Сколькими способами можно поставить двух королей

а) Поставим сначала чёрную ладью. Это можно сделать 8 · 8 = 64 способами. Чтобы белая ладья её не била, надо поставить её в другие горизонталь и вертикаль, то есть свободных для неё горизонталей будет 8 — 1 = 7, и вертикалей тоже 8 — 1 = 7. То есть, поставить белую ладью при уже поставленной чёрной можно 7 · 7 = 49 способами. Так как на каждый из 64 способов поставить чёрную ладью будет 49 способов поставить белую, то всего способов поставить обе будет 64 · 49 = 3136.

б) Поставим сначала чёрного короля. Сколько способов тогда останется для постановки белого? Рассмотрим разные случаи:

Если чёрный король стоит в углу доски, то белого нельзя ставить на 4 клетки, то есть можно поставить на одну из 8·8 — 4 = 60 клеток. Углов в доске 4, то есть таких случаев, когда чёрный король стоит в углу, а белый его не бьёт, 4 · 60 = 240.

Дальше, если чёрный король стоит с краю доски (не в углу), то белого нельзя ставить на 6 клеток, то есть можно ставить на 64 — 6 = 58 клеток. На каждой из 4 сторон доски есть 8 — 2 = 6 клеток, где чёрный король будет стоять с краю, но не в углу, то есть всего таких вариантов растановки обоих королей будет 4 · 6 · 58 = 1392.

Наконец, если чёрный король стоит на внутренней клетке доски (они образуют квадрат со стороной 8 — 2 = 6, поэтому внутренних клеток будет 6 · 6 = 36), то белого можно поставить на одну из 64 — 9 = 55 клеток. Всего вариантов расстановки, где чёрный король стоит на внутренней клетке, будет 36 · 55 = 1980.

Итак, всего подходящих вариантов будет 240 + 1392 + 1980 = (200 + 40) + (1400 — 8) + (2000 — 20) = 1600 + 2000 + (40 — 20 — 8) = 3600 + 12 = 3612

Источник

Сколькими способами можно поставить двух королей

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и чёрного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

Решение

Белого короля можно поставить на любое из 64 полей. Однако количество полей, которые он при этом будет бить, зависит от его расположения. Поэтому необходимо разобрать три случая:
1) если белый король стоит в углу (углов всего 4), то он бьёт 4 поля (включая то, на котором стоит), и остается 60 полей, на которые можно поставить чёрного короля;
2) если белый король стоит на краю доски, но не в углу (таких полей – 24), то он бьёт 6 полей, и для чёрного короля остается 58 возможных полей;
3) если же белый король стоит не на краю доски (таких полей – 36), то он бьёт 9 полей, и для чёрного короля остается 55 возможных полей. Таким образом, всего есть 4·60 + 24·58 + 36·55 = 3612 способов расстановки королей.

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: «АСА»
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Комбинаторика-1
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	014

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Сколькими способами можно поставить двух королей

В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Выберем чашку. В комплект к ней можно выбрать любое из трех блюдец. Поэтому есть 3 разных комплекта, содержащих выбранную чашку. Поскольку чашек всего 5, то число различных комплектов равно 15 (15 = 5 • 3).

В магазине «Все для чая» есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?

Выберем любой из 15 комплектов предыдущей задачи. Его можно дополнить ложкой четырьмя различными способами. Поэтому общее число возможных комплектов равно 60 (60 = 15 • 4 = 5 • 3 • 4).

В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

В Стране Чудес есть четыре города: А, Б и В и Г. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги, Из города А в город Г – две дороги, и из города Г в город В – тоже две дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Выделим два случая: путь проходит через город Б или через город Г. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных маршрутов: в первом – 24, во втором – 6. Складывая, получаем общее количество маршрутов: 30.

В магазине «Все для чая» по-прежнему продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

Возможны три разных случая: первый – покупаются чашка с блюдцем, второй – чашка с ложкой, третий – блюдце и ложка. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных вариантов (в первом – 15, во втором – 20, в третьем – 12). Складывая, получаем общее число возможных вариантов: 47.

Назовем натуральное число «симпатичным» , если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «симпатичных» чисел?

