Сколькими способами можно составить данный вектор используя буквы abcdef

Олимпиада по математике и статистике (1 тур)

Бинарная олимпиада по дисциплинам ЕН.01 «Математика» и ОП.02 «Статистика» для студентов специальностей экономического профиля, изучающих данные дисциплины.

Олимпиада проводится в 2 тура.

Задания 1 тура представлены в двух вариантах и состоят из 10 вопросов и задач.

• Задание 1 максимально оценивается в 5 баллов;
• Задания 2 — 7 – по 1 баллу;
• Задания 8 — 10 – по 2 балла.

Общее максимальное количество баллов за 1 тур – 17 баллов.

Во второй тур проходят 10 студентов, набравших наибольшее количество баллов по итогам проведения первого тура.

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.:Просвещение, 2014.
2. Алгебра : элементы статистики и теории вероятностей : учеб. пособие для учащихся 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. – 6-е изд. – М : Просвещение, 2008. – 78 с. : ил.
3. Статистика. Краткий курс лекций и тестовые задания : учебное пособие / Е.М. Мусина. – М. : ФОРУМ, 2009. – 72 с.

Просмотр содержимого документа
«Олимпиада по математике и статистике (1 тур)»

Олимпиада по математике и статистике

1. Сколько различных двузначных чисел с разными цифрами можно записать, используя цифры 6, 7, 8, 9?

2. Сколькими способами могут занять места 5 учащихся за пятью одноместными партами?

3. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

4. Покупатель из имеющихся в питомнике 10 саженцев хочет выбрать 2. Сколькими способами он может это сделать?

5. Вычислить:

Из колоды карт вынимается одна карта. Пусть событие А – изъятие из колоды карты с картинкой, В – изъятие карты червовой масти. Пояснить, в чем заключаются события: А+ В, АВ.

События А и В изображены с помощью кругов Эйлера. Большим кругом изображены все элементарные исходы испытания, с которыми связаны события А и В. С помощью штриховки проиллюстрировать событие, состоящее в том, что произошли оба события А и В.

Какова вероятность, что при изъятии одной карты из колоды в 36 карт игрок вынет короля пик?

а) 1/36 б) 1/18 в) 1/9 г) 2/9

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало число 2, а на второй – нечетное число.

а) 1/36 б) 1/12 в) 1/6 г) 1/18

Формулу средней геометрической величины целесообразно применять, если:

информация задана в виде произведений вариантов и частот (объемов явлений);

значения вариантов повторяются;

необходимо рассчитать средний темп роста;

значения вариантов не повторяются.

Найти размах, моду, медиану и среднее выборки -1, 12, -6, -7, 13, -2, 10, -2, -9.

Таблица частот характеризует наличие бракованных деталей в контрольной партии ящиков. Восстановите пропущенные значения, зная, что ящиков с двумя бракованными деталями вдвое больше, чем с тремя, а в среднем в каждом ящике по 1,85 бракованных деталей.

Источник

13. Перестановки с повторениями

При перестановке букв в слове «толпа» получается P5 = 5! = 120 «слов». Если же переставлять буквы в слове «топот», то получится меньше различных «слов», потому что ни перестановка двух букв «т», ни перестановка двух букв «о» не изменяют «слова»; всего перестановок в данном случае будет . Мы имеем здесь дело с перестановками с повторениями.

Общую задачу сформулируем следующим образом.

Имеется n элементов k различных типов: n1 элементов первого типа, n2 элементов второго типа, …, nk элементов k-го типа, . Сколько можно составить различных перестановок из этих элементов?

Число перестановок c повторениями обозначают . Сколько же их? Если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. В первой группе элементы (первого типа) можно переставлять друг с другом n1! способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то перестановки ничего не меняют. Точно также ничего не меняют n2! перестановок элементов во второй группе и т. д. Перестановки элементов в разных группах можно делать независимо друг от друга. Поэтому (из принципы умножения) элементы можно переставлять друг с другом способами так, что она остаётся неизменной.

Число различных перестановок с повторениями, которые можно составить из данных элементов, равно

, (11.1) где .

Замечание. Отметим, что формула числа сочетаний из n элементов по k элементов совпадает с формулой для числа перестановок с повторениями из k элементов одного типа и n–k элементов другого типа:

.

Пример 11.1. Сколькими способами можно нанизать на нить 4 зеленых, 5 синих и 6 красных бус?

Решение. Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно сделать из k1=4 элементов первого типа (зеленых бус), k2=5 элементов второго типа (синих бус) и k3=6 элементов третьего типа (красных бус). По формуле (6) получаем

.

Пример 11.2. У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала ребенку по одному фрукту. Сколькими способами она могла это сделать?

Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа перестановок с повторениями:

.

Пример 11.3. Сколько различных браслетов можно сделать из пять одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Камни можно переставлять P(5, 6, 7) способами. При циклических перестановках и при зеркальном отражении браслет остается неизменным. В результате получаем

.

Пример 11.4. Сколько способами можно переставлять буквы слова «огород» так, чтобы: а) три буквы «о» не стояли рядом? б) если запрещается, чтобы две буквы «о» стояли рядом?

