Сколькими способами можно расставить 8 ладей чтобы они не били друг друга

Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей?

Сколькими различными способами 8 ладей можно расположить на шахматной доске так, чтобы при этом каждая клетка оказалась либо занятой, либо под угрозой нападения, но чтобы ни одна ладья не была защищена другой ладьей? Один из возможных способов, для примера, показан на рисунке.

Ответ

Решение задачи

Очевидно, на каждой горизонтали и на каждой вертикали должна находиться лишь одна ладья. На первой горизонтали мы можем расположить ладью 1 из 8 способов. Куда бы мы ее ни поместили, вторую ладью на второй горизонтали мы сможем расположить 7 способами. Далее, мы можем расположить третью ладью 6 способами и т. д. Следовательно, число различных комбинаций равно 8×7×6×5×4×З×2×1 = 8! = 40320.

О задаче

• Категория: Шахматные задачи, Комбинаторика,
• Степень сложности: средняя.
• Ключевые слова: 8, ладья, шахматы,
• Источник: Кентерберийские головоломки, Математические игры и развлечения,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.

Оставить комментарий

Свои вопросы, комментарии, замечания и занимательные задачи присылайте через предложенную ниже форму.

Решите задачу

Снесли вместе 7 стожков сена и 11 стожков. Сколько стожков получилось?

Занимательные задачи

Ещё больше занимательных задач собрано в следующих разделах:

Источник

Сколькими способами можно расставить 8 ладей чтобы они не били друг друга

Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

Решение 1

В каждой вертикали находится по одной ладье. Их положение определяется перестановкой горизонталей.

Решение 2

Ладья на первой горизонтали может занимать 8 разных положений. Если это положение фиксировано, то ладья на второй горизонтали может занимать уже только 7 положений. Аналогично для ладьи на третьей горизонтали остается 6 вариантов и т. д. Итого 8·7·6·5·4·3·2 = 8! способов.

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: «АСА»
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Комбинаторика-1
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	036
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика
параграф
Номер	3
Название	Размещения, перестановки и сочетания
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	02.038
кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	9
задача
Номер	9.2

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?

Условие
Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

Решение 1
В каждой вертикали находится по одной ладье. Их положение определяется перестановкой горизонталей.

Решение 2
Ладья на первой горизонтали может занимать 8 разных положений. Если это положение фиксировано, то ладья на второй горизонтали может занимать уже только 7 положений. Аналогично для ладьи на третьей горизонтали остается 6 вариантов и т. д. Итого 8·7·6·5·4·3·2 = 8! способов.

Источники и прецеденты использования
книга
АвторГенкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В.
Год издания1994
НазваниеЛенинградские математические кружки
ИздательствоКиров: «АСА»
Издание1
глава
Номер3
НазваниеКомбинаторика-1
ТемаКлассическая комбинаторика
задача
Номер036
книга
АвторАлфутова Н. Б., Устинов А. В.
Год издания2002
НазваниеАлгебра и теория чисел
ИздательствоМЦНМО
Издание1
глава
Номер2
НазваниеКомбинаторика
ТемаКомбинаторика
параграф
Номер3
НазваниеРазмещения, перестановки и сочетания
ТемаКлассическая комбинаторика
задача
Номер02.038
кружок
Место проведенияМЦНМО
класс
Класс7
год
Год2004/2005
занятие
Номер9
задача
Номер9.2

Если ладей считать неразличимыми:

каждая ладья занимает одну вертикаль и одну горизонталь. Так как ладьи неразличимы, то просто расставим их по горизонталям единственным способом.

Тогда первую ладью можно поставить на любую из 8 вертикалей. Для второй ладьи одна вертикаль будет уже занята и останется 7 вариантов. Продолжая рассуждать таким же образом, получим ответ: 8! способов (8*7*6*5*4*3*2*1)

Если ладьи различимы (все разные), то тогда и по горизонталям их можно расставить 8! способов и ответ превратится в (8!)^2

Источник

Сколькими способами можно расставить 8 ладей чтобы они не били друг друга

Может ли произведение цифр трёхзначного числа быть равно 22? 28? 350? 730?

Можно ли в прямоугольной таблице расставить натуральные числа так, чтобы в каждом столбце сумма чисел была больше 100, а в каждой строке — меньше 5?

Может ли и сумма, и произведение нескольких натуральных чисел (не обязательно различных) быть равными а) 999? б) 1999?

б) Нет. 1999 — простое число, поэтому множителями могут быть лишь оно само и единица.

Площадь прямоугольника меньше 1 кв.м. Может ли его периметр быть больше 1 км?