Понятно, что однозначных «симпатичных» чисел ровно 5. К каждому однозначному «симпатичному» числу вторая нечетная цифра может быть дописана пятью различными способами. Таким образом, двузначных «симпатичных» чисел всего 5 • 5 = 25. Аналогично, трехзначных «симпатичных» чисел 5 • 5 • 5 = 125, и четырехзначных – 5 • 5 • 5 • 5 = 54 = 625.

Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

Каждую клетку квадратной таблицы 2 ? 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее «Спорт-про-г-ноз»? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет).

Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов.

Ответ: 3 + 3? + 3? + 34 = 120.

В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитаном может стать любой из 11 футболистов. После выбора капитана на роль его заместителя могут претендовать 10 оставшихся человек. Таким образом, всего есть 11 • 10 = 110 разных вариантов выборов.

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

Цвет для верхней полоски флага можно выбрать шестью разными способами. После этого для средней полоски флага остается пять возможных цветов, а затем для нижней полоски флага – четыре различных цвета. Таким образом, флаг можно сделать 6 • 5 • 4 = 120 способами.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Белую ладью можно поставить на любую из 64 клеток. Независимо от своего расположения она бьет 15 полей (включая поле, на котором она стоит). Поэтому остается 49 полей, на которые можно поставить черную ладью. Таким образом, всего есть 64 • 49 = 3136 разных способов.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

а) если белый король стоит в углу (углов всего 4), то он бьет 4 поля (включая то, на котором стоит), и остается 60 полей, на которые можно поставить черного короля;

б) если белый король стоит на краю доски, но не в углу (таких полей – 24), то он бьет 6 полей, и для черного короля остается 58 возможных полей;

в) если же белый король стоит не на краю доски (таких полей – 36), то он бьет 9 полей, и для черного короля остается 55 возможных полей.

Таким образом, всего есть 4 • 60 + 24 • 58 + 36 • 55 = 3612 способов расстановки королей.

Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?

Будем рассуждать точно так же, как при решении задач предыдущего цикла. На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе – любую из двух оставшихся, а на третье – последнюю оставшуюся цифру. Таким образом, всего получается 3 • 2 • 1 = 3! чисел.

Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

На первое место можно положить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 4 • 3 • 2 • 1 = 4!.

Задача 17: Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов сожно составить из слов

а) Так как все буквы слова различны, то всего можно получить 6! слов.

б) В этом слове две буквы И, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы И, обозначив их через И1 и И2. При этом предположении получится 5! = 120 разных слов. Однако те слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв И1 и И2, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего 120:2 = 60.

в) Считая три буквы А этого слова различными (А1, А2, А3), получим 8! разных слов. Однако слова, отличающиеся лишь перестановкой букв А, на самом деле одинаковы. Поскольку буквы А1, А2, А3 можно переставлять 3! способами, все 8! слов разбиваются на группы по 3! одинаковых. Поэтому разных слов всего 8!/3!.

г) В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествляя слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С, получаем 11!/2! различных слов. Отождествляя теперь слова, отличающиеся перестановкой букв С, получаем окончательный результат 11!/(2! • 3!).

д) Ответ: 10!/(3! • 2! • 2!).

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380. Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.

Сколько диагоналей в выпуклом n-угольнике?

Бусы – это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать, но не переворачивать. Сколько различных бус можно сделать из 13 разноцветных бусин?

Предположим теперь, что бусы можно и переворачивать. Сколько тогда различных бус можно сделать из 13 разноцветных бусин?

Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Вместо того, чтобы подсчитывать количество требуемых 6-значных чисел, определим количество 6-значных чисел, не обладающих нужным свойством. Так как это в точности те числа, в записи которых встречаются только нечетные цифры, то их количество, очевидно, равно 56 = 15625. Всего 6-значных чисел 900000. Поэтому количество 6-значных чисел, обладающих указанным свойством, равно 900000 – 15625 = 884375.

В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?

В киоске «Союзпечать» продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «КРУЖОК»?

На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 7 • 5 • 2 = 70

У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?

Ответ: 20 • 20 + 10 • 10 = 500

Сколько существует 6-значных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?

Ответ: 56 + 4 • 55

Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?

