Сколькими способами можно рассадить за столом таню машу петю нарисуйте варианты

Сколькими способами можно рассадить за столом таню машу петю нарисуйте варианты

Комбинаторика для начинающих. МФТИ. Разбор ряда задач недель 2-3

Эти недели были о тех самых четырёх формулах сочетания и размещения.

В семье семеро детей: старший −мальчик, дальше − девочка, девочка, мальчик, мальчик, мальчик и младшая − девочка. Сколькими способами родители могут выбрать имена, если они выбирают из 10 мужских и 13 женских имен и хотят, чтобы имена не повторялись?
Ответ: 8648640.
Решение: можно отвлечься на перечисление детей по возрасту. Не стоит. Соль в их количестве и условии различия имён. Все. Следовательно, обращаемся к числу размещений без повторений, а по правилу умножения размещению 4 мужских имён из 10 известных соответственно 3 женских из 13.

Жених и невеста выбирают трехъярусный свадебный торт. На выбор имеются 5 типов ярусов (бисквитный, йогуртовый, чизкейк и т.д.). Сколько различных тортов может предложить кондитер, если бисквитных ярусов может быть не больше двух, а ярусов любого другого типа не больше одного?
Ответ: 72.
Решение: используем правило сложения и суммируем результаты по трём вариантам — бисквитных ярусов нет, он один, их два.
Если их нет, мы просто размещаем по трём слоям четыре типа. Нам нельзя иметь более одного одинакового слоя из оставшихся. Это размещение без повторений из 4 по 3. Равно 24.
Один ярус может быть занят 3 способами, кроме того, каждому варианту соответствует размещение из 4 уже по 2. Это 3*12=36.
Наконец, бисквитных ярусов два. Они так же могут быть в составе торта 3 способами (чисто интуитивно 1-2, 2-3, 3-1) и им соответствует размещение уже из 4 по 1. 3*4=12.
Итого 24+36+12=72.

В университете десятибальная система оценок: 1−2 −»неудовлетворительно», 3−4 − «удовлетворительно», 5−7 − «хорошо» и 8−10 −»отлично». Сколькими способами можно поставить оценки 5 студентам, если известно, что экзамен сдали все (т.е. нет неудовлетворительных оценок)?
Ответ: 32768.
Решение: задача уже на размещение с повторениями. Ведь оценок у нас хоть сколько, а студенты разные. Здесь варианты 88889 и 88988 это не одно и то же.
Если неудовлетворительных оценок нет, но мы рассматриваем лишь 8 вариантов оценивания, а не 10. И «разместить» эти оценки мы должны по 5 студентам. С возможными повторениями. То бишь, это 8^5.

Группа из 8 студентов пришла в столовую. Сколькими способами они могут занять очередь друг за другом, если Маша и Таня хотят стоять рядом, а Коля не хочет быть последним?
Ответ: 8640.
Решение: Машу и Таню разделять нельзя — они, хоть убей, должны стоять вместе. Давайте для удобства считать, что они японские студентки в коротких юбках и вдвоем пилотируют огромного робота. Можно сказать, что из 8 мест становится 7, так как студентов у нас как будто стало 7.
Но у Коли нет варианта встать на последнее место из 7. У него вариантов вообще 6 — все, кроме последнего.
У всех остальных нет подобных заоморочек. На остальные оставшиеся ребята могут разместиться 6! способами — не 7!, т.к. Коля явно очень голоден и последним в очереди не будет.
Уточним. Маша и Таня могут поменяться местами между собой. Поэтому нам надо не просто умножить 6 на 6!, но и ещё на 2 — есть большая разница между тем, кто пилотирует робота и тем, кто находиться за прицелом и ведёт огонь по вражеским силам. Поэтому 6*6!*2.

У королевы есть 12 одинаковых зеркал. Сколькими способами их можно повесить в 8 разных залах замка так, чтобы в каждом зале было хотя бы одно зеркало?
Ответ: 330.
Решение: внимательно прочитайте — ХОТЯ БЫ одно зеркало. То есть, или одно или два. Здесь нельзя вслепую выбрать сочетание (а порядок не важен и количество зеркал ограничено) 8 из 12. Нет.
Залов меньше, чем зеркал. Очевидно, будут залы с не одним зеркалом.
«Первые восемь» зеркал мы уже, давайте считать, повесили. Уточнение — да, залы разные, но сами зеркала одинаковые. Эти восемь взяли и повесили и, как потом не меняй их местами, суть не меняется.
А вот оставшиеся зеркала это уже другой вопрос. Их 4.
У нас есть 4 оставшихся зеркала. И 8 залов. Мы не обязаны раскидывать эти зеркала равномерно или через раз или ещё как. Мы вообще можем их все отнести в один зал. Это тонкий момент — если мы эти четыре зеркала можем отнести в один зал, то этот зал ПОВТОРЯЕТСЯ. Но при этом порядок тут не имеет значения.
Как вы уже догадываетесь — это сочетание с повторениями. Надо выбрать, в какой из восьми залов нести четыре зеркала. То есть, тут мы выбираем, по сути зал. Они разные, а зеркала одинаковые. Стало быть, это сочетание из 8 по 4 с повторами.

