Сколькими способами можно рассадить 12 гостей за одним столом

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

2. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

3. Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?

4. Решить уравнения

5. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

6. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

7. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

8. Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.

9. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

10. Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

11. Перед выпуском группа учащихся в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек.

12. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

13. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

14. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Теория вероятностей

1. В урне находиться 7 красных и 6 синих шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара красные (событие А)?

2. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом (событие С).

3. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов, один выигрышный.

4. из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

5. Ребенок играет с пятью буквами разрезной азбуки А, К, Р, Ш, Ы. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово «Крыша».

6. В ящике находятся 6 белых и 4 красных шара. Наудачу берут два шара. Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

7. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

1. Составить закон распределения числа попаданий в цель при шести выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4.

2. Вероятность того, что студент найдет в библиотеке нужную ему книгу, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые он посетит, если в городе четыре библиотеки.

3. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает делать не более четырех выстрелов. Найти дисперсию числа промахов, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7.

4. Найти математическое ожидание случайной величины X , если закон ее распределения задан таблицей:

Источник

Сколькими способами можно рассадить 12 гостей за одним столом

пЮЕОШ ЮБУФП Ч ТЕБМШОПК ЦЙЪОЙ чБН РТЙИПДЙФУС ТЕЫБФШ РТПВМЕНЩ УМЕДХАЭЕЗП ФЙРБ: ЛБЛ ЙЪ НОПЦЕУФЧБ, УПУФПСЭЕЗП ЙЪ n ЬМЕНЕОФПЧ, ЧЩВТБФШ ХРПТСДПЮЕООПЕ РПДНОПЦЕУФЧП ЙЪ m ЬМЕНЕОФПЧ. оБРТЙНЕТ, ЛБЛ ТБУУБДЙФШ ЪБ РТБЪДОЙЮОЩН УФПМПН 12 ЗПУФЕК, ЕУМЙ ЧУЕЗП 15 НЕУФ ?

пртедемеойе 1.3.1
хРПТСДПЮЕООПЕ m — ЬМЕНЕОФОПЕ РПДНОПЦЕУФЧП НОПЦЕУФЧБ ЙЪ n ЬМЕНЕОФПЧ ОБЪЩЧБЕФУС тбънеэеойен ЙЪ n ЬМЕНЕОФПЧ РП m.

фептенб 1.3.1
юЙУМП ТБЪНЕЭЕОЙК НОПЦЕУФЧБ ЙЪ n ЬМЕНЕОФПЧ РП m ТБЧОП

1-К ЬМЕНЕОФ НПЦОП ЧЩВТБФШ n УРПУПВБНЙ,

2-К — (n — 1) УРПУПВПН,

m-К — (n — (m — 1)) УРПУПВБНЙ.

уМЕДПЧБФЕМШОП, ПВЭЕЕ ЮЙУМП УРПУПВПЧ ЧЩВТБФШ ХРПТСДПЮЕООПЕ РПДНОПЦЕУФЧП ВХДЕФ ТБЧОП n (n — 1) . (n — (m — 1)).

хНОПЦЙН Й ТБЪДЕМЙН ДБООПЕ ЧЩТБЦЕОЙЕ ОБ (n — m)!:

пвпъобюеойе:

уЙНЧПМ ФБЛ Й ЮЙФБЕФУС: «юЙУМП ТБЪНЕЭЕОЙК ЙЪ n РП m».

умедуфчйе 1.3.1
m ТБЪМЙЮОЩИ РТЕДНЕФПЧ РП n НЕУФБН НПЦОП ТБУУФБЧЙФШ УРПУПВБНЙ.

ч ЮБУФОПУФЙ, РТЙЗМБЫЕООЩИ чБНЙ ЗПУФЕК НПЦОП ТБУУБДЙФШ УРПУПВБНЙ.

ъбдбюб 1.3.1 уФХДЕОФХ ОЕПВИПДЙНП УДБФШ 4 ЬЛЪБНЕОБ Ч ФЕЮЕОЙЕ 10 ДОЕК. уЛПМШЛЙНЙ УРПУПВБНЙ НПЦОП УПУФБЧЙФШ ЕНХ ТБУРЙУБОЙЕ ЬЛЪБНЕОПЧ? (рТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП Ч ДЕОШ УДБЕФУС ФПМШЛП ПДЙО ЬЛЪБНЕО.)

