Сколькими способами можно разрезать квадрат изображенный

Три в одном

Задача

Сколькими способами можно разрезать квадрат на три прямоугольника, каждый из которых подобен двум другим? Напомним, что два прямоугольника подобны, если стороны первого относятся друг к другу так же, как стороны второго. Способы, отличающиеся лишь поворотом или отражением квадрата, считаются за один.

Подсказка

Три прямоугольника — это немного, поэтому можно перебрать случаи расположения их в квадрате и проверить, могут ли в каждом из случаев прямоугольники быть подобными.

Решение

Если немного порисовать разбиения квадрата на три прямоугольника, чтобы понять, как они вообще могут в нем располагаться, то довольно быстро можно прийти к тому, что есть всего два разных случая (с точностью до поворотов квадрата). Действительно, к верхней стороне квадрата могут примыкать три, два или один прямоугольник. Если их три, то получается конфигурация, показанная на рис. 1 слева. Если два, то — конфигурация, показанная на этом рисунке справа. Если же к верхней стороне примыкает только один прямоугольник, то два других располагаются под ним, а их общая сторона либо горизонтальна (и тогда это то же самое, что первая конфигурация), либо вертикальна (тогда это то же самое, что вторая конфигурация).

Про первую конфигурацию сразу ясно, что все три прямоугольника равны друг другу: по условию они должны быть подобны, но из расположения получается, что равны их большие стороны.

Разберемся со второй конфигурацией. Будем считать ориентацией прямоугольника направление его более длинной стороны (ясно, что у нас тут фигурируют только вытянутые прямоугольники, у которых одна сторона длиннее другой). Как могут быть ориентированы два верхних прямоугольника?

Они не могут быть оба вертикальными (как на рис. 1), потому что тогда они будут равны (большие стороны совпадают), и поэтому отношение большей стороны к меньшей у них меньше 2 (так как меньшая сторона равна половине стороны квадрата, а большая не больше целой стороны квадрата). А у нижнего прямоугольника это отношение будет больше 2. Значит, он не может быть подобным верхним.

Они могут быть оба горизонтальными (рис. 2, слева). Тогда два верхних прямоугольника опять равны и несложно посчитать, что для того, чтобы все три прямоугольника были подобными, нужно, чтобы стороны каждого относились друг к другу как 3:2.

Наконец, может ли быть так, что один из верхних прямоугольников горизонтальный, а второй — вертикальный? Проверим. Эта ситуация изображена на рисунке 2 справа. Введем обозначения, как этом рисунке. Учитывая подобие прямоугольников, находим:

\[ BE = \dfrac1y,\ AD = xy. \]

Поскольку стороны квадрата равны, получаем равенства:

\[ y+\dfrac1y = 1+x = xy.\]

Правое равенство позволяет выразить y:

после чего из левого равенства получается уравнение

Его можно переписать в виде

У этого кубического уравнения один действительный корень \(\rho\approx1<,>3247\ldots\), так что такой случай реализуется. Итого, есть три способа разрезать квадрат на подобные прямоугольники.

Послесловие

Поскольку для кубических уравнений известны формулы, дающие точные решения, то можно быть уверенным, что корень есть и он один. В радикалах это число записывается так:

Также его можно записать и в виде бесконечной последовательности вложенных друг в друга радикалов:

Интересно, что у этого числа есть свое «имя»: голландский архитектор (и по совместительству монах) Ганс ван дер Лаан (Hans van der Laan) назвал его пластичным числом (plastic number). Ван дер Лаан создал не очень много зданий и в основном это были церкви, но его теоретические работы имели определенный вес. В частности, он разработал теорию гармоничных соотношений между элементами здания, в которой пластическое число играло центральную роль.

