Сколькими способами можно составить четырехцветный флаг с четырьмя

06. Размещения

Пусть имеется некоторое множество, содержащее n элементов. Выберем из этого множества k элементов без возвращения, но упорядочивая их по мере их выбора в последовательную цепочку. Такие цепочки называются размещениями.

Размещениями из n элементов по k элементов называются такие комбинации, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одного), либо порядком их расположения.

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть размещений по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Все приведённые размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или порядком их расположения.

Число размещений (читается: число размещений из n элементов по k элементов) можно найти из принципа умножения. Первый элемент размещения можно выбрать n способами. Как только такой выбор будет сделан, останется (n–1) возможностей, чтобы выбрать второй элемент; после этого останется (n–2) возможностей для выбора третьего элемента и т. д.; для выбора k-го элемента будет (n–k+1) возможностей. По принципу умножения находим

. (4.1)

Легко понять, что .

Пример 4.1. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 4 различных фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение. Для размещения фотографий следует отобрать 4 различных страницы из 12 имеющихся. Затем нужно отобранные страницы упорядочить, т. е. определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую – вторую и т. д. Полученная упорядоченная совокупность страниц является, согласно определению, размещением из 12 элементов по 4, а число таких размещений является искомым результатом:

.

Пример 4.2. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.

Решение. Поскольку в данной задаче важен порядок следования полос и все цвета во флаге должны быть разными, то исходная задача сводится к подсчету числа размещений из 5 по 3:

способов.

При условии, что одна полоса должна быть красной, получаем, что для выбора места для красной полосы существует 3 способа, а для оставшихся двух полос останется способов. Таким образом, трехцветный полосатый флаг из имеющихся 5 цветов при условии, что один цвет должен быть красным можно составить

способами.

Пример 4.3. Сколькими способами 10 человек можно поставить парами в ряд?

Решение. Первую пару можно выбрать способами, вторую – способами, и т. д. В результате получаем

способами.

4.1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Ответ: В этом случае надо число размещений из 25 элементов по 4. Здесь играет роль и то, кто будет выбран в руководство общества, и то, какие посты займут выбранные. Поэтому ответ дается формулой .

4.2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление различных видов деталей (по одному виду на каждого).

Ответ: .

4.3. Из 10 книг выбирают 4 для рассылки по разным адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: .

4.4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Ответ: .

4.5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в течение дня он может сдать не более одного экзамена?

Ответ: .

4.6. Сколькими способами можно преподнести 4 различных подарка 6 ученикам таким образом, чтобы каждый ученик получил не более одного подарка?

Ответ: .

4.7. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 9, если каждая цифра в обозначении числа встречается не более одного раза? (Учесть, что число не может начинаться с нуля.)

Ответ: .

Источник

1.2. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными свойствами.

В решении комбинаторных задач применяются основные перечислительные правила: правило умножения и правило сложения.

Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим (последовательно) k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе n₂ способами, и так далее до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий можно выполнить n₁ ∙ n₂ ∙… ∙ n_k способами.

Правило сложения. Если элемент А может быть выбран m способами, а элемент В – n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Пример 1. В группе 28 человек. Необходимо выбрать старосту и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Старостой может быть выбран любой из 28 студентов, т. е. существует 28 способов выбора старосты. Профоргом можно выбрать любого из оставшихся 27 студентов, так как один уже выбран старостой. Тогда общее число способов выбора старосты и профорга равно

Пример 2. Имеется 16 изделий 1-го сорта и 25 изделий 2-го сорта. Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколько способов выбора двух изделий возможно в данной ситуации?

Решение. По правилу умножения два изделия 1-го сорта можно выбрать способами. Аналогично, два изделия 2-го сорта можно выбратьспособами. Поэтому общее число способов выбора изделий или 1-го, или 2-го сорта равно.

Существуют две схемы выбора m элементов из заданного множества: без возвращения и с возвращением.

Схемы выбора без возвращения предполагают, что выбранные элементы не возвращаются в исходное множество.

Размещениями из n элементов по m (0 ≤ m ≤ n) называются соединения по m элементов, которые отличаются друг от друга либо хотя бы одним элементом, либо порядком их расположения.

Число размещений обозначается символом и вычисляется по формуле:

Замечание: символ (читается «эн факториал») обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 доn включительно:

.