тЕЫЕОЙЕ ДБООПК ЪБДБЮЙ УЧПДЙФУС Л ПРТЕДЕМЕОЙА ЮЙУМБ УРПУПВПЧ ТБУУФБОПЧЛЙ 4-И ТБЪМЙЮОЩИ РТЕДНЕФПЧ РП 10 НЕУФБН. уМЕДПЧБФЕМШОП, ЮЙУМП УРПУПВПЧ УПУФБЧЙФШ ДБООПЕ ТБУРЙУБОЙЕ ТБЧОП:

ъбдбюб 1.3.2 уЛПМШЛП УМПЧ НПЦОП ПВТБЪПЧБФШ ЙЪ ВХЛЧ УМПЧБ жтбзнеоф, ЕУМЙ УМПЧБ ДПМЦОЩ УПУФПСФШ: Б) ЙЪ 8 ВХЛЧ; В) ЙЪ 7 ВХЛЧ; Ч) ЙЪ 3 ВХЛЧ? (нБФЕНБФЙЛБ РПД УМПЧПН РПОЙНБЕФ РТПЙЪЧПМШОЩК ОБВПТ ВХЛЧ).

Б) n = 8, m = 8. юЙУМП УРПУПВПЧ ТБЧОП = 8!.

В) n = 8, m = 7. юЙУМП УРПУПВПЧ ТБЧОП = 8!.

Ч) n = 8, m = 3. юЙУМП УРПУПВПЧ ТБЧОП = 336.

ъбдбюб 1.3.3 дЕУСФШ ЛТЕУЕМ РПУФБЧМЕОЩ Ч ТСД. уЛПМШЛЙНЙ УРПУПВБНЙ 2 ЮЕМПЧЕЛБ НПЗХФ: Б) УЕУФШ ОБ ОЙИ; В) УЕУФШ ТСДПН; Ч) УЕУФШ ФБЛ, ЮФПВЩ НЕЦДХ ОЙНЙ ВЩМП, РП ЛТБКОЕК НЕТЕ, ПДОП РХУФПЕ ЛТЕУМП?

Б) n = 10, m = 2. юЙУМП УРПУПВПЧ = 90.

В) пВПЪОБЮЙН ЬФЙИ ДЧХИ ЮЕМПЧЕЛ ХУМПЧОП и Й х.

ъБНЕФЙН, ЮФП ЮЙУМП УРПУПВПЧ ТБУУБДЙФШ ЙИ ФБЛ, ЮФПВЩ ПОЙ УЙДЕМЙ ТСДПН Й и ВЩМ УРТБЧБ ПФ х, ТБЧОП 9. бОБМПЗЙЮОП, ЮЙУМП УРПУПВПЧ ТБУУБДЙФШ ЙИ ФБЛ, ЮФПВЩ, и ВЩМ УМЕЧБ ПФ х, Й ПОЙ УЙДЕМЙ ТСДПН, ФПЦЕ — 9. (ч ЛБЦДПН ЙЪ ЬФЙИ УМХЮБЕЧ НЩ ЧЩВЙТБЕН НЕУФП ФПМШЛП ДМС и.) уМЕДПЧБФЕМШОП, ПВЭЕЕ ЮЙУМП УРПУПВПЧ: 9 + 9 = 18.

Ч) дМС РПМХЮЕОЙС ПФЧЕФБ ОБ РПУФБЧМЕООЩК ЧПРТПУ, ДПУФБФПЮОП ЧПУРПМШЪПЧБФШУС ТЕЪХМШФБФБНЙ, РПМХЮЕООЩНЙ Ч РХОЛФБИ Б) Й В). фП ЕУФШ, ЙЪ ПВЭЕЗП ЮЙУМБ УРПУПВПЧ ТБУУБДЙФШ 2-И ЮЕМПЧЕЛ РП 10 ЛТЕУМБН ЧЩЮЕУФШ ЮЙУМП УРПУПВПЧ ТБУУБДЙФШ ЙИ ФБЛ, ЮФПВЩ ПОЙ УЙДЕМЙ ТСДПН: 90 — 18 = 72.

ъБДБЮЙ ДМС УБНПУФПСФЕМШОПЗП ТЕЫЕОЙС.

ъбдбюб 1.3.1(у) чПУЕНШ НБМШЮЙЛПЧ ЧПДСФ ИПТПЧПД. ъБФЕН Л ОЙН РТЙУПЕДЙОСАФУС ЕЭЕ РСФШ ДЕЧПЮЕЛ. уЛПМШЛЙНЙ УРПУПВБНЙ ДЕЧПЮЛЙ НПЗХФ ЧУФБФШ Ч ЛПМШГП, ЕУМЙ ОЙЛБЛЙЕ ДЧЕ ДЕЧПЮЛЙ ОЕ ДПМЦОЩ УФПСФШ ТСДПН?