Сколькими способами в течение 5 дней можно выбирать на дежурство по 4 ученика из класса в 20 человек так, чтобы каждый день состав дежурных был разным?
Ответ: скрин.
Решение: легче, чем кажется. Без привязки к дням — как можно выбрать дежурных? Сочетание без повторений из 20 по 4. А дальше? А дальше просто из каждого нового дня вычитаем вариант, который был вчера. А затем это все умножить, ведь надо знать количество способов всего. И обратите внимание, как ловко сочетания тут свернулись в размещения.

Источник

Методическая разработка урока «Перестановки»

Департамент образования города Москвы

ГБОУ СПО Московский строительный техникум

проведения открытого урока

математики ГБОУ СПО МСТ

Леонтьева Татьяна Юрьевна

УТВЕРЖДАЮ Одобрена
Зам. директора по УМР цикловой комисссией ЕМД
_________ Председатель ПЦК

Составитель: Леонтьева Т.Ю. преподаватель математики высшей категории

Методическая разработка представляет собой разработку занятия по дисциплине математике с использованием средств ИКТ комбинированного типа – закрепления умений и навыков, полученных на предыдущих занятиях и в школе, и формирования новых знаний и умений.

Открытый урок по теме: « Перестановки » проводился с целью усвоения новых знаний и первичного закрепления знаний у студентов 1 курса по специальности 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений» .

Дисциплина имеет тесную взаимосвязь с общеобразовательными и специальными дисциплинами. Разработанная мультимедийная презентация позволяет представить учебный материал более доступно и понятно, помогает в повышении эффективности проведения открытого урока, а также в процессе восприятия и запоминания информации студентами.

Наглядность, исторические сведения и наличие меж предметной связи способствуют развитию познавательного интереса к математике, осознание значения математики в повседневной жизни человека, понимание её роли в современном мире. Этот урок относится к уроку получения новых знаний. Основываясь на свои знания, студентам предлагается выделить существенные признаки понятия перестановка, обобщить способ решения задач на подсчет количества возможных комбинаций, вывести формулу. При такой постановке задачи урока удается поддерживать интерес учащихся к предмету математика, каждый из них делает маленькое открытие. Организация усвоения знаний в форме решения задач в малых группах с последующей проверкой обеспечивает более комфортную обстановку для студентов, возможность работы в удобном для каждого темпе. Систематическая организация работы в группах на уроках позволяет формировать такие качества личности, как терпимость к одногруппникам, коммуникативность, формирует навыки работы в микроколлективе.

Итогом проведения открытого урока по дисциплине «Математика» является отработка общих и профессиональных компетенций, повышение интереса к будущей профессии.

Цель урока : Познакомить учащихся с новым разделом математики. Ввести понятия перестановки без повторений и перестановки с повторениями

Задачи : 1. Познавательная – познакомить обучающихся с понятиями: комбинаторика, факториал, перестановки без повторений и перестановки с повторениями, формировать навыки и умения вычисления значений выражений с факториалами, решать задачи.

2. Развивающая – учить анализировать и сравнивать, задавать вопросы.

3.Воспитательная – воспитывать аккуратность, внимательность, вежливость и дисциплинированность.

Тип: урок изучения нового материала.

Оборудование: технологическая карта учебного занятия, плакаты, приложение , мультимедийное оборудование, ПК.

1. Организационный Слайд 1-2. Проверка присутствующих на занятии.

Познакомить обучающихся с целью, задачами и основными видами деятельности на занятии. При решении некоторых заданий будем работать в минигруппах. Консультанты получают дополнительные оценки по результату работы групп. Назначаются консультанты.

2. Актуализация знаний

В математике есть задачи, в которых требуется из элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, составленных по определённому правилу. На практике часто приходится делать перебор определённого количества данных.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, прорабу при расстановке рабочих на объекте и т.д. В данном случае речь идёт о всевозможных комбинациях объектов. Задачи такого типа называются комбинаторными задачами.

Некоторые комбинаторные задачи решали в Индии во II веке до н. э., в Древнем Китае, позднее в Римской империи. Запишем определение.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе в XVIII веке. Ученик Лейбница Якоб Бернулли — швейцарский математик — один из основателей теории вероятностей и комбинаторики. В этом труде Якоб Бернулли впервые употребил термин «перестановки» (permutation) и термин «размещения» (arrangement) и были изучены свойства основных комбинаций комбинаторики.

