Теория вероятностей и комбинаторика
Теория вероятностей и комбинаторика:
Сколько семизначных чисел можно образовать с помощью семи различных цифр, отличных от 0?
Искомое число равно числу перестановок из 7 различных элементов:
Р7 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 = 5040
Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, возле которого поставлены 12 стульев?
Число способов равно:
Р12 = 1 * 2 * 3 * . * 12 = 600.
Имеется 5 разноцветных фишек, которые выкидываются по 3 в ряд. Сколько существует различных комбинаций из трех последовательно выложенных фишек? Сколько будет комбинаций, если одна из фишек имеет уже определенный (один из пяти) цвет?
Поскольку порядок расположение выбранных из трех фишек имеет значение, то решением первой задачи является число размещений:
Во втором случае число фишек, из которых производится выбор, уже равен 4 (один цвет уже фиксирован) и требуется выбрать только 2 фишки. Таким образом, число комбинаций равно 
С другой стороны, фиксированная фишка может занимать одно из трех мест. Тогда общее число комбинаций равно
В ресторан прибывает в среднем 20 посетителей в час. Считая поток посетителей простейшим, и зная, что ресторан открывается в 11.00, определите:
а) вероятность того, что в 11.12 в ресторан придет 20 посетителей при условии, что в 11.07 их было 18
б) вероятность того, что между 11.28 и 11.30 в ресторане окажется новый посетитель, если известно, что предшествующий посетитель прибыл в 11.25.
Для ответ на первый вопрос фактически надо найти вероятность того, что в промежуток от 11.07 до 11.12 (τ = 5 минут) придет ровно 2 посетителя. При этом мы знаем интенсивность потока посетителей — λ = 20/60 = 1/3 посетителей в минуту. Конечно, данная величина носит условный характер, т. к. посетители не могут приходить по частям.
Искомая вероятность равна:
Теперь перейдем ко второму вопросу. Нам не сказано, сколько именно новых посетителей будет в промежутке от 11.28 до 11.30, главное чтобы был хоть один. Эта вероятность равна
В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заявок в час. Считая поток заказов простейшим, определить вероятность того, что:
а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа,
б) за 10 минут поступит не более трех заказов.
Сначала найдем плотность (интенсивность) потока, выразив ее в количестве заявок в минуту. Очевидно, эта величина равна
Далее находим вероятность того, что за время τ = 1 мин не поступит ни одной заявки по формуле:
Вероятность того, что за 10 минут поступит не более трех заказов будет складываться из вероятностей того, что не поступит ни одного заказа, поступит один, два или ровно три заказа.
Здесь Р0 (2) – вероятность того, что в этом промежутке не будет ни одного посетителя.
Проверкой установлено, что 96% изделий служат не меньше гарантируемого срока. Наугад выбирают 15000 изделий. Найти вероятность того, что со сроком службы менее гарантируемого будет от 570 до 630 изделий.
Вероятность того, что срок службы изделия будет менее гарантированного равна:
Математическое ожидание числа таких изделий равно
По теореме Муавра — Лапласа получаем:
Известно, что 60% всего числа изготавливаемых заводом изделий являются изделиями первого сорта. Приемщик берет первые попавшиеся 200 изделий. Чему равна вероятность того, что среди них окажется из от 120 до 150 изделий первого сорта?
Вероятность того, что деталь окажется первого сорта, равна, очевидно, 0,6.
Математическое ожидание числа изделий первого сорта равно:
По теореме Муавра — Лапласа получаем:
Вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной, при каждой проверке одна и та же и равна 0,2. Определить вероятность того, что среди 50 наугад выбранных деталей бракованных окажется не менее 6.
Для того, чтобы воспользоваться теоремой Муавра — Лапласа найдем математическое ожидание и дисперсию количества бракованных деталей в 50 – ти отобранных:
Фактически в задаче требуется определить вероятность того, что бракованных деталей будет не менее шести, но и, очевидно, не более 50- ти.
Значения функции Лапласа находятся по таблице. Конечно, значения функции Лапласа Ф(10) в таблице нет, но т. к. в таблицах указано, что Ф(3)=1,0000, то все значения от величин, превышающих 3 также равны 1.
В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают наугад два шара. Найти вероятность того, что эти шары не одного цвета.
Событие, состоящее в том, что выбранные шары разного цвета произойдет в одном из двух случаев:
1) Первый шар белый (вероятность – 3/8), а второй – черный (вероятность – 5/7).
2) Первый шар черный (вероятность – 5/8), а второй – белый (вероятность – 3/7).
Имеются две партии однородных деталей. Первая партия состоит из 12 деталей, 3 из которых — бракованные. Вторая партия состоит из 15 деталей, 4 из которых – бракованные. Из первой партии извлекаются наугад 5 деталей, а из второй – 7 деталей. Эти детали образуют новую партию. Какова вероятность достать из них бракованную деталь?
