Сколькими способами можно расставить шахматной доске черного белого королей

Сколькими способами можно расставить шахматной доске черного белого королей

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и чёрного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

Решение

Белого короля можно поставить на любое из 64 полей. Однако количество полей, которые он при этом будет бить, зависит от его расположения. Поэтому необходимо разобрать три случая:
1) если белый король стоит в углу (углов всего 4), то он бьёт 4 поля (включая то, на котором стоит), и остается 60 полей, на которые можно поставить чёрного короля;
2) если белый король стоит на краю доски, но не в углу (таких полей – 24), то он бьёт 6 полей, и для чёрного короля остается 58 возможных полей;
3) если же белый король стоит не на краю доски (таких полей – 36), то он бьёт 9 полей, и для чёрного короля остается 55 возможных полей. Таким образом, всего есть 4·60 + 24·58 + 36·55 = 3612 способов расстановки королей.

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: «АСА»
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Комбинаторика-1
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	014

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Сколькими способами можно расставить шахматной доске черного белого королей

а) Поставим сначала чёрную ладью. Это можно сделать 8 · 8 = 64 способами. Чтобы белая ладья её не била, надо поставить её в другие горизонталь и вертикаль, то есть свободных для неё горизонталей будет 8 — 1 = 7, и вертикалей тоже 8 — 1 = 7. То есть, поставить белую ладью при уже поставленной чёрной можно 7 · 7 = 49 способами. Так как на каждый из 64 способов поставить чёрную ладью будет 49 способов поставить белую, то всего способов поставить обе будет 64 · 49 = 3136.

б) Поставим сначала чёрного короля. Сколько способов тогда останется для постановки белого? Рассмотрим разные случаи:

Если чёрный король стоит в углу доски, то белого нельзя ставить на 4 клетки, то есть можно поставить на одну из 8·8 — 4 = 60 клеток. Углов в доске 4, то есть таких случаев, когда чёрный король стоит в углу, а белый его не бьёт, 4 · 60 = 240.

Дальше, если чёрный король стоит с краю доски (не в углу), то белого нельзя ставить на 6 клеток, то есть можно ставить на 64 — 6 = 58 клеток. На каждой из 4 сторон доски есть 8 — 2 = 6 клеток, где чёрный король будет стоять с краю, но не в углу, то есть всего таких вариантов растановки обоих королей будет 4 · 6 · 58 = 1392.

Наконец, если чёрный король стоит на внутренней клетке доски (они образуют квадрат со стороной 8 — 2 = 6, поэтому внутренних клеток будет 6 · 6 = 36), то белого можно поставить на одну из 64 — 9 = 55 клеток. Всего вариантов расстановки, где чёрный король стоит на внутренней клетке, будет 36 · 55 = 1980.

Итак, всего подходящих вариантов будет 240 + 1392 + 1980 = (200 + 40) + (1400 — 8) + (2000 — 20) = 1600 + 2000 + (40 — 20 — 8) = 3600 + 12 = 3612

Источник

Сколькими способами можно расставить шахматной доске черного белого королей

а) Поставим сначала чёрную ладью. Это можно сделать 8 · 8 = 64 способами. Чтобы белая ладья её не била, надо поставить её в другие горизонталь и вертикаль, то есть свободных для неё горизонталей будет 8 — 1 = 7, и вертикалей тоже 8 — 1 = 7. То есть, поставить белую ладью при уже поставленной чёрной можно 7 · 7 = 49 способами. Так как на каждый из 64 способов поставить чёрную ладью будет 49 способов поставить белую, то всего способов поставить обе будет 64 · 49 = 3136.

б) Поставим сначала чёрного короля. Сколько способов тогда останется для постановки белого? Рассмотрим разные случаи:

Если чёрный король стоит в углу доски, то белого нельзя ставить на 4 клетки, то есть можно поставить на одну из 8·8 — 4 = 60 клеток. Углов в доске 4, то есть таких случаев, когда чёрный король стоит в углу, а белый его не бьёт, 4 · 60 = 240.

