Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг если имеется материя шести различных цветов

Содержание

06. Размещения
Комбинаторика 3
Комбинаторика 3
Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг если имеется материя шести различных цветов

06. Размещения

Пусть имеется некоторое множество, содержащее n элементов. Выберем из этого множества k элементов без возвращения, но упорядочивая их по мере их выбора в последовательную цепочку. Такие цепочки называются размещениями.

Размещениями из n элементов по k элементов называются такие комбинации, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одного), либо порядком их расположения.

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть размещений по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb. Все приведённые размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или порядком их расположения.

Число размещений (читается: число размещений из n элементов по k элементов) можно найти из принципа умножения. Первый элемент размещения можно выбрать n способами. Как только такой выбор будет сделан, останется (n–1) возможностей, чтобы выбрать второй элемент; после этого останется (n–2) возможностей для выбора третьего элемента и т. д.; для выбора k-го элемента будет (n–k+1) возможностей. По принципу умножения находим

. (4.1)

Легко понять, что .

Пример 4.1. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить 4 различных фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение. Для размещения фотографий следует отобрать 4 различных страницы из 12 имеющихся. Затем нужно отобранные страницы упорядочить, т. е. определить, на какую страницу поместить первую фотографию, на какую – вторую и т. д. Полученная упорядоченная совокупность страниц является, согласно определению, размещением из 12 элементов по 4, а число таких размещений является искомым результатом:

Пример 4.2. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите эту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.

Решение. Поскольку в данной задаче важен порядок следования полос и все цвета во флаге должны быть разными, то исходная задача сводится к подсчету числа размещений из 5 по 3:

способов.

При условии, что одна полоса должна быть красной, получаем, что для выбора места для красной полосы существует 3 способа, а для оставшихся двух полос останется способов. Таким образом, трехцветный полосатый флаг из имеющихся 5 цветов при условии, что один цвет должен быть красным можно составить

способами.

Пример 4.3. Сколькими способами 10 человек можно поставить парами в ряд?

Решение. Первую пару можно выбрать способами, вторую – способами, и т. д. В результате получаем

способами.

4.1. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Ответ: В этом случае надо число размещений из 25 элементов по 4. Здесь играет роль и то, кто будет выбран в руководство общества, и то, какие посты займут выбранные. Поэтому ответ дается формулой .

4.2. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление различных видов деталей (по одному виду на каждого).

Ответ: .

4.3. Из 10 книг выбирают 4 для рассылки по разным адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: .

4.4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Ответ: .

4.5. Студенту необходимо сдать 5 экзаменов в течение 12 дней. Сколькими способами можно составить расписание экзаменов, если в течение дня он может сдать не более одного экзамена?

Ответ: .

4.6. Сколькими способами можно преподнести 4 различных подарка 6 ученикам таким образом, чтобы каждый ученик получил не более одного подарка?

Ответ: .

4.7. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, …, 9, если каждая цифра в обозначении числа встречается не более одного раза? (Учесть, что число не может начинаться с нуля.)

Ответ: .

Источник

Комбинаторика 3

Решение многих комбинаторных задач сводится к умножению друг на друга числа возможных вариантов независимого выбора. Вы наверняка обратили на это внимание — таковы были, например, задачи 19 и 20 из листка «Комбинаторика 1». Рассмотрим другие примеры.

1. Сколькими способами можно купить пиджак и брюки, если в магазине есть 7 видов пиджаков и 5 видов брюк?

Допустим, что пиджак уже куплен. Тогда в пару к нему можно выбрать любые из 5 брюк. Таким образом, существует 5 наборов пиджак—брюки, содержащих выбранный пиджак. Поскольку пиджаков всего 7, то имеется 7·5 = 35 различных наборов из пиджака и брюк, т.е. покупку можно сделать 35 способами.

2. В магазин привезли еще 4 вида галстуков. Сколькими способами можно теперь купить комплект из пиджака, брюк и галстука?