Фирма проработала год, подсчитывая свою прибыль каждый месяц. За каждые два подряд идущих месяца прибыль оказалась отрицательна (то есть фирма заработала меньше чем потратила). а) Могло ли случиться, что прибыль за весь весь год оказалась положительна? б) А за первые 11 месяцев?

В однокруговом футбольном турнире за победу давали 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. «Спартак» одержал больше всех побед. Мог ли он набрать меньше всех очков?

Можно ли на шахматной доске расставить а) 9 ладей; б) 14 слонов так, чтобы они не били друг друга?

б) Можно. Например, так.

Какое наибольшее число ладей (слонов, королей, ферзей, коней) можно расставить на доске так, чтобы они не били друг друга?

Новые задачи. Разнобой.

187. Имеются двое песочных часов: одни на 7 минут, а другие — на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

188. Можно ли числа от 1 до 17 выписать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была простым числом?

189. Как посадить 9 деревьев так, чтобы получилось 10 прямых рядов по три дерева в каждом?

190. Во фразе, взятой в кавычки, подставьте вместо многоточий числа так, чтобы она оказалась верной.

В этой фразе используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, причём цифра 0 — . раз, цифра 1 — . раз, цифра 2 — . раз, цифра 3 — . раз, цифра 4 — . раз, цифра 5 — . раз, цифра 6 — . раз, цифра 7 — . раз, цифра 8 — . раз, цифра 9 — . раз».

191. Два человека бегут вниз по ступеням эскалатора метро, идущего вниз. Один бежит быстрее другого. Кто из них насчитает больше ступенек?

192. В квадрате 3 x 3 находится 9 лампочек. За одну операцию можно переключить все лампочки, находящиеся в каком-нибудь квадрате 2 x 2. Сколько различных узоров можно получить из погасшего» состояния?

193. Можно ли в вершинах и на серединах сторон правильного восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах любой стороны равнялась числу в его середине? Каждое из чисел можно использовать ровно 1 раз.

194. У Кощея есть куб, в каждой вершине которого вставлено по алмазу. Известны веса этих алмазов: 1 карат, 2 карата, . 8 карат. Кощей предлагает Ивану-Царевичу следующую игру: он называет сумму весов алмазов на каждом ребре. Если после этого Иван сможет правильно определить, в какой вершине какой алмаз, то он получает драгоценный куб, а если нет, то распрощается с жизнью. Стоит ли Ивану соглашаться на такую игру?

195. На доске выписаны целые числа от 1 до 14, каждое по одному разу. Двое играющих по очереди стирают по одному числу до тех пор, пока не останется ровно два числа. Если их сумма точный квадрат, то выигрывает второй, иначе первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Источник

В чем секрет решения комбинаторных задач на шахматной доске? (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

2.1 Свойства шахматных фигур

Решая комбинаторные задачи, связанные с шахматными фигурами, я исследовал свойства шахматных фигур.

Ладья ходит по вертикали и горизонтали. Следовательно, под ударом одновременно, не зависимо на каком поле стоит ладья, находятся 14 полей.

Ферзь ходит по вертикали, горизонтали и диагонали. Количество полей, находящихся одновременно под боем ферзя, зависит от места его расположения на шахматной доске. Если ферзь стоит на угловом поле или на крайних полях, то под боем находится 21 поле, на второй линии от края – 23 поля, на третьей линии от края – 25 полей, на четвертой линии от края – 27 полей.

Король ходит на любое соседнее поле. Если король стоит на угловом поле, то под боем одновременно находятся 3 поля, если на полях крайней линии, то – 5 полей, на всех остальных – 8 полей.

Конь ходит зигзагом, на одно плюс два поля или два плюс одно поле. Количество полей, находящихся одновременно под боем коня, зависит от места его расположения на шахматной доске. Если конь стоит на угловом поле, то под боем находятся 2 поля. На крайних вторых полях – 3 поля, на остальных крайних полях и на угловых полях второй линии от края – 4 поля. На остальных полях второй линии от края – 6 полей, на третьей и четвертой линиях от края – по 8 полей одновременно находятся под боем.

Слон ходит по диагоналям. Количество полей, находящихся одновременно под боем слона, зависит от места его расположения на шахматной доске. Если слон стоит на угловом поле или на крайних полях, то под боем находятся 7 полей, на второй линии от края – 9 полей, на третьей линии от края – 11 полей, на четвертой линии от края – 13 полей.

Исходя из полученных данных, задачи можно разделить по количеству фигур и по поставленной задаче. Также можно еще рассмотреть условие: одного цвета фигуры или разного.

2.2 Правила суммы и произведения

Большинство комбинаторных задач решаются с помощью двух основных правил: суммы и произведения.