Рис. 3. Здания, спроектированные Гансом ван дер Лааном. Слева: бенедектинский монастырь в Тумелилла, Швеция. Справа: интерьер аббатства в Маастрихте, Нидерланды. Фото с сайта divisare.com

Такое название по его задумке отражало то, что этому числу можно придать геометрические «формы». С одним примером такой формы мы познакомились в задаче. Другой пример возникает так. Допустим, что имеется неограниченный запас коробок (прямоугольных параллелепипедов) разных размеров с целыми длинами сторон. Начнем с коробки 1×1×1, приставим к ней сбоку еще одну такую коробку — получится коробка 2×1×1. Приставим к ней спереди такую же, чтобы получилась коробка 2×2×1. Приставим к ней снизу коробку 2×2×2, чтобы получилась коробка 2×2×3. Далее нужно продолжать так: приставлять новые коробки поочередно сбоку, спереди, снизу, а размер их выбирать так, чтобы два измерения (это размеры грани, к которой приставляется очередная коробка) совпадали с измерениями текущей коробки, а третье измерение было таким, каким получилось изменившееся измерение за два «хода» до этого. Первые шаги показаны на рисунке 4. Например, пятым «ходом» справа приставляется коробка 2×2×3 и ее «длина» (измерение вдоль стрелочек на этом рисунке) равна 2, потому что за два хода до этого у коробки получилась «ширина», равная 2 (это правая коробка в верхнем ряду).

Рис. 4. Построение «пластической» коробки. Рисунок из статьи V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan’s Plastic Number in the Plane

Если продолжать этот процесс, то размеры коробок будут, естественно, увеличиваться. Но вот отношения их сторон («соседних» по длине, как показано на рис. 4) будут стремиться к конечному пределу, которым и является пластическое число.

Идея обоснования следующая. Заметим, что размеры коробок — это тройки стоящих рядом чисел из последовательности 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, . Если обозначить n-й член этой последовательности P_n, то при n > 3 выполняется равенство P_n = P_n−2 + P_n−3. Точнее, это линейное рекуррентное соотношение и задает эту последовательность, которая называется последовательностью Падована (Padovan sequence). Оказывается, можно выразить общий член рекуррентной последовательности через корни ее характеристического многочлена. По указанным ссылкам можно подробнее ознакомиться с этой темой, сейчас важно лишь, что для данной последовательности характеристический многочлен такой: \(x^3-x-1\), а его действительный корень, как мы знаем, — пластическое число ρ. Поэтому, кстати, последовательность степеней этого числа 1, ρ, ρ 2 , ρ 3 , . удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению (из этого наблюдения на самом деле и проистекает метод выражения члена последовательности через корни многочлена). У этого многочлена есть и два комплексных корня. Если их обозначить через q и s, то при некоторых константах a, b, c равенство P_n = aρ n + bq n + cs n будет верно при всех натуральных n. Но поскольку комплексные корни q и s по модулю меньше 1, их степени стремятся к нулю с ростом n.

В этом смысле пластическое число для последовательности Падована — это то же самое, что другое (и куда более известное) «архитектурное» число — золотое сечение — для последовательности Фибоначчи (а серебряное сечение — для чисел Пелля).

Еще о свойствах пластического числа можно почитать в статье V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan’s Plastic Number in the Plane.

Источник

Разрезания
статья по алгебре по теме

Разрезания

Исходная задача. Сколькими способами можно вырезать из квадрата 9´9 квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3? (Способы вырезания, получаемые друг из друга симметрией или поворотом, будем считать различными.)

Общая постановка задачи.

1. Для каких натуральных чисел п из квадрата п´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?

2. Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?

3. Рассмотрите обобщения этой задачи в следующих двух направлениях:

а) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат р´р (р – заданное натуральное число) так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2´3?

б) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т´п можно вырезать квадрат 3´3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники s´t, где s и t – заданные натуральные числа? (Рассмотрите хотя бы некоторые случаи значений s и t.)

4. Аналогично исходной задаче во всех пунктах 1 – 3 попробуйте указать или хотя бы оценить количество способов соответствующих вырезаний.

5. Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.

Скачать:

Вложение	Размер
m-4.doc	95 КБ

Предварительный просмотр:

Исходная задача . Сколькими способами можно вырезать из квадрата 9 × 9 квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3? (Способы вырезания, получаемые друг из друга симметрией или поворотом, будем считать различными.)

Общая постановка задачи .

1. Для каких натуральных чисел п из квадрата п × п можно вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3?

2. Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т × п можно вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3?

3. Рассмотрите обобщения этой задачи в следующих двух направлениях:

а) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т × п можно вырезать квадрат р × р ( р – заданное натуральное число) так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3?