Ответ: 13 • 12 • 11 • 10

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?

Ответ: 5 + 5 • 4 + 5 • 4 • 3 + 5 • 4 • 3 • 2 + 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 325

Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

На танцплощадке собрались N юношей и N девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

Ответ: 18 • 17/2 = 153

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга а) две ладьи; б) двух королей; в) двух слонов; г) двух коней; д) двух ферзей?

Ответ: a) 64 • 49/2 = 1568 б) (4 • 60 + 24 • 58 + 36 • 55)/2 = 1806 в) (28 • 56 + 20 • 54 + 12 • 52 + 4 • 50)/2 = 1736 г) (4 • 61 + 8 • 60 + 20 • 59 + 16 • 57 + 16 • 55)/2 = 1848 д) (28 • 42 + 20 • 40 + 12 • 38 + 4 • 36)/2 = 1288

У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?

Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали шахматной доски комплект белых фигур (король, ферзь, две ладьи, два слона и два коня)?

Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трех букв Б?

Ответ: 1 + 6!/5!1! + 7!/5!2! + 8!/5!3! = 84

Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеется хотя бы две одинакоые цифры?

Решение: 9 • 109 – 9 • 9!

Каких 7-значных чисел больше: тех, в записи которых есть 1, или остальных?

Источник

В чем секрет решения комбинаторных задач на шахматной доске? (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3

Для того, чтобы облегчить выбор формулы для решения комбинаторных задач, я нашел хорошую подсказку на сайте МатБюро. Предложенную таблицу я немного изменил, и получилась схема для выбора формул комбинаторики. (Приложение 11)

Шахматная математика – один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений. Почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач или книге головоломок и математических досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют интересную историю. Шахматы в разные времена привлекали к себе внимание известных ученых. Например, задачей о ходе коня занимался великий математик Леонард Эйлер, а задачей о восьми ферзях — другой великий математик Карл Гаусс. С тех пор в течение целого века крупные математики не занимались шахматами. Ситуация резко изменилась в середине нынешнего столетия в связи с бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.

В результате исследования были сделаны следующие выводы: древняя мудрая игра – шахматы развивает память, логическое мышление, творческие способности человека. «В шахматах,– говорил великий русский писатель , – нужно дорожить не выигрышем, а интересными комбинациями». Наверное, именно этот большой простор для творчества так привлекает математиков к шахматам. Этим я объясняю свой интерес к данной теме.

У меня получилась следующая классификация найденных комбинаторных задач на шахматную тему: задачи можно разделить по количеству фигур и по поставленной задаче (бьют друг друга фигуры или нет). Так же можно еще рассмотреть условие: одного цвета фигуры или разного.

В работу я поместил лишь некоторые задачи. Но, по моему мнению, их достаточно для того, чтобы показать, как определить, к какому типу относится комбинаторная задача и не только на шахматную тему.

Проделанная работа для меня очень полезна, она обогатила мои знания в математике и в игре в шахматы. Надеюсь, что после тщательного изучения подобных задач, их решение не будет вызывать у меня особых затруднений.

Думаю, что собранный мною материал могут использовать, как учащиеся, так и учителя, при подготовке к олимпиадам, на занятиях, как математического кружка, так и на уроках математики при изучении комбинаторики. (Приложение 12, 13)

Книга одного автора

1. Виленкин . / – М.: издательство «Наука», 1969. – 328 с.: ил.

2. , , Виленкин . / , , – М.: ФИМА, МЦНМО, 2006. – 400 с.: ил.

3. , , Фомин математические кружки: пособие для внеклассной работы. / , , . – Киров, издательство «АСА», 1994. – 272 с.

4. Гик и математика. / . — М.: издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 176 с. – (Библиотечка «Квант». Вып. 24)

5. , , Семенова дискретной математики. Учебное пособие. /, , . – Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. , 2005, — 91 с.

6. Окунев задачи на шахматной доске. /. – М.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. – 89 с.

