Сколькими способами можно составить флаг состоящий

Содержание

Комбинаторика 3
Методическая разработка решение комбинаторных задач для самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математика» (стр. 4 )
Задачи для самостоятельного решения
Элементы комбинаторики

Комбинаторика 3

Решение многих комбинаторных задач сводится к умножению друг на друга числа возможных вариантов независимого выбора. Вы наверняка обратили на это внимание — таковы были, например, задачи 19 и 20 из листка «Комбинаторика 1». Рассмотрим другие примеры.

1. Сколькими способами можно купить пиджак и брюки, если в магазине есть 7 видов пиджаков и 5 видов брюк?

Допустим, что пиджак уже куплен. Тогда в пару к нему можно выбрать любые из 5 брюк. Таким образом, существует 5 наборов пиджак—брюки, содержащих выбранный пиджак. Поскольку пиджаков всего 7, то имеется 7·5 = 35 различных наборов из пиджака и брюк, т.е. покупку можно сделать 35 способами.

2. В магазин привезли еще 4 вида галстуков. Сколькими способами можно теперь купить комплект из пиджака, брюк и галстука?

Допустим, что пара пиджак—брюки уже выбрана. К ней можно купить галстук 4 способами. Поскольку пар пиджак—брюки всего 35, имеется 35·4 = 140 способов купить пиджак, брюки и галстук. Заметим, что искомое число способов получается прямым перемножением вариантов: 140 = 7·5·4.

В некоторых задачах выбор не является независимым: осуществление выбора ограничивает число возможных вариантов на следующем этапе. Вот пример.

3. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из трех горизонтальных полос, если имеется материя 5 различных цветов?

Для верхней полосы флага существует 5 способов выбора цвета. Когда цвет верхней полосы выбран, для средней полосы остается 4 возможных цвета. После выбора цвета верхней и средней полос цвет нижней полосы можно выбрать 3 способами. Итого получается 5·4·3 = 60 способов составить флаг.

В буфете продаются 4 вида булочек и 5 видов пирожных. Сколькими способами можно купить булочку и пирожное?
У Кати есть 6 ручек, 3 карандаша и 4 тетради. Сколькими способами Катя может взять с собой в школу ручку, карандаш и тетрадь?
Сколько различных пар, состоящих из гласной и согласной букв, можно выбрать из слова «комбинаторика»?
В языке аборигенов далекого острова 10 прилагательных, 20 существительных и 15 глаголов. Предложением называется всякое сочетание либо существительного и глагола, либо прилагательного, существительного и глагола. Сколько всего предложений имеется в этом языке?
Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4?
Монету подбрасывают пять раз. Сколько различных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
Каждую грань кубика можно покрасить в белый, красный или черный цвет. Сколько существует вариантов раскраски кубика?
Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых нечетны?
Сколько существует а) семизначных чисел; б) четных трехзначных чисел?
В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?
Король решил выдать замуж трех своих дочерей. Со всех концов света явились во дворец сто юношей. Сколькими способами дочери короля могут выбрать себе женихов?
Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6, используя каждую из цифр ровно по одному разу?
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, используя каждую из цифр ровно по одному разу?
Сколько анаграмм имеют слова «цифра», «листок»?
В некоторой гимназии, в некотором классе в понедельник семь уроков: математика, латынь, греческий, литература, история, английский и физкультура. Сколько вариантов расписания в этом классе можно составить на понедельник?

Источник

Методическая разработка решение комбинаторных задач для самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математика» (стр. 4 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4

Другой способ решения этой задачи основан на формуле для размещений без повторений. Каждый выбор можно задать парой различных чисел (а, b), где , . Число таких пар равно = 30.

4. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?

Обозначим пять имеющихся цветов буквами а, b, с, d, е. Тогда любой флаг «зашифровывается» кортежем из трех различных букв. Поэтому число флагов равно числу размещений без повторений из 5 по 3, т. е. = 60.