Допустим, что пара пиджак—брюки уже выбрана. К ней можно купить галстук 4 способами. Поскольку пар пиджак—брюки всего 35, имеется 35·4 = 140 способов купить пиджак, брюки и галстук. Заметим, что искомое число способов получается прямым перемножением вариантов: 140 = 7·5·4.

В некоторых задачах выбор не является независимым: осуществление выбора ограничивает число возможных вариантов на следующем этапе. Вот пример.

3. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из трех горизонтальных полос, если имеется материя 5 различных цветов?

Для верхней полосы флага существует 5 способов выбора цвета. Когда цвет верхней полосы выбран, для средней полосы остается 4 возможных цвета. После выбора цвета верхней и средней полос цвет нижней полосы можно выбрать 3 способами. Итого получается 5·4·3 = 60 способов составить флаг.

В буфете продаются 4 вида булочек и 5 видов пирожных. Сколькими способами можно купить булочку и пирожное?
У Кати есть 6 ручек, 3 карандаша и 4 тетради. Сколькими способами Катя может взять с собой в школу ручку, карандаш и тетрадь?
Сколько различных пар, состоящих из гласной и согласной букв, можно выбрать из слова «комбинаторика»?
В языке аборигенов далекого острова 10 прилагательных, 20 существительных и 15 глаголов. Предложением называется всякое сочетание либо существительного и глагола, либо прилагательного, существительного и глагола. Сколько всего предложений имеется в этом языке?
Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4?
Монету подбрасывают пять раз. Сколько различных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
Каждую грань кубика можно покрасить в белый, красный или черный цвет. Сколько существует вариантов раскраски кубика?
Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых нечетны?
Сколько существует а) семизначных чисел; б) четных трехзначных чисел?
В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?
Король решил выдать замуж трех своих дочерей. Со всех концов света явились во дворец сто юношей. Сколькими способами дочери короля могут выбрать себе женихов?
Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6, используя каждую из цифр ровно по одному разу?
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, используя каждую из цифр ровно по одному разу?
Сколько анаграмм имеют слова «цифра», «листок»?
В некоторой гимназии, в некотором классе в понедельник семь уроков: математика, латынь, греческий, литература, история, английский и физкультура. Сколько вариантов расписания в этом классе можно составить на понедельник?

Источник

Комбинаторика 3

1. Сколькими способами можно купить пиджак и брюки, если в магазине есть 7 видов пиджаков и 5 видов брюк?

В буфете продаются 4 вида булочек и 5 видов пирожных. Сколькими способами можно купить булочку и пирожное?
У Кати есть 6 ручек, 3 карандаша и 4 тетради. Сколькими способами Катя может взять с собой в школу ручку, карандаш и тетрадь?
Сколько различных пар, состоящих из гласной и согласной букв, можно выбрать из слова «комбинаторика»?
В языке аборигенов далекого острова 10 прилагательных, 20 существительных и 15 глаголов. Предложением называется всякое сочетание либо существительного и глагола, либо прилагательного, существительного и глагола. Сколько всего предложений имеется в этом языке?
Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4?
Монету подбрасывают пять раз. Сколько различных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
Каждую грань кубика можно покрасить в белый, красный или черный цвет. Сколько существует вариантов раскраски кубика?
Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых нечетны?
Сколько существует а) семизначных чисел; б) четных трехзначных чисел?
В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?
Король решил выдать замуж трех своих дочерей. Со всех концов света явились во дворец сто юношей. Сколькими способами дочери короля могут выбрать себе женихов?
Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6, используя каждую из цифр ровно по одному разу?
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, используя каждую из цифр ровно по одному разу?
Сколько анаграмм имеют слова «цифра», «листок»?
В некоторой гимназии, в некотором классе в понедельник семь уроков: математика, латынь, греческий, литература, история, английский и физкультура. Сколько вариантов расписания в этом классе можно составить на понедельник?

Источник

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг если имеется материя шести различных цветов

Задача 1:

В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Решение:

Выберем чашку. В комплект к ней можно выбрать любое из трех блюдец. Поэтому есть 3 разных комплекта, содержащих выбранную чашку. Поскольку чашек всего 5, то число различных комплектов равно 15 (15 = 5 3).

