Сколькими способами можно разместить 7 гостей по 3 комнатам

дискретная-математика — Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты

Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

задан 7 Ноя ’19 19:10

@man123, по-моему, 105 способов. Есть 7 способов поселить одного из студентов в одноместную. Затем в двуместную селим 2 из 6 оставшихся, это 15 способов, а остальных четырёх ровно одним способом в 4-местную, и того $%7\cdot 15\cdot 1=105$%.

@man123, 2) для проверки можно в обратную сторону прокрутить. Селим 4 из 7 в 4-местную, это 35 способов, затем 2 из оставшихся трёх селим в двуместную, это ещё 3 способа, и остался один студент, его поселим в 1-местную, итого $%35\cdot 3\cdot 1=105$%, всё сошлось.

@man123, 3) можно сделать задачу интереснее, если ввести дополнительные ограничения. Например, пусть среди студентов будут как парни, так и девушки, и пусть будет запрещено селить девушек и парней в одной комнате.

А теперь вопрос авторам задачи. Вы где видели одноместные комнаты в студенческих общагах? Такого люксуса даже в Гарварде нет!

@Казвертеночка, Вы где видели одноместные комнаты в студенческих общагах? Такого люксуса даже в Гарварде нет! — фи, Гарвард отстой. у нас в универе в общагах были блоки из двух комнат — трёхместной и одноместной.

@Казвертеночка: в Главном Здании МГУ я жил и в одноместных, и в двуместных, а большие комнаты могли быть и на 4 места. Так что всё правдоподобно.

@all_exist, @falcao, спасибо, теперь буду знать. Тем не менее, моё личное мнение таково, что селить студента одного в комнате не совсем полезно, как для самого студента, так и для общества. Студент замкнётся в себе и утратит социальные навыки, станет нелюдимым, одичает. Или даже, упаси Господь, руки на себя наложит. И потом, есть люди, которые панически боятся спать одни.

@Казвертеночка: мы, будучи аспирантами, жили вдвоём в блоке, но у каждого была своя комната. А общение при этом было очень «интенсивным», то есть мы друг у друга постоянно собирались в компании. А если бы жили с соседями, то это было бы трудно, так как шумное общество кому-то может мешать. А сама традиция вполне «каноническая» — Царскосельский Лицей, «кельи», и так далее.

Источник

Помогите пожал. решить задачу по теории вероятности

1. В комнате 7 стульев, Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей; 3 гостя;
2. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 10 томник, расположив их :
а) так, чтобы 1,2,3 томы не стояли вместе;
б) так, чтобы 1,5,9 тома стояли вместе;

Оч прошу помогите! Заранее всем спасибо!

Задачи эти не по теории вероятностей, а по комбинаторике.

(1), 7 гостей. Первого гостя можно посадить на любой из стульев, это дает 7 вариантов. Для каждого из этих вариантов, второго гостя можно посадить на любой из оставшихся 6 стульев. Это дает 6 «подвариантов» для каждого из 7 вариантов. То есть имеется 7*6=42 способа усадить первых двух гостей. Для каждого из этих способов третьего гостя можно посадить на любой из оставшихся пяти стульев, и т. д. Таким образом, всего вариантов получается 7*6*5*4*3*2*1 = 7!
(1), 3 гостя. Смотрите выше.

Задача 2 НАМНОГО сложнее предыдущей, к тому же непонятно, что означает «чтобы 1,2,3 тома не стояли вместе». Скажем, если тома 1 и 2 стоят вместе, а том 3 отдельно от них — это ОК или нет?

Начну с (2-б) , как более легкой. Есть 6 способов поставить вместе тома 1,5,9. Именно, вы можете приставить том 5 к тому 1 слева или справа — 2 варианта. В каждом из этих вариантов у вас 3 возможности разместить том 9 (слева, посередине или справа) , так что всего вариантов 2*3=3!=6. Далее, будем рассматривать эти три тома как единый блок — ну, как один том, только толстый. Тогда получается, что у нас стоит задача найти число способов расстановки восьми томов. Как Вы уже теперь должны догадаться, число способов расстановки 8 томов равно 8! Таким образом, число способов расстановки всего десятитомника оказывается в этом случае равно 3!*8!

