Сколькими способами можно поставить 8 шашек

Комбинаторика (стр. 4 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4

Решение. Общее число исходов находится из формулы сочетаний без повторений:

Если участник купил билет с одним номером, то для выигрыша необходимо, чтобы один из вынутых номеров совпал с номером на билете. Остальные 4 номера могут быть благоприятными. Но эти 4 номера выбираются из оставшихся 89 номеров. Поэтому число благоприятных комбинаций выражается формулой

Отсюда следует, что отношение числа благоприятных комбинаций к общему числу комбинаций равно

Ответ: .

Задачи для домашней работы

1. Сосчитайте, каково отношение «счастливых» билетов при игре, когда участник купил билет с двумя числами.

2. Сколькими способами можно составить набор из восьми пирожных, если имеется четыре сорта пирожных?

3. В классе имеется шесть сильных математиков. Сколькими способами из них можно составить команду на районную олимпиаду по математике, если от класса можно послать команду из четырех человек?

Ответы: 1. 2. 165. 3. 15.

Сочетания с повторениями

1. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 4 см, 5 см, 6 см и 7 см?

2. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длины ребер которых выражаются натуральными числами от 1 до 10?

Сочетания без повторений

1. Сколькими способами можно составить команду из четырех человек для соревнований по бегу, если имеется семь бегунов?

2. Сколькими способами можно выбрать пять делегатов из участников конференции, на которой присутствуют 15 человек?

3. Сколькими способами можно поставить восемь шашек на черные поля доски?

4. Сколькими способами можно поставить на черные поля 12 белых и 12 черных шашек?

5. У одного человека есть 11 книг по математике, у другого 15 книг. Сколькими способами они могут выбрать по три книги для обмена?

6. Сколькими способами можно распределить две одинаковые путевки между пятью лицами?

7. Сколькими способами можно присудить шести лицам три одинаковые премии?

8. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно:

а) назначать двух дежурных;

б) выбрать 28 человек для осеннего кросса.

Занятие 6. Решение задач

• закрепить навыки решения комбинаторных задач простейшего типа.

Задача 1. На плоскости проведено п прямых, причем никакие две из них не параллельны и никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые?

Решение. Каждая точка пересечения однозначно определяется парой проходящих через нее прямых. При этом порядок прямых роли не играет. Поэтому искомое число точек пересечения равно числу сочетаний из п по 2, то есть

Ответ:

Задача 2. В местком избрано девять человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Здесь идет речь о размещениях без повторений. Имеем

Рассуждать можно было по-другому. Нужно найти число кортежей длины 3 (на три должности выбирают). На первую должность выбираем из девяти человек, на вторую — из восьми человек, на третью — из семи человек. По правилу произведения получаем 9∙8∙7 = 504.

Задача 3. Из точек и тире составляют всевозможные кортежи длиной 7. Какое число различных кортежей можно составить?

Решение. Здесь имеем дело с размещениями с повторениями из двух элементов (тире и точки) по 7 (длина кортежа). Поэтому искомое число находится следующим образом:

Задача 4. Сколько различных браслетов можно сделать из пяти одинаковых изумрудов, шести одинаковых рубинов и семи одинаковых сапфиров (в браслет входят все 18 камней)?

Решение. Получаем перестановки с повторениями. Их число будет равно

Ответ:

Задача 5. Из 12 слов мужского рода, 9 слов женского и 10 среднего нужно выбрать по одному слову каждого рода. Сколькими способами может быть сделан выбор?

Решение. По правилу произведения находим, что искомое число равно 12 ∙ 9∙ 10 = 1080.

Задача 6. У профессора есть три любимых каверзных вопроса. В группе 20 студентов.

а) Профессор решил задавать каждому из студентов по одному из каверзных вопросов. Сколько есть возможностей провести опрос в группе?

б) Профессор решил наудачу по списку группы выбрать студента, чтобы задать ему первый вопрос, потом опять из всего списка выбрать второго студента, чтобы задать ему второй вопрос, потом так же выбрать третьего студента. Сколько у него возможностей провести опрос в этом случае?

в) Профессор решил спрашивать только троих студентов, каждому по одному вопросу (так, чтобы вопросы не повторялись). Сколько у него есть возможностей в этом случае?

Решение а) Здесь, кортеж длиной 20 (20 студентов), каждый элемент которого можно выбрать тремя способами (три вопроса). Значит, речь идет о размещениях с повторениями.