5. Сколькими способами можно составить четырехцветный флаг из горизонтальных полос, имея четыре различных цвета?

В этом случае различные флаги отличаются друг от друга лишь порядком цветов. Их число равно числу перестановок из четырех элементов, т. е. Р4 = 4! = 24.

6. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях окажется ровно один туз? В скольких случаях — ровно 4 туза?

Каждый выбор карт из колоды есть выбор 10-множества из 52-множества. Это может быть сделано

Найти число способов, когда среди выбранных карт есть хотя бы один туз, на первый взгляд сложнее — надо разбирать случаи, когда есть ровно один туз, ровно два туза, ровно три туза, ровно четыре туза. Но проще найти сначала, в скольких случаях среди выбранных карт нет ни одного туза — во всех остальных случаях будет хотя бы один туз. Но если среди выбранных карт нет ни одного туза, то выбор совершался не из 52, а из 48 карт (всех карт, кроме тузов), а потому число таких выборов равно . Следовательно, хотя бы один туз будет в случаях.

Чтобы найти, в скольких случаях будет ровно один туз, разобьем операцию выбора карт на две — сначала выбирают из четырех тузов один туз — это можно сделать способами. А потом из оставшихся 48 карт выберем 9, что можно сделать способами. По правилу произведения получаем, что весь выбор можно сделать ⋅ способами.

Наконец, выбор, содержащий четыре туза, можно сделать способами — надо взять 4 туза и выбрать еще 6 карт из 48.

7. В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства (наибольшее число зубов равно 32)?

Каждому жителю государства соответствует подмножество множества X, состоящего из 32 зубов, показывающее, каков набор зубов у этого жителя. Общее число подмножеств 32-множества равно 232. Значит, в государстве не может быть больше, чем 232 жителей.

8. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

В этом задаче надо найти число кортежей длины 8, имеющих заданным состав (2, 2, 2, 1, 1). Число таких кортежем (то есть перестановок с повторениями) равно:

9. Пятнадцать занумерованных биллиардных шаров разложены по шести лузам. Сколькими способами это можно сделать?

Поставим каждому числу от 1 до 15 в соответствие номер лузы, в которую положен шар, номер шара равен этому числу. Получим кортеж длины 15, составленный из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (номеров луз). Число таких кортежей равно 615.

11. Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек?

Поля для белых шашек можно выбрать способами. После этого остается 20 полей, из которых можно способами выбрать поля для черных шашек. Всего получаем

⋅ = способов.

11. Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных?

Поскольку в этой задаче порядок пирожных не играет роли, то каждый набор задается кортежем длины 8 из 4 элементов (названий сортов пирожных), причем порядок компонент кортежа не играет роли. Иными словами, нам надо найти число различных составов таких кортежей. А это число равно числу сочетаний с повторениями из 4 элементов по 8, т. е. . Значит, существует 165 различных наборов.

Комбинаторные задачи геометрического содержания

Существует много комбинаторных задач, имеющих геометрическое содержание, например задачи на подсчет числа диагоналей многоугольника, числа точек пересечения нескольких прямых или окружностей и т. д. Покажем решение некоторых задач такого типа.

1. На плоскости проведено п прямых, причем никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются о одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые?

Каждая точка пересечения однозначно определяется парой проходящих через нее прямых. При этом порядок прямых роли не играет. Поэтому искомое число точек пересечения равно числу сочетаний из п по два, т. е. С2п.

2. Найти число точек пересечения диагоналей, лежащих внутри выпуклого п-угольника, если никакие три из них не пересекаются в одной точке.

Если взять любые четыре вершины многоугольника, то через них можно провести четыре диагонали (рис. 2), имеющие две точки пересечения (кроме вершин). Из этих точек лишь одна лежит внутри многоугольника. Значит, любая внутренняя точка пересечения диагоналей однозначно определяется выбором четверки вершин, причем порядок вершин роли не играет. Итак, число таких четверок (а тем самым и внутренних точек пересечения диагоналей) равно .