Teперь (2-а) . Буду предполагать, что достаточно того, чтобы все три тома 1,2,3 не стояли вместе, а двум из них вместе стоять разрешается. Тогда можно воспользоваться результатом задачи (2-б) . Мы уже знаем число способов расставить десятитомник так, чтобы заданные три тома стояли вместе. Значит, во всех остальных вариантах они НЕ будут стоять вместе. Чтобы найти число «остальных» вариантов, нужно вычесть из общего числа способов расставить 10-томник результат (2-б) . Получаем:
10! — 3!*8!

Источник

Элементы комбинаторики

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р.

Занятие №1. Элементы комбинаторики

Теория.
Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент «a») можно выбрать n₁ способами, а второй объект (элемент «b») — n₂ способами, то оба объекта (a и b) в указанном порядке можно выбрать » width=»49
» style=»vertical-align: -4px;»/> способами.

Правило сложения: если некоторый объект «a» можно выбрать n₁ способами, а объект «b» можно выбрать n₂ способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (a или b) можно выбрать » width=»58
» style=»vertical-align: -4px;»/> способами.

Практический материал.
1.(6.1.44. Л) Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4 если:
а) цифры не могут повторяться;
б) цифры могут повториться;
в) числа должны быть четными (цифры могут повторяться);
г) число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться)
(Ответ: а) 48; б) 100; в) 60; г) 12)

2. (6.1.2.) Сколько чисел, содержащих не менее трех различных цифр, можно составить из цифр 3; 4; 5; 6; 7? (Ответ: 300.)

3. (6.1.39) Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различными? (Ответ: 6561)

Теория. Пусть дано множество, состоящее из «n» различных элементов. Размещением из «n» элементов по «k» элементов ( » width=»77
» style=»vertical-align: -3px;»/>) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее «k» элементов.

Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их следования. Число размещений из «n» элементов по «k» обозначаются символом » width=»21
» style=»vertical-align: -4px;»/> и вычисляется по формуле:

px;»> » width=»115
» alt=»\[A_n^k=\frac<(n-k)!>,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Практический материал.
4. (6.1.9 Л.) Составить различные размещения по два элемента из элементов множества A= <3,4,5>и подсчитать их число. (Ответ: 6)

5. (6.1.3 Л) Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся? (Ответ: 3360)

6. (6.1.11. Л) Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны? Указание: учесть тот факт, что цифры вида 02345, 09782 и т.д. не считаем пятизначными. (Ответ: 27 216)

7. (6.1.12.Л.) Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов? (Ответ: 60.)

Теория. Сочетанием из «n» элементов по «k» элементов ( » width=»77
» style=»vertical-align: -3px;»/>) называется любое подмножество данного множества, которое содержит «k» элементов.
Любые два сочетания отличаются друг от друга только составом элементов. Число сочетаний из «n» элементов по «k» обозначается символом » width=»21
» style=»vertical-align: -4px;»/> и вычисляется по формуле:

px;»> » width=»129
» alt=»\[C_n^k=\frac.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Практический материал.
8.(6.1.20.) Составить различные сочетания по два элемента из элементов множества A= <3,4,5>и подсчитать их число. (Ответ: 3.)

9. (6.1.25.) Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов при которых в эту «пятерку» попадут:
а) одни девушки; б) 3 юноши и 2 девушки;
в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей; д) туристы одного пола.
(Ответ: а) 21; б) 4620; в) 420; г) 792; д) 813.)