3. Введение в тему Слайд 6-18.

Бурное развитие экономических приложений математики привело к возникновению и изучению обширного класса комбинаторных задач — задач на оптимизацию.

Решение комбинаторных задач — это перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения и выбором оптимального варианта решения задачи.

1. Мы на уроках комбинаторики при решении комбинаторных задач будем подсчитывать число решений.

Этот раздел комбинаторики называется теорией перечислений.

Для решения задач введём новое понятие — факториал.

Термин «факториал» происходит от латинского слова factor – производящий.

Произведение первых n натуральных чисел, т.е.1• 2 • 3 •…• n называют «n-факториал» и обозначают n! («эн факториал»)

1•2•3•…•n=n! Вычислите факториалы: 3! 4! 6!=

Факториалы в комбинаторике возникают очень часто. Поэтому принято считать, что если ответ выражен через факториал, то задача решена.

Как можно записать (n+1)! через(n+1)?

Главное свойство факториала (следует из определения): (n+1)!=(n+1)•n!

Подставим в эту формулу n=0.

Следствие: 1!=1, 0!=1

Слайд 11-18.Разбирается решение заданий вместе со студентами

а) ; б) ; в)

Работа в группах

а) , б) .

Задача. Антон, Борис и Виктор купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е, 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами мальчики могут занять эти места? Составьте перебор вариантов в виде таблицы

Перестановками без повторений из n элементов по n называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.

Как быстрее получить ответ? P ₃ = 3!

Перестановкой с повторениями состава из элементов называют соединение, в котором элемент a ₁ входит k ₁ раз, элемент а₂ входит k ₂ раз, …, элемент a _n входит k _n раз.

Обозначение:

Перестановки с повторениями содержат элементы близнецы. Замена одного близнеца на другого не приводит к изменениям.

Задача. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «толпа»? «перепевы»?

Что мы имеем в первом случае? Во втором?

4. Формирование новых навыков.

Закрепим полученные знания при решении задач.

Работа в парах Слайды 19-26.

1). Решить уравнения:

а) ; Подсчитайте 5!и3! ( 120 и 6)

-преобразуем уравнение по определению факториала (преподаватель записывает решение на доске) 114 х+5х=238

Как можно преобразовать дальше? 119 х=238 Как находим множитель х? х=2

б) .

Какая формула сокращённого умножения подходит для преобразования уравнения? Решите полученное уравнение.

2). Вычисление факториалов и комбинаторные задачи представлены в материалах ЕГЭ в разделе В. Решим комбинаторные задачи (ЕГЭ) (перестановки без повторений)

Решение проводим в группах. На столах листочки с дополнительными заданиями опережающим остальных студентам.

1. Прораб расставил 5 штукатуров по объектам. Сколькими способами можно это сделать?

2. Сколькими способами прораб может расставить 5 штукатуров так, чтобы 2 брата из них были рядом?

()

3. Сколькими способами прораб может расставить 5 штукатуров так, чтобы бригадир был в середине ?

()

Продолжим решение задач, но на перестановки с повторениями

Сколько слов можно получить, переставляя буквы в словах: сорока, молоток?

( , )

5. Сколькими способами можно разложить 28 различных предметов по 4 различным мешочкам так, чтобы в каждом мешочке было 7 предметов? ()

3). Для решения работают группами по 4 человека.

а) , б)

2 человека (представители минигрупп) идут к доске

4.) Решить уравнения: а) 2Р_х =12, б) . Студенты работают группами. 5 первых получают + к оценке за урок.

5. Постановка домашнего задания Слайд 28. Запишем задание на дом: из учебника М.И. Башмакова «Математика»

1. (1) гл. 4 (1) на вопросы 6,8 решение в тетради

2. Решить уравнения:

а) ; б).Уравнения решаются аналогично, решенным на уроке

6. Подведение итогов. Слайд 29-31. По результатам решения в группах выставим оценки.

Повторим, что же мы изучили. Ответьте на вопросы:

— С каким разделом математики сегодня познакомились?

— каково его основное свойство?

Чему равны 1! и 0! ?

— Что такое перестановки?

— Чем отличаются перестановки без повторений от перестановок с повторениями?

Закончим урок словами:

Высшее назначение математики — находить порядок в хаосе, который нас окружает.

-Спасибо за урок

Список литературы и сайтов

Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Элементы теории вероятностей и статистики, Ростов-на-Дону, Легион-М, 2011

М.И. Башмаков «Математика», учебник для учреждений начального и среднего профессионального образования – М. Издательский центр «Академия», 2010 г.

Н.В.Богомолов « Сборник задач по математике» — М.: Дрофа, 2008

Источник