Источники, представленные в Internet:

7. Википедия. Свободная энциклопедия. (http://ru. wikipedia. org)

8. Лекции по дискретной математике. (http://www. studfiles. ru/dir/cat14/subj266/file9098.html)

9. Сочетания с повторениями. (www. matburo. ru)

10. Студопедия. Размещения с повторениями и без повторений (http:///7_15768_razmeshcheniya-s-povtoreniyami-i-bez-povtoreniy. html)

Чатурангой в древней Индии называлось войско, состоявшее из боевых колесниц (ратха) и слонов (хасти), конницы (ашва) и пеших воинов (падати). Игра символизировала битву с участием четырёх родов войск, которыми руководил предводитель (раджа).

В игре для четырёх игроков использовались комплекты фигур четырёх цветов: чёрные, зелёные, жёлтые и красные. Играли пара на пару. Каждый комплект содержал восемь фигур: раджу (короля), слона, коня, колесницу (аналог ладьи) и четыре пешки.

Не было таких понятий, как шах, мат и пат

Шахматы с крепостями

Белые и Черные — союзники, играют против Синих и Зеленых. Шашечница (см. рис.) ставится так, что у белого справа белая клетка. Белые и Черные ферзи ставятся на белые клетки, Синие и Зеленые — на черные. Игроки ходят последовательно белые — зеленые — черные — синие. У каждого игрока справа есть квадрат 4х4 (крепость), куда ставятся ладья, конь, слон, которые располагаются кто, где хочет.

Основные правила игры в четверные шахматы — такие же, как в классических шахматах. Отличия заключатся в следующем:
Игра ведется двое на двое. Игроки, сидящие друг против друга — союзники. Каждый играет только своими фигурами. Ходят поочередно, по часовой стрелке. Фигуры союзников взаимодействуют. Игрокам разрешается совещаться только в тот момент, когда одному из них дан мат.

Японские шахматы (Сёги, Shogi)

Играют два игрока, чёрные и белые (сэнтэ и готэ). Доска разделена на прямоугольные клетки или поля. Клетки никак не обозначены и не имеют цвета. Каждый игрок имеет набор из двадцати фигур. Фигура представляет собой плоский брусок дерева в форме обелиска (вытянутый пятиугольник), на обеих поверхностях которого иероглифами записано название фигуры. Все фигуры одноцветные, а различаются только по ориентации на доске

Китайские шахматы (Сянци)

В сянци играют на прямоугольной доске, расчерченной линиями по вертикали и горизонтали. Размер доски — 9×10 линий, причём фигуры ставятся в пересечения линий, а не на клетки. Между двумя центральными горизонталями находится река, которая влияет на движение генералов, советников (мандаринов) и слонов. Квадраты 3×3, отмеченные двумя диагональными линиями называются дворцы или крепости. Их не могут покидать генералы и советники.

разновидность шахмат, основанная на древнерусской игре таврели

Игра ведётся на обычной шахматной доске 8×8. Название фигур (таврелей) в русских шахматах отличается от принятых в международных шахматах названий, однако состав фигур и правила их передвижения практически полностью одинаковы.

Хелги — особая фигура в русских шахматах. В Хелги превращается ратник, стоявший в начале партии перед волхвом и достигший в ходе игры последней горизонтали противника. Хелги объединяет в себе свойства Князя и Всадника. Это самая сильная таврель в русских шахматах.

В Шведские шахматы играют две команды. Каждая команда состоит из двух игроков, играющих на двух отдельных досках, белыми на одной доске и черными на другой.

Партия состоит из двух игр, одновременно играемых на соответствующих досках.

Обе доски расположены друг около друга, а часы на внешних сторонах так, чтобы каждый игрок мог видеть время на обоих часах.

Гексагональные шахматы Глинского

Комплекты фигур соответствуют обычным шахматам, только каждой стороне добавляется ещё один слон и одна пешка. Правила движения фигур похожи на классические шахматы, если считать, что роль горизонталей выполняют косые линии полей, параллельные одной из невертикальных сторон доски, а роль диагоналей — линии полей одного цвета.

Рис 1. Рисунок на панцире священной черепахи

Классификация комбинаторных задач на шахматной доске

Выбор формул для решения комбинаторных задач

Примеры решения комбинаторных задач на шахматной доске

Задачи с ограничениями

Фигуры разного цвета. Не бьют друг друга

Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов выражается формулой 8mn – 12m – 12n + 16

Фигуры одного цвета. Не бьют друг друга

Пример 4 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух коней одного цвета так, чтобы они не били друг друга?