б) Для каких натуральных чисел т и п из прямоугольника т × п можно вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники s × t , где s и t – заданные натуральные числа? (Рассмотрите хотя бы некоторые случаи значений s и t. )

4. Аналогично исходной задаче во всех пунктах 1 – 3 попробуйте указать или хотя бы оценить количество способов соответствующих вырезаний.

5. Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.

Исходная задача. Рассмотрим все возможные клетки квадрата 9 × 9, в которых может находиться левая верхняя (угловая) клетка вырезанного квадрата 3 × 3. Очевидно, что эта угловая клетка не может находиться в восьмом или девятом столбце, а также в восьмой или девятой строке, так как тогда вырезанный квадрат 3 × 3 выйдет за пределы большого квадрата. Значит позиций для этой клетки не более чем 7 × 7=49 клеток большого квадрата. Но не все они подходят. Для того, чтобы более точно оценить количество решений, раскрасим клетки фигуры в черный и белый цвета в шахматном порядке как показано на рисунке. Также на рисунке серым отмечены клетки восьмого и девятого столбца, восьмой и девятой строки, где точно не может находиться левый верхний угол квадрата 3 × 3.

Легко заметить, что черных клеток 41, белых 40, то есть их разное количество. А любой прямоугольник 2 × 3 занимает ровно 3 белых и 3 черных клетки. Значит, в вырезанном квадрате 3 × 3 количество черных клеток должно быть на одну больше, чем белых, чтобы в оставшейся части белых и черных клеток было поровну и её можно было разделить на прямоугольники 2 × 3. Таким образом, из 49 возможных клеток остается 25 черных. Но и они не все подходят.

Очевидно, что если квадрат 3 × 3 при вырезании оставляет полосу шириной в одну клетку, то разрезать её на прямоугольники 2 × 3 невозможно. Значит, таких полос быть не должно и из 25 черных клеток выпадают еще 8, помеченных на рисунке крестиком. Они расположены по периметру квадрата 7 × 7, получаемого удалением из исходного восьмого и девятого столбца, восьмой и девятой строки, и на расстоянии 1 клетки от его стороны.

Окончательно получаем 25 – 8 = 17 способов вырезать из квадрата 9 × 9 квадрат 3 × 3. В каждом из этих случаев нетрудно убедиться, что оставшуюся часть можно разрезать на прямоугольники 2 × 3. Для этого из тех трех строк, в котором вырезали квадрат 3 × 3, вырежем три прямоугольника, расположенных вертикально. Остальные строки разбиваются на пары строк, состоящих из трех горизонтально расположенных прямоугольников. Итак, ответом является 17 способов.

1. Площадь нужного квадрата равна п 2 . Чтобы фигуру, полученную после вырезания квадрата 3 × 3, можно было замостить прямоугольниками 2 × 3, её площадь должна делиться на 6, т.е. п 2 – 9 кратно 6. Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и на 3 одновременно. Следовательно, п 2 должен делиться на 3 и быть нечетным. Значит, п кратное 3 нечетное число. Это числа вида n = 6 d – 3, где d любое натуральное число. Они образуют арифметическую прогрессию с разностью 6.

Заметим, что для указанного выше n , если квадрат 3 × 3 вырезать из квадрата п × п так, что их левые верхние углы совпадают, то оставшуюся часть нетрудно разрезать на прямоугольники 2 × 3. Первые три строки содержат теперь по 6 d – 6 клеток, то есть могут быть разрезаны на 3 d – 3 вертикальных прямоугольника. Оставшиеся 6 d – 6 строк разобьем на пары рядом расположенных строк по 6 d – 3 клеток. А каждую такую пару строк, очевидно, можно разрезать на 2 d – 1 горизонтально расположенных прямоугольников.

Таким образом, для п = 6 d – 3 из квадрата п × п можно вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3.