Пример 3. Студенту необходимо сдать четыре экзамена на протяжении восьми дней. Сколькими способами это можно сделать, если деканатом запрещено сдавать более одного экзамена в день?

Решение. Искомое число способов равно

В частном случае, когда выбираются все элементы, т. е. m = n, размещения называются перестановками.

Перестановками из n элементов называются соединения, содержащие все n элементов и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов.

Число перестановок обозначается символом и вычисляется по формуле:

Пример 4. Сколькими способами можно составить четырехцветный флаг из горизонтальных полос, имея четыре различных цвета?

Решение. В данном случае различные флаги отличаются друг от друга лишь порядком цветов. Число возможных флагов равно

Сочетаниями из n элементов по m называются соединения по m элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается иопределяется по формуле:

.

Для чисел называемых также биномиальными коэффициентами, справедливы следующие тождества:

(свойство симметрии);

(рекуррентное соотношение);

;

(следствие бинома Ньютона).

Источник

Сколькими способами можно составить четырехцветный полосатый флаг?

Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг
Помогите пожалуйста решить зачачи. 1. Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый.

Сколькими способами можно составить k-цветный полосатый флаг?
Помогите пожалуйста. 4.Сколькими способами можно составить k-цветный полосатый флаг с заданным.

Сколькими способами можно сшить трехцветный флаг, если есть ткани 5 различных цветов?
Сколькими способами можно сшить трехцветный флаг, если есть ткани 5 различных цветов?

Сколькими способами можно сделать флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если есть материя 6 разных цветов,
Сколькими способами можно сделать флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если есть.

Сколькими способами можно составить букет?
4)есть 8 разных цветов. Сколькими способами из них можно составить букет, который содержит непарное.

Сколькими способами можно составить делегацию?
В организации работают 2 юриста, 5 экономистов и 6 специалистов по пиротехнике. На конференцию.

Сколькими способами можно составить расписание
В третьем классе изучается 10 предметов. В понедельник 4 урока. Сколькими способами можно составить.

Источник

Сколькими способами можно составить четырёхцветный флаг с четырьмя горизонтальными полосами из семи цветов радуги?

Математика | 5 — 9 классы

Сколькими способами можно составить четырёхцветный флаг с четырьмя горизонтальными полосами из семи цветов радуги.

1) Цвет для верхней полосы можно выбрать пятью разными способами.

После этого для средней полосы флага остается четыре возможных цвета, а затем для нижней полосы флага – три различных цвета.

Таким образом, флаг можно сделать 5 * 4 * 3 = 60 способов.

2)Допустим, верхняя полоса — красного цвета, тогда для средней полосы – 5 возможных цветов, для нижней – 4.

Таким образом 1 * 5 * 4 = 20 способов.

Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов?

Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов.

Сколько могло бы быть различных государственных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой ширины и разного цвета — белого, красного и синего?

Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из трех горизонтальных полос, если имеется материал 5 разных цветов?

Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из трех горизонтальных полос, если имеется материал 5 разных цветов?

Сколько вариантов различных флагов из трех горизонтальных полос разного цвета можно составить, если есть полосы пяти разных цветов?

Сколько вариантов различных флагов из трех горизонтальных полос разного цвета можно составить, если есть полосы пяти разных цветов?

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины если имеется материя десяти различных цветов?

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины если имеется материя десяти различных цветов.

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя десяти различных цветов?

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя десяти различных цветов?

Сколькими способами можно составить флаг состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов если имеется материя шести цветов?

Сколькими способами можно составить флаг состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов если имеется материя шести цветов.

Решите задачу пожалуйстаСколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг( три горизонтальные полосы) если имеется материя 5 различных цветов?

Решите задачу пожалуйста

Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг( три горизонтальные полосы) если имеется материя 5 различных цветов.

Сколько вариантов различных флагов из трех горизонтальных полос разного цвета можно составить, если есть полосы 4 разных цветов?

Сколько вариантов различных флагов из трех горизонтальных полос разного цвета можно составить, если есть полосы 4 разных цветов?

Скользкими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 — ми различных цветов?

Скользкими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 — ми различных цветов.

Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов?

Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов.

Сколько могло бы быть различных государственных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой ширины и разного цвета — белого, красного и синего?

На этой странице находится вопрос Сколькими способами можно составить четырёхцветный флаг с четырьмя горизонтальными полосами из семи цветов радуги?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Источник