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А, В) можно осуществить m • n способами. Это утверждение — правило произведения. [5 с 5]

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m + n способами. В этом случае общее число комбинаций равно сумме чисел комбинаций во всех классах. Это утверждение называют правилом суммы. [5 с 6]

Пример 1 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась по правилам игры комбинация?

Решение: Зная правила игры в шахматы, не сложно рассмотреть все расстановки. Во-первых, рассматриваются короли, а мы знаем свойства этой фигуры. Во-вторых, фигуры разного цвета (белый и черный король). И, в-третьих, фигуры не бьют друг друга. Из свойств шахматных фигур мы знаем, сколько и на каком поле находится под боем полей. Если первый король стоит на угловом поле, то под боем 3 поля, то на всех остальных полях второй король в «безопасности». И таких полей – 60. А угловых полей всего четыре (2 черных и 2 белых), Если один король стоит на любом из крайних полей, то под боем у него 5 полей, значит другой король на всех остальных 58 полях в «безопасности». А крайних полей всего 24 (12 белых и 12 черных). Ну а если один король стоит на любом другом поле, то под боем у него 8 полей. И значит другой король на всех остальных 55 полях в «безопасности». Таких полей 36. Таким образом, получаем число расстановок: 4(64 — 4) + 24(64 — 6) + 36(64 — 9) = 3612

Ответ: 3612

Если сменить условие.

Пример 2 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы фигуры били друг друга?

Решение: Тогда на угловых полях по три поля под боем, на крайних – по пять полей под боем, на остальных — по 8 полей под боем. Считаем число таких расстановок 4 • 3 + 24 • 5 + 36 • 8 = 420 Ответ: 420

Пример 3 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух королей одного цвета так, чтобы фигуры не били друг друга?

Решение: Так как на шахматной доске всего 64 поля. 32 из них белые и 32 черные. Если первый король стоит на угловом поле, то под боем 3 поля, то на всех остальных полях второй король в «безопасности». И таких полей – 60. А угловых полей одного цвета 2 (2 черных или 2 белых), Если один король стоит на любом из крайних полей, то под боем у него 5 полей, значит другой король на всех остальных 58 полях в «безопасности». А крайних полей одного цвета 12 (12 белых или 12 черных). Ну а если один король стоит на любом другом поле, то под боем у него 8 полей. И значит другой король на всех остальных 55 полях в «безопасности». Таких полей 18 (одного цвета). Считаем число таких расстановок

2 • 60 + 12 • 58 + 18 • 8 = 1806 Ответ: 1806

Получается, что число способов расставить королей одного цвета, чтобы они не били друг друга, в два раза меньше, чем число способов расставить королей разного цвета. Так как число рассматриваемых полей уменьшилось в двое. Получаем 3612 : 2 = 1806

Пример 4 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух королей одного цвета так, чтобы фигуры били друг друга?

Решение: Число способов расстановки фигур также будет в два раза меньше, чем для королей разного цвета. 420 : 2 = 210 Ответ: 210

А если рассматривать задачу, в которой не говорится о цвете фигур, то при подсчете числа способов необходимо рассмотреть оба случая, и когда фигуры разного цвета, и когда фигуры одного цвета.

Пример 5 Сколькими способами можно расставить двух короле, чтобы они не били друг друга?

Решение: Так как число расстановок двух королей разного цвета, которые не бьют друг друга, равно 3612, я число расстановок двух королей одного цвета, которые не бьют друг друга, равно 1806. То общее число расстановок 3612 + 1806 = 5418 Ответ: 5418

Пример 6 Сколькими способами можно расставить двух короле, чтобы они били друг друга?

Решение: Считаем число таких расстановок 420 + 210 = 630 Ответ: 630

Пример 7 Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?

Решение: • , где k = 12, n = 32, m = 20

• = • = Ответ:

Наряду с правилами суммы и произведения, для решения комбинаторных задач на шахматной доске применяются правила перестановки, сочетания, размещения.

Пример 8 Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

Решение: = ; где n=1+1+2+2+2=8,

k1 = 1, k2 = 1, k3 =2, k4 = 2, k5 = 2

= = = 5040 Ответ: 5040

Пример 9 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 ладей?

Решение: = ; где n = 64, k = 8

= = = 4 426 165 368 Ответ: 4 426 165 368

Пример 10 Сколькими способами можно разместить восемь ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

P8 = 8! = 1•2•3•4•5•6•7•8 = 40320 Ответ: 40320

У меня получилась следующая классификация найденных комбинаторных задач на шахматную тему: задачи можно разделить по количеству фигур и по поставленной задаче (бьют друг друга фигуры или нет). Так же можно еще рассмотреть условие: одного цвета фигуры или разного. (Приложение 10)

Источник