Дальше, если чёрный король стоит с краю доски (не в углу), то белого нельзя ставить на 6 клеток, то есть можно ставить на 64 — 6 = 58 клеток. На каждой из 4 сторон доски есть 8 — 2 = 6 клеток, где чёрный король будет стоять с краю, но не в углу, то есть всего таких вариантов растановки обоих королей будет 4 · 6 · 58 = 1392.

Наконец, если чёрный король стоит на внутренней клетке доски (они образуют квадрат со стороной 8 — 2 = 6, поэтому внутренних клеток будет 6 · 6 = 36), то белого можно поставить на одну из 64 — 9 = 55 клеток. Всего вариантов расстановки, где чёрный король стоит на внутренней клетке, будет 36 · 55 = 1980.

Итак, всего подходящих вариантов будет 240 + 1392 + 1980 = (200 + 40) + (1400 — 8) + (2000 — 20) = 1600 + 2000 + (40 — 20 — 8) = 3600 + 12 = 3612

Источник

В чем секрет решения комбинаторных задач на шахматной доске? (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

2.1 Свойства шахматных фигур

Решая комбинаторные задачи, связанные с шахматными фигурами, я исследовал свойства шахматных фигур.

Ладья ходит по вертикали и горизонтали. Следовательно, под ударом одновременно, не зависимо на каком поле стоит ладья, находятся 14 полей.

Ферзь ходит по вертикали, горизонтали и диагонали. Количество полей, находящихся одновременно под боем ферзя, зависит от места его расположения на шахматной доске. Если ферзь стоит на угловом поле или на крайних полях, то под боем находится 21 поле, на второй линии от края – 23 поля, на третьей линии от края – 25 полей, на четвертой линии от края – 27 полей.

Король ходит на любое соседнее поле. Если король стоит на угловом поле, то под боем одновременно находятся 3 поля, если на полях крайней линии, то – 5 полей, на всех остальных – 8 полей.

Конь ходит зигзагом, на одно плюс два поля или два плюс одно поле. Количество полей, находящихся одновременно под боем коня, зависит от места его расположения на шахматной доске. Если конь стоит на угловом поле, то под боем находятся 2 поля. На крайних вторых полях – 3 поля, на остальных крайних полях и на угловых полях второй линии от края – 4 поля. На остальных полях второй линии от края – 6 полей, на третьей и четвертой линиях от края – по 8 полей одновременно находятся под боем.

Слон ходит по диагоналям. Количество полей, находящихся одновременно под боем слона, зависит от места его расположения на шахматной доске. Если слон стоит на угловом поле или на крайних полях, то под боем находятся 7 полей, на второй линии от края – 9 полей, на третьей линии от края – 11 полей, на четвертой линии от края – 13 полей.

Исходя из полученных данных, задачи можно разделить по количеству фигур и по поставленной задаче. Также можно еще рассмотреть условие: одного цвета фигуры или разного.

2.2 Правила суммы и произведения

Большинство комбинаторных задач решаются с помощью двух основных правил: суммы и произведения.

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А, В) можно осуществить m • n способами. Это утверждение — правило произведения. [5 с 5]

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m + n способами. В этом случае общее число комбинаций равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Это утверждение называют правилом суммы. [5 с 6]

Пример 1 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась по правилам игры комбинация?

