задачу можно рассматривать как задачу о числе распределения среди восьми пассажиров любых восьми выбранных из трех вагонов с повторениями каждого из них любое число раз, но не более восьми.

Пример 3. Сколько различных 10-буквенных слов можно составить, используя только две буквы: а и b ?

Решение: это задача о числе возможностей разместить на 10 различных местах любые 10 букв, выбранных из букв а и b , с повторениями каждой из них любое число раз, но не более 10.

— размещения из двух по 10 с повторениями.

ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Определение: перестановки из n элементов, в каждую из которых входят одинаковых предметов одного типа, одинаковых предметов другого типа и т.д. до одинаковых предметов k -го типа, где , называются перестановками из n элементов с повторениями.

Например: числа 4455, 5544, 4545, 5454, 554, 4554, 5445 – перестановки из 4 элементов с повторениями (в каждую перестановку входят две четверки и две пятерки).

Обозначение: число перестановок с повторениями —

Подсчет числа перестановок с повторениями:

Пример 4. Сколькими способами можно расположить в ряд две зеленые и четыре красные лампочки?

Решение: порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: зеленые лампочки – 2 раза, а красные – 4 раза. Это перестановки из 6 элементов с повторениями.

способов

Пример 5. Сколько всех семизначных чисел, у каждого из которых цифра 6 встречается три раза, а цифра 5 – четыре раза?

Решение: порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: шестерки – 3 раза, а пятерки – 4 раза. Это перестановки из 7 элементов с повторениями.

чисел

Пример 6. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «математика», чтобы получались всевозможные различные анаграммы?

Решение: порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: буква «м» – 2 раза, буква «а» – 3 раза, буква «2», буквы «е», «и», «к» — по 1 разу. Это перестановки из 10 элементов с повторениями.

способами

Пример 7. Сколькими способами можно 10 человек разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе?

Решение: порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: буква «м» – 2 раза, буква «а» – 3 раза, буква «2», буквы «е», «и», «к» — по 1 разу. Это перестановки из 10 элементов с повторениями.

способами

СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Сочетания-соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их

Пример. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно

Ответ: 120 вариантов.

Определение: сочетания, содержащие m элементов, в которых любой элемент может присутствовать некоторое число раз, не превосходящее m , называются сочетаниями из n элементов по m с повторениями.

Например: соединения < a , a >, < a , b >, < a , c >, < b , b >, < b , c >, < c , c >– сочетания из 3 элементов < a , b , с> по два с повторениями (в соединение могут входить два одинаковых элемента).

Обозначение: число сочетаний с повторениями —

Подсчет числа сочетаний с повторениями:

Пример 8. Сколькими способами можно выбрать 4 монеты из четырех пятикопеечных монет и из четырех двухкопеечных монет?

Решение: порядок выбора монет неважен, и примерами соединений могут являться <5,5,5,5>, <2,2,2,2>, <5,2,5,5>и т.д. Это задача о числе сочетаний из двух видов монет по четыре с повторениями.

способов

Пример 9. В кондитерской имеется 5 разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из 4 пирожных?

Решение: это задача о числе сочетаний из 5 видов пирожных по 4 с повторениями.

способов

Пример 10. Сколько будет костей домино, если в их образовании использовать все цифры?

Решение: число костей домино можно рассматривать как число сочетаний из 10 чисел по 2 с повторениями.

костей

1. Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд? (использовать формулу перестановок)

2. Сколькими способами 5 человек могут занять очередь в железнодорожную кассу?

3. Вычислить (6! – 4!) : 5!

4. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов? (использовать формулу размещений)

5. Номера машин состоят из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?

6. Турист может посетить города Углич, Ростов, Ярославль, Кострому, Сергиев Посад.

Сколько маршрутов с последовательным посещением трех городов он может составить?

7. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей? (использовать формулу сочетаний)

8.Из класса, в котором учится 23 человек, необходимо послать на школьную конференцию четырех представителей. Сколько вариантов такого выбора?

9. В олимпиаде по программированию может участвовать команда из трех студентов группы.

Сколько возможностей составить команду, если в группе 20 студентов?

Источник