Для того, чтобы выбранная наугад деталь была бы бракованной, необходимо выполнение одного из двух несовместных условий:
1) Выбранная деталь была из первой партии (вероятность – 5/12) и при этом она – бракованная (вероятность – 3/12). Окончательно:
2) Выбранная деталь была из второй партии (вероятность – 7/12) и при этом она – бракованная (вероятность – 4/15). Окончательно:
Окончательно, получаем: 
Имеются две партии однородных деталей. Первая партия состоит из 12 деталей, 3 из которых — бракованные. Вторая партия состоит из 15 деталей, 4 из которых – бракованные. Из первой и второй партий извлекают по две детали. Какова вероятность того, что среди них нет бракованных деталей.
Вероятность оказаться не бракованной для первой детали, извлеченной из первой партии, равна р1=9/12, для второй детали, извлеченной из первой партии при условии, что первая деталь была не бракованной р2=8/11.
Вероятность оказаться не бракованной для первой детали, извлеченной из второй партии, равна р3=11/15, для второй детали, извлеченной из второй партии при условии, что первая деталь была не бракованной р4=10/14.
Вероятность того, что среди четырех извлеченных деталей нет бракованных, равна:
Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся знает ответы только на 35 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос одного билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.
В общей сложности имеется 40 вопросов (по 2 в каждом из 20 билетов). Вероятность того, что выпадает вопрос, на который ответ известен, очевидно, равна 35/40.
Для того, чтобы сдать экзамен, требуется совершение одного из трех событий:
1) Событие A – ответили на первый вопрос (вероятность 35/40) и ответили на второй вопрос (вероятность 34/39). Т. к. после успешного ответа на первый вопрос остается еще 39 вопросов, на 34 из которых ответы известны.
2) Событие В – на первый вопрос ответили (вероятность 35/40), на второй – нет (вероятность 5/39), на третий – ответили (вероятность 34/38).
3) Событие С – на первый вопрос не ответили (вероятность 5/40), на второй – ответили (вероятность 35/39), на третий – ответили (вероятность 34/38).
Вероятность того, что при заданных условиях экзамен будет сдан равна:
В первой коробке содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй коробке 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой коробки наугад извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наугад берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Вероятность того, что взятый из первой коробки шар белый — 
что не белый — 
Вероятность того, что взятый из второй коробки шар белый — 
что не белый — 
Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из первой коробки и вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из второй коробки, равны 0,5.
Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из первой коробки, и он белый — 
Вероятность того, что повторно выбран шар, извлеченный из второй коробки, и он белый — 
Вероятность того, что повторно будет выбран белый шар, равна
Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?
Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна 1/6. Вероятность того, что не выпадет 6 очков 5/6. Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна 
Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна
Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.
Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А, появление хотя бы одной червонной карты – событие В. Таким образом нам надо определить вероятность события
Кроме того, события А и В – совместны, т. е. появление одного из них не исключает появления другого.
Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.
При вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной ни бубновой карты равна 26/52, при вытаскивании второй карты 25/51, третьей 24/50, четвертой 23/49.
Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна
.
Тогда
В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.
Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С.
Из 1000 произвольно выбранных деталей приблизительно 4 бракованных. Сколько (приблизительно) бракованных деталей будет среди 2400 деталей?
Обозначим через А такое событие — наугад взятая деталь—бракованная. Тогда статистическая частота равна: PN = 4/1000 = 0,004.
Если среди 2400 деталей окажется х бракованных, то вероятность события А будет равна
Так как PN <А>= Р (А), то х/2400 = 0,004, отсюда х = 10.
Вследствие многолетних наблюдений замечено, что из 1000 новорожденных в среднем 515 мальчиков и 485 девочек. Найти вероятность того, что в семье, где шестеро детей, не больше двух девочек.
Для совершения события А, вероятность которого нам нужно найти, должно быть в семье или 0, или одна, или две девочки. Итак, А = А0 + А1 + А2, где Ао — в семье нет девочек, А1 — в семье одна девочка, А2 — в семье две девочки. Эти события несовместны.
По теореме сложения, Р (А) = Р (А0) + Р (A1) + Р (А2). Для каждого ребенка вероятность того, что это мальчик — р = 0,515, а вероятность того, что это девочка — q = 1 — р = 0,485. Вероятность события Ао (все шесть мальчиков) найдем по теореме умножения:
Р (А0) = (0,515)6 = 0,018 или по формуле Бернулли:
Р(А0) = С06 * 0,4850 * 0,5156 = 0,018.
Вероятность событий A1 и А2 вычисляем по формуле Бернулли:
Р(A1) = С16 * 0,4851 * 0,5155 = 6 * 0,485 * 0,5155 = 1,105;
Р(А2) = С26 * 0,4852 * 0,5154 =15 * 0.4852 * 0,5154 = 0,247.
Итак, Р (А) = 0,018 + 0,105 + 0,247 = 0,370.
Телефонная станция обслуживает п = 100 абонентов, пользующихся телефоном одинаково часто. На протяжении одного часа происходит k = 200 разговоров со средней продолжительностью разговора
t = 1/40 ч. Какова вероятность одновременного разговора трех (m = 3) абонентов?