Решение: Зная правила игры в шахматы, не сложно рассмотреть все расстановки. Во-первых, рассматриваются короли, а мы знаем свойства этой фигуры. Во-вторых, фигуры разного цвета (белый и черный король). И, в-третьих, фигуры не бьют друг друга. Из свойств шахматных фигур мы знаем, сколько и на каком поле находится под боем полей. Если первый король стоит на угловом поле, то под боем 3 поля, то на всех остальных полях второй король в «безопасности». И таких полей – 60. А угловых полей всего четыре (2 черных и 2 белых), Если один король стоит на любом из крайних полей, то под боем у него 5 полей, значит другой король на всех остальных 58 полях в «безопасности». А крайних полей всего 24 (12 белых и 12 черных). Ну а если один король стоит на любом другом поле, то под боем у него 8 полей. И значит другой король на всех остальных 55 полях в «безопасности». Таких полей 36. Таким образом, получаем число расстановок: 4(64 — 4) + 24(64 — 6) + 36(64 — 9) = 3612

Ответ: 3612

Если сменить условие.

Пример 2 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы фигуры били друг друга?

Решение: Тогда на угловых полях по три поля под боем, на крайних – по пять полей под боем, на остальных — по 8 полей под боем. Считаем число таких расстановок 4 • 3 + 24 • 5 + 36 • 8 = 420 Ответ: 420

Пример 3 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух королей одного цвета так, чтобы фигуры не били друг друга?

Решение: Так как на шахматной доске всего 64 поля. 32 из них белые и 32 черные. Если первый король стоит на угловом поле, то под боем 3 поля, то на всех остальных полях второй король в «безопасности». И таких полей – 60. А угловых полей одного цвета 2 (2 черных или 2 белых), Если один король стоит на любом из крайних полей, то под боем у него 5 полей, значит другой король на всех остальных 58 полях в «безопасности». А крайних полей одного цвета 12 (12 белых или 12 черных). Ну а если один король стоит на любом другом поле, то под боем у него 8 полей. И значит другой король на всех остальных 55 полях в «безопасности». Таких полей 18 (одного цвета). Считаем число таких расстановок

2 • 60 + 12 • 58 + 18 • 8 = 1806 Ответ: 1806

Получается, что число способов расставить королей одного цвета, чтобы они не били друг друга, в два раза меньше, чем число способов расставить королей разного цвета. Так как число рассматриваемых полей уменьшилось в двое. Получаем 3612 : 2 = 1806

Пример 4 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух королей одного цвета так, чтобы фигуры били друг друга?

Решение: Число способов расстановки фигур также будет в два раза меньше, чем для королей разного цвета. 420 : 2 = 210 Ответ: 210

А если рассматривать задачу, в которой не говорится о цвете фигур, то при подсчете числа способов необходимо рассмотреть оба случая, и когда фигуры разного цвета, и когда фигуры одного цвета.

Пример 5 Сколькими способами можно расставить двух короле, чтобы они не били друг друга?

Решение: Так как число расстановок двух королей разного цвета, которые не бьют друг друга, равно 3612, я число расстановок двух королей одного цвета, которые не бьют друг друга, равно 1806. То общее число расстановок 3612 + 1806 = 5418 Ответ: 5418

Пример 6 Сколькими способами можно расставить двух короле, чтобы они били друг друга?

Решение: Считаем число таких расстановок 420 + 210 = 630 Ответ: 630

Пример 7 Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?

Решение: • , где k = 12, n = 32, m = 20

• = • = Ответ:

Наряду с правилами суммы и произведения, для решения комбинаторных задач на шахматной доске применяются правила перестановки, сочетания, размещения.

Пример 8 Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

Решение: = ; где n=1+1+2+2+2=8,

k1 = 1, k2 = 1, k3 =2, k4 = 2, k5 = 2

= = = 5040 Ответ: 5040

Пример 9 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 ладей?

Решение: = ; где n = 64, k = 8

= = = 4 426 165 368 Ответ: 4 426 165 368

Пример 10 Сколькими способами можно разместить восемь ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

P8 = 8! = 1•2•3•4•5•6•7•8 = 40320 Ответ: 40320

У меня получилась следующая классификация найденных комбинаторных задач на шахматную тему: задачи можно разделить по количеству фигур и по поставленной задаче (бьют друг друга фигуры или нет). Так же можно еще рассмотреть условие: одного цвета фигуры или разного. (Приложение 10)

Источник