3. На одной из параллельных прямых линий отмечено 10 точек, а на другой – 7 точек. Каждая точка одной прямой соединена с каждой точкой другой прямой. Найдите число точек пересечения полученных отрезков, если никакие три отрезка не имеют общей точки (общие точки на концах отрезков не считаются).

Сделав рисунок, мы убеждаемся, что любая точка пересечения определяется однозначно, если задать пару точек на одной прямой и пару точек на второй прямой. При этом порядок точек на прямых роли не играет. Поэтому в обоих случаях речь идет о выборе подмножеств. Но из 10-множества можно выбрать 2-подмножеств, а из 7-множества – 2-подмножеств. По правилу произведения получаем, что общее число точек пересечения равно ⋅ , то есть 945.

Задачи для самостоятельного решения

Сколькими способами можно из 25 различных роз выбрать 3 розы для букета? Сколькими способами можно из 25 видов роз выбрать 3 розы для букета (имеется достаточное количество роз каждого вида)? Сколькими способами можно 25 роз, среди которых 8 красных, 10 розовых и 7 желтых, подарить по одной 25 призерам конкурса? Сколькими способами можно составить четырехцветный флаг из горизонтальных полос, имея четыре различных цвета? Из колоды, содержащей 36 карт, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных? На плоскости проведено n прямых, причем никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые? Из вершины треугольника провели 5 отрезков к его основанию. Сколько получилось всего треугольников? Сколько существует двузначных чисел, которые записываются различными цифрами? Сколько различных трехзначных чисел можно записать, не пользуясь цифрой 0? Сколькими различными способами можно построить в шеренгу 5 человек? Сколькими способами можно расставить на первой линии шахматной доски 6 белых пешек и 2 черных? Сколькими способами можно выбрать из 30 учеников трех дежурных? Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «математика»? В слове «кукуруза»? В слове «молоко»? (под словом будем понимать любой набор букв). Сколько различных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 2? Автомобильные номера состоят из трех букв и трех цифр. Сколько таких номеров можно составить, если используются 28 букв русского алфавита?

Источник

Элементы комбинаторики

Разделы: Математика

№ 1. Имеем 4 разных конверта без марок и 3 разные марки. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для отправления письма?

34 = 12 (способов)

Ответ: 12 способов.

№ 2. В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров.

1) Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

2) Сколькими способами из коробки можно вынуть два разноцветных шара?

= = = = 16 (способов)

= = 10

№ 3. В корзине лежат 12 яблок и 9 апельсинов (все разные). Петя выбирает или яблоко, или апельсин, после него из оставшихся фруктов Надя выбирает яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов? При каком выборе Пети у Нади больше возможностей выбора?

+ = + = 21 + 19

Если Петя берёт 1 яблоко, то у Нади больше возможностей для выбора.

Ответ: 401. Петя берёт 1 яблоко.

№ 4. Ученику необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами может быть составлено расписание его экзаменов?

= = = 5.

№ 5. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

= = . Ответ: 24.

№ 6. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

= = = = = 29870(способов).

№ 7. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

= = = = 6.

№ 8. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов?

= = = = 5 = 210 (способов).

№ 9. Сколькими способами организаторы конкурса могут определить, кто из 15 его участников будет выступать первым, вторым и третьим?

= = = =

= = =13 = 2780 (способов).

№ 10. На плоскости отметили 5 точек. Их необходимо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать, если в латинском алфавите 26 букв?

= = = = 22 (способов)

Ответ: .

№ 11. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9,если цифры в числе не повторяются?

= = = 2 = 120 (способов).

№ 12*. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8,если цифры в числе не повторяются?

= = – = 5! -4! = 4!(5 – 1) = 1.

№ 13. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные и первая цифра отлична от нуля?

= = – = – =

= 44 = 4 (номеров)

№ 14. Сколько разных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы полученные числа были: 1) четными; 2) кратными 5?