Теория. Перестановкой из «n» элементов называется размещение из «n» элементов по «n» элементов. Таким образом, указать ту или иную перестановку данного множества из «n» элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из «n» элементов обозначается символом » width=»19
» style=»vertical-align: -3px;»/> и вычисляется по формуле:

px;»> » width=»105
» alt=»\[P_n=A_n^n=n!\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

10.(6.1.14.Л) Составить различные перестановки из элементов множества A=<5;8;9>. (Ответ: 6)

11.(6.1.15.Л) Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений Д. Лондона, располагая их:
а) в произвольном порядке;
б) так, чтобы 1, 5, 9 тома стояли рядом (в любом порядке);
в) так, чтобы 1, 2, 3 тома не стояли рядом (в любом порядке).
(Ответ: а) 10! б) 8!?3! в) » width=»85
» style=»vertical-align: -4px;»/>)

12. (1.6.16.Л.) В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя? (Ответ: 5040; 210)

Схема выбора с возвращением.

Теория. Если при упорядоченной выборке «k» элементов из «n», элементы возвращаются обратно, то полученные выборки представляют собой размещения с повторениями. Число всех размещений с повторениями из «n» элементов по «k» обозначается символом » width=»21
» style=»vertical-align: -4px;»/> и вычисляется по формуле:

px;»> » width=»69
» alt=»\[\bar A_n^k=n^k.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Если при выборке «k» элементов из «n», элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания (таким образом, одни и те же элементы могут выниматься по нескольку раз, т.е. повторяться), то полученные выборки есть сочетания с повторениями. Число всех сочетаний с повторениями из «n» элементов по «k» обозначается символом » width=»21
» style=»vertical-align: -4px;»/> и вычисляется по формуле:

px;»> » width=»102
» alt=»\[\bar C_n^k=C^k_\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

13.(6.1.29.) Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения и сочетания с повторениями по два элемента. (Ответ: 9; 6)

14. (6.1.31.Л.) Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах? (Ответ: » width=»130
» style=»vertical-align: -5px;»/>)

15. (6.1.59.Л.) В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими способами можно приобрести в ней: а) 3 пирожных одного вида; б) 5 пирожных? (Ответ: а) 7; б) 462)

Теория. Пусть в множестве из «n» элементов есть «k» различных типов элементов, при этом 1-й тип элементов повторяется n₁ раз, 2-й — n₂ раз, . . . , k-й — n_k раз, причем » width=»178
» style=»vertical-align: -4px;»/>. Тогда перестановки элементов данного множества представляют собой перестановки с повторениями.
Число перестановок с повторениями (иногда говорит о числе разбиений множества) из n элементов обозначается символом » width=»135
» style=»vertical-align: -4px;»/> и вычисляется по формуле:

px;»> » width=»300
» alt=»\[P_n (n_1,n_2,\cdot\cdot\cdot,n_k )=\frac<(n_1 !\cdot n_2 !\cdot . \cdot n_k !)>\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

16.(6.1.32.) Сколько различных «слов» (под «словом» понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? MISSISSIPPI?
Решение.
Вообще из трех букв можно составить » width=»89
» style=»vertical-align: -3px;»/> различных трехбуквенных «слов». В слове АГА буква «А» повторяется, а перестановка одинаковых букв не меняет «слова». Поэтому число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколько можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две буквы (1-я и 3-я) повторяются; поэтому различных перестановок трехбуквенных «слов» из букв слова АГА можно составить столько:

px;»> » width=»143
» alt=»\[P_3/P_2 =3!/2!=3.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Впрочем, ответ можно получить и проще: » width=»165
» style=»vertical-align: -5px;»/>. По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных «слов» при перестановке букв в слове MISSISSIPPI. Здесь n=11; n₁=1; n₂=4 (4 буквы S); n₃=4 (4 буквы I); n₄=2, поэтому

px;»> » width=»438
» alt=»\[P_ <11>(1,4,4,2)=\frac<11!><1!4!4!2!>=\frac<5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11><1\cdot 24\cdot 2>=34 650.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

17.(6.1.38.Л.) Сколько существует различных перестановок букв в слове ТРАКТАТ? А в «слове» АААУУАУУУУ? (Ответ: 420; 210)

Источник