1. Аналогично с пунктом 1, m × n нечетное число, которое делится на 3. То есть, m и n нечетные числа и хотя бы одно из них делится на 3. Заметим также, что эти числа должны быть не меньше 3. Получаем формулы: m = 2 x + 1, n = 6 y – 3 или n = 2 x + 1, m = 6 y – 3. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Как и в пункте 1 будем вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы его верхний левый угол совпал с верхним левым углом всего прямоугольника. Пусть для начала у прямоугольника m = 2 x + 1 строк и n = 6 y – 3 столбцов. Тогда, как и выше, первые три строки содержат теперь по 6 y – 6 клеток, то есть могут быть разрезаны на 3 y – 3 вертикальных прямоугольника. Оставшиеся 2 x – 2 строки можно разбить на пары рядом расположенных строк по 6 x – 3 клеток. А каждую такую пару строк, очевидно, можно разрезать на 2 x – 1 горизонтально расположенных прямоугольников. Случай m = 6 y – 3 строк и n = 2 x + 1 столбцов рассматривается аналогично. Только первые три столбца разрезаются на 3 y – 3 горизонтальных прямоугольника, а оставшиеся x – 1 пара рядом расположенных столбцов разрезается каждая на 2 x – 1 вертикальных прямоугольников.

Таким образом, если m = 2 x + 1, n = 6 y – 3 или n = 2 x + 1, m = 6 y – 3, где x и y произвольные натуральные числа, то из прямоугольника т × п можно вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3.

1. а) Рассуждая аналогично пунктам 1 и 2, получаем, что m × n – p 2 кратно 6. При этом m и n не меньше p и не могут, очевидно, равняться p + 1. Рассмотрим, какие остатки может давать число p при делении на 6.

Пусть p делится на 6. Тогда среди чисел m и n по крайней мере одно четное и по крайней мере одно делится на 3. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + y – 1; 2) m = p + 2 x – 2, n = p + 3 y – 3; 3) m = p + 3 x – 3, n = p + 2 y – 2; 4) m = p + x – 1, n = p + 6 y – 6. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Пусть p дает 1 в остатке при делении на 6. Тогда p 2 – 1 кратно 6, числа m и n нечетны и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + 6 y – 6; 2) m = p + 6 x – 2, n = p + 6 y – 2. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Пусть p дает 5 в остатке при делении на 6. Тогда p 2 – 1 кратно 6, числа m и n нечетны и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + 6 y – 6; 2) m = p + 6 x – 4, n = p + 6 y – 4. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Пусть p дает 2 в остатке при делении на 6. Тогда p 2 – 4 кратно 6, среди чисел m и n хотя бы одно четное и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + 3 y – 3; 2) m = p + 3 x – 3, n = p + 6 y – 6; 3) m = p + 3 x – 1, n = p + 6 y – 4; 4) m = p + 6 x – 4, n = p + 3 y – 1. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Пусть p дает 4 в остатке при делении на 6. Тогда p 2 – 4 кратно 6, среди чисел m и n хотя бы одно четное и их произведение при делении на 3 дает в остатке 1. То есть, при делении на 3 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 2. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + 3 y – 3; 2) m = p + 3 x – 3, n = p + 6 y – 6; 3) m = p + 3 x + 1, n = p + 6 y – 2; 4) m = p + 6 x – 2, n = p + 3 y + 1. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Пусть p дает 3 в остатке при делении на 6. Тогда p 2 – 3 кратно 6, числа m и n нечетны и их произведение кратно 3. То есть, по крайней мере одно из этих чисел делится на 3. Возможны следующие варианты: 1) m = p + 6 x – 6, n = p + 2 y – 2; 2) m = p + 2 x – 2, n = p + 6 y – 6. Здесь x и y произвольные натуральные числа.

Заметим, что в каждом из этих случаев можно по аналогии с пунктами 1 и 2 показать, что оставшуюся часть можно было разрезать на прямоугольники 2 × 3.

1. б) По аналогии с рассуждениями выше, для того, чтобы из прямоугольника т × п можно было вырезать квадрат 3 × 3 так, чтобы оставшуюся часть можно разрезать на прямоугольники s × t , где s и t – заданные натуральные числа, необходимо, чтобы число т × п – 9 делилось на число s × t . Рассмотрим небольшие значения s и t и ответим для них на вопрос задачи.

1) s = t = 1. Очевидно, m и n любые натуральные числа, не меньшие 3.