2= = = 2 2) = = = = 2

№ 15*. Решите уравнение: 1) =20; 2) = 6.

=20;

= 20 ОДЗ: х

= 20

= 6.

= 6

= 6 ОДЗ: х

= 6

х 2 -3х -4х + 12 – 6 = 0

х 2 – 7х + 6 = 0 х₁ = 6, х₂ = 1 (исключить).

№ 1. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?

Решение: Р₄ = 4! = 1 = 24 (способа)

№ 2. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Решение: Р₇ = 7! = 1

№ 3. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?

Решение: Р₅ = 5! =1 (выражений)

№4. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решение:Р₃ = 3! = 1(вариантов)

№ 5. Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр:

1) 1, 2, 5, 6, 7, 8; 2) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

1) Р₆ = 1720.

2) Р₆ – Р₅ = 6! – 5! = 1

Ответ: 1) 720; 2) 600.

№ 6. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без повторения цифр), есть такие, которые: 1) начинаются с цифры 3; 2) кратны 5?

1) Р₃ =3! = 1 2) Р₃ =3! = 1

№ 7. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения цифр в числе).

Р₄ = 4! = 1 = 24

1+3+5+7 = 16 16

№ 8. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, иностранный язык, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли подряд?

№ 9*. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг — это сборники стихотворений, чтобы сборники стихотворений стояли рядом в случайном порядке?

Р₇₅ = 7! 5! = 1

№ 10. Найдите, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре в одном ряду места с 1 по 10. Сколькими способами они могут это сделать, если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных?

Р₁₀ = 10! =1 — расположения 5 мальчиков и 5 девочек в любом месте и в любом ряду.

Если мальчики будут сидеть на нечетных местах, а девочки — на четных, то таких способов будет равно: Р₅₅ = 5!5! = 1

Ответ: 3628800; 14400.

№ 1. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: = = = = 21(способ).

№ 2. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: = = = = 56 (способов).

№ 3. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

= = = = 210 (способов).

№ 4. На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если: 1) словарь ему нужен обязательно; 2) словарь ему не нужен?

Решение: из 3 книг, которые надо выбрать – нужны 1 словарь и 2 художественные = Р₁ = 1! = 1 (способ) 2 художественные из 11 художественных можно выбрать = = = = 55 (способов).

Тогда 1 словарь и 2 художественные книги можно выбрать

= = = = 55 (способов)

Если не нужен словарь, то

= = = = 165 (способов).

№ 5. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории необходимо выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

= = = = = 400400(способами)

№ 6. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?

= = = = 120(способов).

№ 7. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.

Сколько всего фотографий необходимо было для этого?

= = = 870 (фотографий).

№ 8. Сколько перестановок можно сделать из букв слова “Харьков”?

Решение: Р₇ – Р₆ = 7! – 6! = 6!(7-1) = 6! = 1

№ 9. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.

Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?

= = = = 3

№ 10. Сколькими разными способами собрание из 40 человек может выбрать из числа своих членов председателя собрания, его заместителя и секретаря?

= = = = 59280 (способов)

№ 11. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой?

Решение: = = = = 28 (прямых линий)

№ 12. Сколько разных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без их повторения?

Решение: = = = 2(разных пятизначных числа)

№ 13. Определите число всех диагоналей правильного: 1) пятиугольника; 2) восьмиугольника; 3) двенадцатиугольника; 4) пятнадцатиугольника.

Решение: общая формула вычисления диагоналей у n- угольника

= = = ;

n=5, то = 10 (диагоналей)
n=12, то = 66 (диагоналей)
n=8, то = 28 (диагоналей)
n=15, то = 105(диагоналей)

Ответ: 10; 66; 28; 105.

№ 14. Сколько разных трехцветных флагов можно сшить, комбинируя синий, красный и белый цвета?

Решение: Р₃ = 3! = 1 = 6 (флагов).

№ 15. Сколько разных плоскостей можно провести через 10 точек, если ни какие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?

Решение: = = = 360 (разных плоскостей)