Решение. а) Буквы данного слова можно переставлять P(3,1,1,1) способами. Если три буквы «о» стоят рядом, то их можно считать за одну букву. Тогда буквы можно переставлять 4! Способами. Вычитая этот результат из предыдущего, получим

.

Б) Сначала расставляем согласные (3! способов). Для трёх букв «о» остаётся 4 места, и их можно расставить способами. Всего получаем способа.

11.1. Сколькими способами можно расположить в ряд две зелёные и четыре красные лампочки?

Ответ: .

11.2. Десять человек надо разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

11.3. Сколькими способами можно упаковать девять различных книг в трёх бандеролях соответственно по два три, четыре книги в каждой бандероли?

Ответ: .

11.4. Группу командировочных из восьми человек требуется расселить в три комнаты, из которых две трёхместные и одна двухместная. Сколько вариантов расселения возможно?

Ответ: .

11.5. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в следующих исходных словах: а) академия, б) электротехника, в) молокопродукт?

Ответ: .

11.6. Сколькими способами можно разделить 12 предметов между тремя студентами, чтобы каждому досталось ровно по четыре предмета?

Ответ: .

11.7. Для премий на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти премии между 30 участниками олимпиады, если каждому вручается не более одной книги?

Ответ: .

11.8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «обороноспособность» так, чтобы две буквы «о» не шли подряд?

Ответ: .

11.9. Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

Ответ: Гласные можно переставлять P(2,1,1)=12 способами, Аналогично, P(2,1,1)=12 способами можно расставить согласные буквы. Если согласные уже расставлены, то для гласных останется 5 мест. Поэтому места для них можно выбрать способами. Всего способов.

Источник

Практическое занятие на тему «Основные комбинаторные конфигурации»

Практическое занятие (2ч.)

Тема: Основные комбинаторные конфигурации .

научить применять комбинаторные конфигурации при решении задач;

сформировать умение находить нужную комбинаторную формулу при решении задачи;

формирование самостоятельности студента на занятии.

Математика / приложение к газете «Первое сентября», №15, 2004 г.

Стойлова Л.П. Математика.-М.: Изд. Центр Академия, 1997.

Прикладная комбинаторная математика.

Вариативная самостоятельная работа.

Повторение основных формул необходимых при решении комбинаторных задач.

Размещения с повторениями.

Задача 1. Сколько различных четырехзначных чи­ сел можно составить из цифр 2, 6, 7, 8 и 9, если каждая цифра может входить в комбинацию несколько раз?

Решение. Здесь порядок цифр существенен (2678 или 6278 — это разные числа). Поэтому имеем дело с кортежем длины 4 (четырехзначное число), каждый элемент которого можно выбрать пятью способами (цифр дано пять). Поэтому число различных комби­ наций равно 4 5 = 1024.

Задача 2. На референдуме предложены четыре вопроса, на которые надо ответить «да» или «нет». Сколько есть возможностей заполнения бюллетеня (на все вопросы надо дать ответ)?

Решение. Получаем кортеж длины 4 (столько во­ просов в бюллетене), каждый элемент может быть вы­ бран двумя способами («да» или «нет»). Поэтому число различных возможностей равно 2 4 =16.

Задача 3 . Неудовлетворенные решением Париса Гера, Афина и Афродита обратились к трем мудре­ цам с просьбой назвать прекраснейшую из них. Каж­ дый из мудрецов высказал свое мнение. Сколько мог­ ло возникнуть вариантов ответа на поставленный во­ прос у этой тройки?

Решение. Здесь вновь кортеж длиной 3 (три муд­ реца), каждый элемент которого может быть выбран шестью способами. Поэтому число различных возмож­ ностей равно 6 3 = 216.

Задача 4 . У Лены есть восемь красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими спосо­ бами она может это сделать, если собирается каждую букву раскрашивать одним цветом?

Решение . Кортеж длиной 8 (восемь букв), каждый элемент может быть выбран восемью способами (во­ семь красок). Поэтому число способов равно 8 8 .

Задача 5. На железнодорожной станции имеется я семафоров. Сколько может быть дано различных сигналов при помощи этих семафоров, если каждый семафор имеет три состояния: горит либо зеленый, либо желтый, либо красный свет.

Решение. Имеем кортеж длины n (дано n семафо­ ров), каждый элемент которого можно выбрать тре­ мя способами (каждый семафор имеет три состояния). Поэтому различных сигналов можно дать 3 n .

Задачи для домашней работы

Сколько букв русского алфавита можно зако дировать, используя лишь комбинации точек и тире, содержащие только три знака?

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Задача 1. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из четырех чело­ век для участия в эстафете на 100 + 200 + 400 + 800 (м). Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Имеем кортежи длиной 4. Ни один эле­мент не может входить дважды (один бегун на один отрезок дистанции). Значит,

А 4 ₃₀ = =27·28·29·30 = 657 720.

Задача 2. Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника, используя буквы А, В, С, D , E и F ?