2) s = 1, t = 2 или s = 2, t = 1. В этом случае число т × п – 9 является четным, то есть числа m и n любые нечетные натуральные числа, не меньшие 3. Идея разрезания оставшейся части очень проста: вырежем квадрат 3 × 3 из левого верхнего угла прямоугольника, первые три строки содержат теперь четное число клеток (по 3 клетки из них вырезали), значит их можно разрезать на горизонтально расположенные прямоугольники 1 × 2, оставшиеся строки разбиваем на пары рядом расположенных строк и разрезаем каждую пару на нечетное число вертикально расположенных прямоугольников 1 × 2. Запишем ответ в виде m = 2 x +1, n = 2 y + 1, где x и y произвольные натуральные числа.

3) s = 1, t = 3 или s = 3, t = 1. В этом случае число т × п – 9 делится на 3, то есть по крайней мере одно из чисел m или n делится на 3. Чтобы разрезать оставшуюся часть, разрежем сначала весь прямоугольник на прямоугольники 1 × 3, расположенные параллельно той стороне, длина которой делится на 3. Выбрав 3 таких прямоугольника, расположенных рядом и образующих квадрат, в качестве вырезанного прямоугольника, получим разрезание оставшейся части. Таким образом, m = 3 x , n = 3 + y или m = 3 + x , n = 3 y , где x и y произвольные натуральные числа.

4) s = 2, t = 3 или s = 3, t = 2. Этот случай рассмотрен в пункте 2.

5) s = 1, t = 4 или s = 4, t = 1. В этом случае число т × п – 9 делится на 4, то есть т × п – 9 = 4 t для некоторого целого неотрицательного t . Тогда т × п = 4( t + 2) + 1 и произведение чисел m и n при делении на 4 дает в остатке 1. То есть, при делении на 4 оба дают в остатке 1 или оба дают в остатке 3. Следовательно, m = 4 x + 1, n = 4 y + 1 или n = 4 x + 3, m = 4 y + 3, где x и y произвольные натуральные числа. Чтобы разрезать оставшуюся часть в первом случае, выделим в левом верхнем углу прямоугольника квадрат размера 5 × 5. Остальная часть легко разрезается на прямоугольники 1 × 4, так как оставшиеся части сторон кратны 4. Вырежем в центре квадрата 5 × 5 квадрат 3 × 3. Полученная рамочка разрезается на 4 прямоугольника. Во втором случае все еще проще, квадрат 3 × 3 вырезаем в верхнем левом углу, а затем оставшуюся часть то, что справа разрезаем на горизонтальные прямоугольники, а снизу на вертикальные. Оставшийся прямоугольник имеет стороны, кратные 4. Таким образом, m = 4 x + 1, n = 4 y + 1 или m = 4 x + 3, n = 4 y + 3, где x и y произвольные натуральные числа.

1. Будем решать исходную задачу для условия, соответствующего пункту 3 а). При этом будем сразу считать, что оставшуюся часть прямоугольника т × п после вырезания квадрата р × р можно хотя бы в каком-то случае разрезать на прямоугольники 2 × 3. Как и в исходной задаче, разместить левую верхнюю клетку квадрата p × p можно в ( m – p + 1)( n – p + 1) клетке. Далее рассмотрим два случая:

Пусть p нечетное число, тогда используя шахматную раскраску, как и исходной задаче, уменьшим число вероятных решений до . Также необходимо выбросить из рассмотрения клетки, находящиеся на расстоянии одной клетки от границы (по аналогии с исходной задачей). Этих клеток всего внутри урезанного прямоугольника и только черных:

. Таким образом, получаем ответ

Отметим, что в исходной задаче было получено .

Пусть p четное число, тогда, как и выше, необходимо выбросить из рассмотрения клетки, находящиеся на расстоянии одной клетки от границы. Их ( m – p – 1) ⋅ 2+( n – p – 1) ⋅ 2 – 4, то есть 2 ⋅ ( m + n – 2 p – 4). В итоге в ответ пойдет

Заметим, что для пункта 1 получаем m = n и p = 3. Тогда количество способов .

Для пункта 2 получаем .

Замечание. В пункте 4 была получена оценка сверху количества способов вырезания квадрата. Хотя и не доказано строго, можно предполагать, что это и нижняя оценка. Надо только указать способ разрезания оставшейся части на прямоугольники 2 × 3.

Источник