б) Кортеж длиной 3 (три вопроса), первый элемент можно выбрать 20-ю способами (20 студентов), второй элемент — 19-ю способами (осталось 19 неопрошенных студентов), третий — 18-ю способами. По правилу произведения определяем число возможностей: 20 ∙ 19 ∙ 18 = 6840.

Можно рассуждать по-другому. Речь идет о кортежах длиной 3 (три вопроса). Ни один элемент не может входить дважды. Следовательно, речь идет о размещениях без повторений.

в) Здесь профессор из 20 студентов выбирает троих. Следовательно, имеем сочетание без повторений.

Ответ: а) З20; б) 6840; в) 1140.

Задачи для домашней работы

1. Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида с марками. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

2. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?

3. Сколькими способами можно составить четырехцветный флаг из горизонтальных полос, имея четыре различных цвета?

4. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули десять карт. Сколькими различными способами это можно сделать?

Ответ: 1. 5 • 4 = 20. 2. = 60. 3. Р4 = 4! = 24. 4

Занятие 7. Решение задач

Цель занятия: закрепление навыков решения простейших комбинаторных задач.

Задача 1. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной горизонтали или вертикали?

Решение. Белый квадрат можно выбрать 32 способами (произвольными). Черный квадрат — 24 способами (из 32 вычитаем 8, лежащих на одной горизонтали или вертикали с выбранным белым). По правилу произведения получаем искомое число 768.

Задача 2. У одного человека есть семь книг по математике, у другого — девять книг. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

Решение. Найдем, сколько троек из семи книг можно составить у первого человека:

Число троек из девяти книг у второго человека равно

По правилу произведения находим число обменов: 35∙84 = 2940.

Задача 3. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (два короля, два слона, две ладьи, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?

Решение. Надо найти число кортежей длины 8, имеющих состав (2, 2, 2, 1, 1). Число таких перестановок с повторениями равно

Задача 4. 15 пронумерованных биллиардных шаров разложены по шести лузам. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Имеем размещения с повторениями из 6 элементов (в шесть луз) по 15 (15 шаров). Их число

равно

Ответ:

Задача 5. Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых?

Решение. Имеем кортежи длиной 3 (а, b, с). Элемент а может быть выбран 3 способами (три офицера) элемент b (два сержанта из шести) можно выбрать способами, элемент с (20 солдат из 60) —

способами. По правилу произведения находим число выбора исходных кортежей:

3∙30∙ =90∙.

Ответ: 90∙.

Источник

Практическое занятие на тему «Основные комбинаторные конфигурации»

Практическое занятие (2ч.)

Тема: Основные комбинаторные конфигурации .

научить применять комбинаторные конфигурации при решении задач;

сформировать умение находить нужную комбинаторную формулу при решении задачи;

формирование самостоятельности студента на занятии.

Математика / приложение к газете «Первое сентября», №15, 2004 г.

Стойлова Л.П. Математика.-М.: Изд. Центр Академия, 1997.

Прикладная комбинаторная математика.

Вариативная самостоятельная работа.

Повторение основных формул необходимых при решении комбинаторных задач.

Размещения с повторениями.

Задача 1. Сколько различных четырехзначных чи сел можно составить из цифр 2, 6, 7, 8 и 9, если каждая цифра может входить в комбинацию несколько раз?

Решение. Здесь порядок цифр существенен (2678 или 6278 — это разные числа). Поэтому имеем дело с кортежем длины 4 (четырехзначное число), каждый элемент которого можно выбрать пятью способами (цифр дано пять). Поэтому число различных комби наций равно 4 5 = 1024.

Задача 2. На референдуме предложены четыре вопроса, на которые надо ответить «да» или «нет». Сколько есть возможностей заполнения бюллетеня (на все вопросы надо дать ответ)?

Решение. Получаем кортеж длины 4 (столько во просов в бюллетене), каждый элемент может быть вы бран двумя способами («да» или «нет»). Поэтому число различных возможностей равно 2 4 =16.

Задача 3 . Неудовлетворенные решением Париса Гера, Афина и Афродита обратились к трем мудре цам с просьбой назвать прекраснейшую из них. Каж дый из мудрецов высказал свое мнение. Сколько мог ло возникнуть вариантов ответа на поставленный во прос у этой тройки?

Решение. Здесь вновь кортеж длиной 3 (три муд реца), каждый элемент которого может быть выбран шестью способами. Поэтому число различных возмож ностей равно 6 3 = 216.

Задача 4 . У Лены есть восемь красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими спосо бами она может это сделать, если собирается каждую букву раскрашивать одним цветом?