Общая продолжительность всех разговоров равна kt = 200 *1/40 = 5 (ч). Средняя нагрузка за один час для каждого из n = 100 соединений будет kt /100= 5/100 = 1/20 (ч). Это значит, что каждый абонент на протяжении одного часа говорит в среднем 1/20 ч = 3 мин.
Итак, 3 мин является мерой времени, благоприятствующей разговору одного абонента. Отсюда вероятность того, что абонент разговаривает в данный момент, равна р = 3/60=1/20, а вероятность противоположного события q = 1-р=19/20.
Вероятность одновременного разговора в данный момент трех абонентов находим по формуле Бернулли:
р3,100 = С3100 (1/20)3*(19/20)97
Из урны, в которой 3 белых и 2 черных шара, пять раз вынимают по одному шару, а затем возвращают в урну перед следующим испытанием. Найти вероятность того, что в этих испытаниях белый шар вынимают три раза в любой последовательности.
Вероятность появления белого шара в этих пяти независимых испытаниях одинакова и равна
р = 3/5, а вероятность непоявления — q = 2/5.
По формуле Бернулли:
Завод изготавливает 95 % стандартных изделии, причем из них 86 % первого сорта. Найти вероятность того, что изделие, изготовленное на этом заводе, окажется первого сорта.
Пусть А — событие, состоящее в том, что взятое изделие стандартное, В — изделие первого сорта, С — изделие, изготовленное на этом заводе, оказалось первого сорта. Тогда С — АВ.
Так как события А и В независимы, то можно применить теорему умножения для вычисления вероятности события С:
Р(С) = Р (АВ) = Р (А) • Р (В) = 0,95 * 0,86 = 0,82.
Два стрелка совершают одновременно выстрел в одну цель. Вероятность попадания в цель для первого стрелка 0,8, а для второго — 0,7. Найти вероятность попадания в цель.
Предположим, что производится 100 двойных выстрелов. Первый стрелок попадет в цель 80, а не попадет — 20 раз. Поскольку второй стрелок из 100 выстрелов попадает 70 раз, т. е. 7 раз из 10 выстрелов, то из тех 20 выстрелов, из которых первый не попадет в цель, второй попадет в цель 14 раз. Итак, во время 100 двойных выстрелов будет около 80 + 14 = 94 попаданий в цель. Поэтому вероятность попадания в цель равна
Для изготовления детали пригодны валики с диаметром 11,99—12,20 мм. Автомат изготавливает 1% валиков диаметром, меньшим 11,99 мм, 97 % валиков диаметром 11,99—12,20 мм и 2 % —диаметром, большим 12,20 мм. Какова вероятность того, что наугад взятый из произведенной партии валик будет непригоден для изготовления детали?
Пусть А — событие, вероятность которого надо определить; А1 — взятый валик диаметром, меньшим 1,99 мм, А2 — взятый валик диаметром, большим 12,20 мм. Тогда
Р(А)= Р (А1) + Р (А2) = 0,01 + 0,02 = 0,03.
Искомую вероятность можно найти иначе. А именно, если В — событие, состоящее в том, что наугад взятый валик пригоден, то
Р (А) = 1 — Р (В) = 1 — 0,97 = 0,03.
В лотерее 1000 билетов, из них на один билет приходится выигрыш 5000 крб., на 10 билетов — выигрыш по 1000 крб., на 50 билетов — выигрыш по 200 крб., на 100 билетов — выигрыш по 50 крб. Остальные билеты невыигрышные. Найти вероятность выигрыше на один билет не менее 200 крб.
А — выигрыш не менее 200 крб.,
А1 — выигрыш 200 крб.,
А2 — выигрыш 1000 крб.,
А3 — выигрыш 5000 крб.
Событие А выражается с помощью суммы трех несовместных событий — А1, А2, А3, т. е.
По теореме сложения, получим:
В урне находятся 4 черных, 7 красных, 9 зеленых и 11 синих шаров. Оттуда вынули один шар. Найти вероятность появления цветного шара (не черного).
Пусть событие А — появление цветного шара, А1 — появление черного, А2 — появление красного, А3 — появление зеленого, А4 — появление синего шаров.
Тогда событие А можно выразить как сумму несовместных событий А2, А3, А4, т. е. А = А2 + А3+ +А4.
По теореме сложения, получим:
Р(А)=Р (А2) + Р (А3) + Р (А4) или Р(А)= 7/31+9/31+11/31=27/31
Что вероятнее: выиграть у равного по силе сопёрника 3 партии из 4 или 5 партий из 8?
Обозначим первое событие А, а второе — В. Общее количество всех возможных результатов четырех партий получим, комбинируя выигрыш или проигрыш в первой партии с выигрышем во второй, третьей и четвертой партиях. Итак, n = 24 = 16. Эти события равновозможны. Благоприятными событиями будут те, при которых первый выиграет в трех случаях из четырех, т. е. m= C34 =(4*3*2)/(1*2*3)=4. Поэтому Р(А)=4/16=1/4.
В случае восьми партий n = 28 = 256, m = С58 = 56.
Источник