Решение: Так как фигуры рассматриваются одного цвета, то

2(64 – 3) + 4(64 – 4) + 10(64 – 5) + 8(64 – 7) + 8(64 – 9) = 1848

Ответ: 1848

Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов выражается формулой (m2n2 – 9mn + 12m + 12n – 16) : 2

Фигуры одного цвета. Бьют друг друга

Пример 5 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух коней одного цвета так, чтобы они били друг друга?

Решение: Так как фигуры рассматриваются одного цвета, то

2 • 2 + 4 • 3 + 10 • 4 + 8 • 6 + 8 • 8 = 168 Ответ: 168

Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов выражается формулой (8mn – 12m – 12n + 16) : 2

Пример 1 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась по правилам игры комбинация?

Решение: Зная правила игры в шахматы, не сложно рассмотреть все расстановки. Таким образом, получаем число расстановок:

4(64 — 4) + 24(64 — 6) + 36(64 — 9) = 36 Ответ: 3612

Пример 2 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного коней так, чтобы они не били друг друга?

Решение: Решение этой задачи осложняется тем, что на разных полях доски конь имеет различное число ходов.

4(64 – 3) + 8(64 – 4) + 20(64 – 5) + 16(64 – 7) + 16(64 – 9) = 3696

Ответ: 3696

Если рассматривать шахматную доску m × n, то число способов выражается формулой m2n2 – 9mn + 12m + 12n – 16

Фигуры разного цвета. Бьют друг друга

Пример 3 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного коней так, чтобы они били друг друга?

Решение: Так как фигуры бьют друг друга, то

4 • 2 + 8 • 3 + 20 • 4 + 16 • 6 + 16 • 8 = 336 Ответ: 336

Задачи без ограничений

Порядок важен. Выбирать все элементы.

Пример 6 Сколькими способами можно разместить восемь ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

P8 = 8! = 1•2•3•4•5•6•7•8 = 40320 Ответ: 40320

Примечание Для решения задачи с k ладьями, которые не бьют друг друга, для доски m × n, существует формула k! = .

Пример 7 Сколькими способами можно разместить три ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение: k = 3, m = 8, n = 8 = 18816 Ответ: 18816

Пример 8 Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

Решение: = ;

= = = 5040

Порядок не важен. Повторений нет.

Пример 9 Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 ладей?

Решение: = ; где n = 64, k = 8

= = = 4 426 165 368

Ответ: 4 426 165 368

Комбинаторные задачи на шахматной доске

1. Сколько существует способов разместить две ладьи на шахматной доске, так, чтобы они не смогли сбить друг друга?

2. Две ладьи находятся на шахматной доске так, что каждая из них может сбить другую. Сколько таких размещений?

3. Сколькими способами можно разместить восемь ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

4. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней) на первой линии шахматной доски (не соблюдая шахматные правила)?

5. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 ладей?

6. Сколько существует способов расположить 8 ладей, чтобы они были симметричны относительно центра доски.

7. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы при повороте доски на 900 они не меняли своего расположения.

8. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась по правилам игры комбинация?

9. Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черных полях шахматной доски?

10. а) Сколькими способами можно поставите 20 белых шашек на шахматной доске так, чтобы расположение не менялось при повороте доски на 90 градусов?

б) Сколькими способами можно поставить 20 белых шашек на крайние линии шахматной доски так, чтобы это расположение не менялось при повороте доски на 90 градусов?

11. а) Сколькими способами можно расставить 20 белых шашек на шахматной доске так, чтобы это расположение было симметрично относительно горизонтальной линии, делящей доску пополам?

б) То же самое при условии, что шашки ставятся на черные поля.

в) Решите те же задачи при условии, что расположение должно быть симметричным относительно центральной точки доски.

12. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного коней так, чтобы они не били друг друга?

13. Сколькими способами можно разместить три ладьи на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

14. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух коней одного цвета так, чтобы они били друг друга?

15. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску двух коней одного цвета так, чтобы они не били друг друга?

Источник