Решение. Имеем кортежи длиной 3 (у треугольни­ка три вершины). Ни один элемент не может входить дважды. Значит,

А 3 ₅₌

Задачи для домашней работы

Сколько всего различных пятизначных чисел, не содержащих нуля?

В классе изучают девять предметов. Скольки ми способами можно составить расписание на поне­ дельник, если в этот день должно быть шесть разных уроков?

Перестановка без повторений.

Задача 1. Сколькими способами можно перестав­ лять друг с другом цифры 1, 2, 3 и 4?

Задача 2. За столом пять мест. Сколькими спосо­ бами можно рассадить пятерых гостей?

Задача 3. У Лены есть восемь разных красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если каждая буква должна быть раскрашена одним цветом и все восемь букв должны быть разными по цвету?

Решение. Присвоим каждой краске номер от 1 до 8. Тогда каждый искомый способ задается перестанов­ кой восьми чисел 1, 2, . 8. Значит, таких переста­новок 8!. Поэтому она может написать «Новый Год» 8! = 40 320 способами.

Перестановка с повторениями.

Задача 1. У мамы два яблока и три груши. Каж­ дый день в течение пяти дней она дает сыну по одно­ му фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение. Р(2, 3) = 10.

Задача 2. Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в четыре одинаковых кон­ верта так, чтобы в каждом конверте было по семь открыток?

Решение. Пометим конверты цифрами 1, 2, 3 и 4. Тогда число различных раскладок равно

Р(7, 7, 7,7)=.

Сотрем пометки. Теперь конверты можно произволь­ но переставлять друг с другом, не меняя результата раскладки (теперь они неотличимы друг от друга). Так как число различных перестановок четырех кон­ вертов равно

Р ₄ = 4!, то число различных раскладок уменьшается в

Р ₄ = 4! раз и поэтому оно равно

Ответ:

Задачи для домашней работы

Сколько различных слов можно получить, пе реставляя буквы слова «ингредиент»?

Сколькими способами можно посадить за круг­ лый стол пять мужчин и пять женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Автомобильные номера состоят из четырех цифр и трех букв. Найдите число таких номеров, если ис­пользуются 32 буквы русского алфавита.

Ответы: 1 .226 800. 2 . 5! ∙ 5! = 14 400. 3. 10 3 ∙32 3 .

Сочетание с повторениями.

Задача 1. В кондитерском отделе продаются пи­ рожные четырех сортов: наполеоны, эклеры, песоч­ные и слоеные. Сколькими способами можно купить семь пирожных?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания с по­ вторениями из 4 (четыре вида пирожных) по 7 (столько пирожных покупают). Значит,

Ответ: 120 способов.

Задача 2. В почтовом отделении продают открыт­ ки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания с по­ вторениями из 10 по 12. Имеем

Сочетания без повторений.

Задача 1. Сколькими способами в игре «Спортло­ то» можно выбрать шесть номеров из 49?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания без повторения (одно число может быть по правилам игры выбрано не более одного раза) из 49 по 6.

Задача 2. У Робина — Бобина Барабека 40 соседей. Он решил пригласить двоих из них на обед. Сколько у него способов это сделать?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания без повторений.

Задача 3. Дама сдавала в багаж семь предметов, Все они оказались украденными, но два каких-либо (по ее выбору) ей согласились поискать. Сколько у нее есть возможностей выбрать два любимых предме­ та?

Задача 4. В прошлые века процветала генуэзская лотерея, сохранившаяся в некоторых странах и по­ныне. Участники этой лотереи покупали билеты, на которых стояло число от 1 до 90. Можно было ку­ пить и билеты, на которых было сразу 2, 3, 4 и 5 чисел. В день розыгрыша лотереи из мешка, содер­жащего жетоны с числами от 1 до 90, вынимали пять жетонов. Выигрывали те, у которых все номера на билетах были среди вынутых. Если участник лотереи покупал билет с одним из чисел, то он получал при выигрыше в 15 раз больше стоимости билета; если с двумя числами (амбо), то в 270 раз больше, если с тремя числами (терн) – в 5500 раз больше, если в четырьмя числами (катерн) – 75000 раз больше, а если с пятью числами (квин) – в 1000 000 раз больше, чем стоит билет. Каково отношение «счастливых» билетов при игре, когда участник купил билет с одним числом?

Решение. Общее число исходов находится из формулы сочетаний без повторений:

С 5 ₉₀ =

Если участник купил билет с одним номером, то для выигрыша необходимо, чтобы один из вынутых номеров совпал с номером на билете. Остальные 4 номера могут быть благоприятными. Но эти 4 номера выбираются из оставшихся 89 номеров. Поэтому число благоприятных комбинаций к общему числу комбинаций равно

Ответ:

Задачи для домашней работы

Сочетайте, каково отношение «счастливых» билетов при игре, когда участник купил билет с двумя числами.

Сколькими способами можно составить набор из восьми пирожных, если имеется четыре сорта пирожных?

В классе имеется шесть сильных математиков. Сколькими способами из них можно составить команду на районную олимпиаду по математике, если от класса можно послать команду из четырех человек?

Ответы: 1. . 2. 165. 3. 15.

Источник