ъбдбюб 1.3.2(у) уЛПМШЛП ЮЕФЩТЕИЪОБЮОЩИ ЮЙУЕМ НПЦОП УПУФБЧЙФШ, ЙУРПМШЪХС ГЙЖТЩ 1, 2, 3, 4, 5; ЕУМЙ ЮЙУМБ ДПМЦОЩ ВЩФШ ОЕЮЕФОЩЕ Й РПЧФПТЕОЙК ГЙЖТ ВЩФШ ОЕ ДПМЦОП?

ъбдбюб 1.3.3(у) дПЛБЪБФШ, ЮФП ЮЙУМП ФТЕИВХЛЧЕООЩИ УМПЧ, ЛПФПТЩЕ НПЦОП ПВТБЪПЧБФШ ЙЪ ВХЛЧ, УПУФБЧМСАЭЙИ УМПЧП зйрпфеохъб, ТБЧОП ЮЙУМХ ЧУЕИ ЧПЪНПЦОЩИ РЕТЕУФБОПЧПЛ ВХЛЧ, УПУФБЧМСАЭЙИ УМПЧП ртйънб.

Источник

07. Перестановки

Рассмотрим частный случай, когда k=n. Соответствующее этому случаю размещение называется перестановкой.

Перестановками из n элементов называются такие комбинации, каждая из которых содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

Поясним это на следующем примере. Из этих трёх элементов: a, b и c. можно составить шесть перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Все приведённые перестановки отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Число перестановок n различных элементов обозначают символом Pn и равно

Пример 5.1. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

Решение. Будем считать выделенные книги за одну книгу. Тогда уже для шести книг существует P6=6!=720 перестановок. Однако четыре определенные книги можно переставить между собой P4=4!=24 способами. По принципу умножения имеем

P6P4 = 720×24 = 17280.

Пример 5.2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?

Решение. Рассматриваемое число может быть представлено как некоторая перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так как число перестановок из четырех цифр равно P4=4! и из них 3! перестановок начинаются с нуля, то искомое количество равно

4! – 3! = 3×3! = 3×1×2×3 = 18.

Пример 5.3. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Решение. Естественно предположить, что как мужчины, так и женщины различимы. Предположим также, что места за столом также различимы. Пронумеруем их. Если женщины займут чётные места n! способами, то мужчины будут занимать нечётные места тоже n! способами и наоборот. По правилу умножения получаем .

Если места за столом неразличимы, то стол можно поворачивать на одно место, то при этом расположение сидящих не изменится (такая ситуация имеет место, например, на карусели). Поскольку имеется n способов расположения стола относительно сидящих, то предыдущий результат нужно разделить на n.

Вопрос. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n супружеских пар, если супруги должны сидеть рядом?

5.1. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани 6 различных цветов и все стулья должны быть разного цвета.

Ответ: .

5.2. Дачник выделил на своём участке семь грядок для выращивания овощей, т. к. хочет иметь свои помидоры, огурцы, перец, лук, чеснок, салат и кабачки. Каждый вид должен иметь отдельную грядку. Сколькими способами он может расположить грядки для посадки?

Ответ: .

5.3. Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?

Ответ: .

5.4. В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?

Ответ:

5.5. Сколькими способами можно упорядочить множество <1,2,3,…,2n>так, чтобы каждое чётное число стояло на чётном месте?

Ответ: .

5.6. Четыре мальчика и четыре девочки рассаживаются в ряд на восемь подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на четные места, а девочки – на нечетные. Сколькими способами они могут это сделать?

Ответ: .

5.7. Сколькими способами можно посадить за круглый стол трех мужчин и трех женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Ответ: .

5.8. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если Б не должен выступать до того, как выступил А? Решите эту же задачу, если Б должен выступить сразу после А.

Источник

Сколькими способами можно рассадить 12 гостей за одним столом

2. Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

3. Сколькими способами можно выбрать двух студентов на конференцию, если в группе 33 человека?

4. Решить уравнения

8. Сколькими способами можно составить четырехцветные ленты из семи лент различных цветов.

9. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

10. Сколькими способами можно выбрать 3 из 6 открыток?

12. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

13. Сколько всего игр должны провести 20 футбольных команд в однокруговом чемпионате?

14. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Теория вероятностей

4. из колоды карт (52 карты) наудачу извлекают 3 карты. Найти вероятность того, что это тройка, семерка, туз.

Случайная величина, математическое ожидание и дисперсия случайной величины

4. Найти математическое ожидание случайной величины X , если закон ее распределения задан таблицей:

Источник