Задача 2:

В магазине «Все для чая» есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?

Решение:

Выберем любой из 15 комплектов предыдущей задачи. Его можно дополнить ложкой четырьмя различными способами. Поэтому общее число возможных комплектов равно 60 (60 = 15 4 = 5 3 4).

Задача 3:

В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Решение:

Задача 4:

В Стране Чудес есть четыре города: А, Б и В и Г. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги, Из города А в город Г – две дороги, и из города Г в город В – тоже две дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Решение:

Выделим два случая: путь проходит через город Б или через город Г. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных маршрутов: в первом – 24, во втором – 6. Складывая, получаем общее количество маршрутов: 30.

Задача 5:

В магазине «Все для чая» по-прежнему продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

Решение:

Возможны три разных случая: первый – покупаются чашка с блюдцем, второй – чашка с ложкой, третий – блюдце и ложка. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных вариантов (в первом – 15, во втором – 20, в третьем – 12). Складывая, получаем общее число возможных вариантов: 47.

Задача 6:

Назовем натуральное число «симпатичным» , если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «симпатичных» чисел?

Решение:

Понятно, что однозначных «симпатичных» чисел ровно 5. К каждому однозначному «симпатичному» числу вторая нечетная цифра может быть дописана пятью различными способами. Таким образом, двузначных «симпатичных» чисел всего 5 5 = 25. Аналогично, трехзначных «симпатичных» чисел 5 5 5 = 125, и четырехзначных – 5 5 5 5 = 54 = 625.

Задача 7:

Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

Решение:

Задача 8:

Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Решение:

Задача 9:

Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее «Спорт-про-г-ноз»? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет).

Решение:

Задача 10:

Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов.

Решение:

Ответ: 3 + 3² + 3³ + 3 4 = 120.

Задача 11:

В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Капитаном может стать любой из 11 футболистов. После выбора капитана на роль его заместителя могут претендовать 10 оставшихся человек. Таким образом, всего есть 11 10 = 110 разных вариантов выборов.

Задача 12:

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

Решение:

Цвет для верхней полоски флага можно выбрать шестью разными способами. После этого для средней полоски флага остается пять возможных цветов, а затем для нижней полоски флага – четыре различных цвета. Таким образом, флаг можно сделать 6 5 4 = 120 способами.

Задача 13:

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Решение:

Белую ладью можно поставить на любую из 64 клеток. Независимо от своего расположения она бьет 15 полей (включая поле, на котором она стоит). Поэтому остается 49 полей, на которые можно поставить черную ладью. Таким образом, всего есть 64 49 = 3136 разных способов.

Задача 14:

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

Решение:

Белого короля можно поставить на любое из 64 полей. Однако количество полей, которые он при этом будет бить, зависит от его расположения. Поэтому необходимо разобрать три случая:

а) если белый король стоит в углу (углов всего 4), то он бьет 4 поля (включая то, на котором стоит), и остается 60 полей, на которые можно поставить черного короля;

б) если белый король стоит на краю доски, но не в углу (таких полей – 24), то он бьет 6 полей, и для черного короля остается 58 возможных полей;

в) если же белый король стоит не на краю доски (таких полей – 36), то он бьет 9 полей, и для черного короля остается 55 возможных полей.

Таким образом, всего есть 4 60 + 24 58 + 36 55 = 3612 способов расстановки королей.

Задача 15:

Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?

Решение:

Будем рассуждать точно так же, как при решении задач предыдущего цикла. На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе – любую из двух оставшихся, а на третье – последнюю оставшуюся цифру. Таким образом, всего получается 3 2 1 = 3! чисел.

Задача 16:

Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение:

На первое место можно положить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 4 3 2 1 = 4!.

Задача 17: Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов сожно составить из слов

Решение:

а) Так как все буквы слова различны, то всего можно получить 6! слов.

б) В этом слове две буквы И, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы И, обозначив их через И ₁ и И ₂ . При этом предположении получится 5! = 120 разных слов. Однако те слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв И ₁ и И ₂ , на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего 120:2 = 60.

в) Считая три буквы А этого слова различными (А ₁ , А ₂ , А ₃ ), получим 8! разных слов. Однако слова, отличающиеся лишь перестановкой букв А, на самом деле одинаковы. Поскольку буквы А ₁ , А ₂ , А ₃ можно переставлять 3! способами, все 8! слов разбиваются на группы по 3! одинаковых. Поэтому разных слов всего 8!/3!.

г) В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествляя слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С, получаем 11!/2! различных слов. Отождествляя теперь слова, отличающиеся перестановкой букв С, получаем окончательный результат 11!/(2! 3!).

д) Ответ: 10!/(3! 2! 2!).

Задача 22:

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Решение:

Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 19 = 380. Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.

Задача 23:

Сколько диагоналей в выпуклом n-угольнике?

Решение:

Задача 24:

Бусы – это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать, но не переворачивать. Сколько различных бус можно сделать из 13 разноцветных бусин?

Решение:

Задача 25:

Предположим теперь, что бусы можно и переворачивать. Сколько тогда различных бус можно сделать из 13 разноцветных бусин?

Решение:

Задача 26:

Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Решение:

Вместо того, чтобы подсчитывать количество требуемых 6-значных чисел, определим количество 6-значных чисел, не обладающих нужным свойством. Так как это в точности те числа, в записи которых встречаются только нечетные цифры, то их количество, очевидно, равно 5 6 = 15625. Всего 6-значных чисел 900000. Поэтому количество 6-значных чисел, обладающих указанным свойством, равно 900000 – 15625 = 884375.

Задача 27:

В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?

Решение:

Задача 28:

В киоске «Союзпечать» продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

Решение:

Задача 29:

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «КРУЖОК»?

Решение:

Задача 30:

На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Ответ: 7 5 2 = 70

Задача 31:

У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?

Решение:

Ответ: 20 20 + 10 10 = 500

Задача 32:

Сколько существует 6-значных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?

Решение:

Ответ: 5 6 + 4 5 5

Задача 33:

Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

Решение:

Задача 34:

Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?

Решение:

Ответ: 13 12 11 10

Задача 35:

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?

Решение:

Ответ: 5 + 5 4 + 5 4 3 + 5 4 3 2 + 5 4 3 2 1 = 325

Задача 36:

Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

Решение:

Задача 37:

На танцплощадке собрались N юношей и N девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Решение:

Задача 38:

Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

Решение:

Ответ: 18 17/2 = 153

Задача 39:

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга а) две ладьи; б) двух королей; в) двух слонов; г) двух коней; д) двух ферзей?

Решение:

Ответ: a) 64 49/2 = 1568 б) (4 60 + 24 58 + 36 55)/2 = 1806 в) (28 56 + 20 54 + 12 52 + 4 50)/2 = 1736 г) (4 61 + 8 60 + 20 59 + 16 57 + 16 55)/2 = 1848 д) (28 42 + 20 40 + 12 38 + 4 36)/2 = 1288

Задача 40:

У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение:

Задача 41:

Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

Решение:

Задача 42:

Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали шахматной доски комплект белых фигур (король, ферзь, две ладьи, два слона и два коня)?

Решение:

Задача 43:

Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трех букв Б?

Решение:

Ответ: 1 + 6!/5!1! + 7!/5!2! + 8!/5!3! = 84

Задача 44:

Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеется хотя бы две одинакоые цифры?

Решение: 9 10 9 – 9 9!

Задача 45:

Каких 7-значных чисел больше: тех, в записи которых есть 1, или остальных?

Решение:

8 9 6 6 – 8 9 6 , и потому чисел с единицей больше.

Задача 46:

Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их?

Решение:

Задача 47:

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары?

Решение:

Ответ: 13 11 9 7 5 3 1

Задача 48:

Сколько существует 9-значных чисел, сумма цифр которых четна?

Источник