Решение . Кортеж длиной 8 (восемь букв), каждый элемент может быть выбран восемью способами (во семь красок). Поэтому число способов равно 8 8 .

Задача 5. На железнодорожной станции имеется я семафоров. Сколько может быть дано различных сигналов при помощи этих семафоров, если каждый семафор имеет три состояния: горит либо зеленый, либо желтый, либо красный свет.

Решение. Имеем кортеж длины n (дано n семафо ров), каждый элемент которого можно выбрать тре мя способами (каждый семафор имеет три состояния). Поэтому различных сигналов можно дать 3 n .

Задачи для домашней работы

Сколько букв русского алфавита можно зако дировать, используя лишь комбинации точек и тире, содержащие только три знака?

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Задача 1. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо составить команду из четырех чело век для участия в эстафете на 100 + 200 + 400 + 800 (м). Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Имеем кортежи длиной 4. Ни один элемент не может входить дважды (один бегун на один отрезок дистанции). Значит,

А 4 ₃₀ = =27·28·29·30 = 657 720.

Задача 2. Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника, используя буквы А, В, С, D , E и F ?

Решение. Имеем кортежи длиной 3 (у треугольника три вершины). Ни один элемент не может входить дважды. Значит,

А 3 ₅₌

Задачи для домашней работы

Сколько всего различных пятизначных чисел, не содержащих нуля?

В классе изучают девять предметов. Скольки ми способами можно составить расписание на поне дельник, если в этот день должно быть шесть разных уроков?

Перестановка без повторений.

Задача 1. Сколькими способами можно перестав лять друг с другом цифры 1, 2, 3 и 4?

Задача 2. За столом пять мест. Сколькими спосо бами можно рассадить пятерых гостей?

Задача 3. У Лены есть восемь разных красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если каждая буква должна быть раскрашена одним цветом и все восемь букв должны быть разными по цвету?

Решение. Присвоим каждой краске номер от 1 до 8. Тогда каждый искомый способ задается перестанов кой восьми чисел 1, 2, . 8. Значит, таких перестановок 8!. Поэтому она может написать «Новый Год» 8! = 40 320 способами.

Перестановка с повторениями.

Задача 1. У мамы два яблока и три груши. Каж дый день в течение пяти дней она дает сыну по одно му фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение. Р(2, 3) = 10.

Задача 2. Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в четыре одинаковых кон верта так, чтобы в каждом конверте было по семь открыток?

Решение. Пометим конверты цифрами 1, 2, 3 и 4. Тогда число различных раскладок равно

Р(7, 7, 7,7)=.

Сотрем пометки. Теперь конверты можно произволь но переставлять друг с другом, не меняя результата раскладки (теперь они неотличимы друг от друга). Так как число различных перестановок четырех кон вертов равно

Р ₄ = 4!, то число различных раскладок уменьшается в

Р ₄ = 4! раз и поэтому оно равно

Ответ:

Задачи для домашней работы

Сколько различных слов можно получить, пе реставляя буквы слова «ингредиент»?

Сколькими способами можно посадить за круг лый стол пять мужчин и пять женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

Автомобильные номера состоят из четырех цифр и трех букв. Найдите число таких номеров, если используются 32 буквы русского алфавита.

Ответы: 1 .226 800. 2 . 5! ∙ 5! = 14 400. 3. 10 3 ∙32 3 .

Сочетание с повторениями.

Задача 1. В кондитерском отделе продаются пи рожные четырех сортов: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить семь пирожных?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания с по вторениями из 4 (четыре вида пирожных) по 7 (столько пирожных покупают). Значит,

Ответ: 120 способов.

Задача 2. В почтовом отделении продают открыт ки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания с по вторениями из 10 по 12. Имеем

Сочетания без повторений.

Задача 1. Сколькими способами в игре «Спортло то» можно выбрать шесть номеров из 49?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания без повторения (одно число может быть по правилам игры выбрано не более одного раза) из 49 по 6.

Задача 2. У Робина — Бобина Барабека 40 соседей. Он решил пригласить двоих из них на обед. Сколько у него способов это сделать?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания без повторений.

Задача 3. Дама сдавала в багаж семь предметов, Все они оказались украденными, но два каких-либо (по ее выбору) ей согласились поискать. Сколько у нее есть возможностей выбрать два любимых предме та?

Задача 4. В прошлые века процветала генуэзская лотерея, сохранившаяся в некоторых странах и поныне. Участники этой лотереи покупали билеты, на которых стояло число от 1 до 90. Можно было ку пить и билеты, на которых было сразу 2, 3, 4 и 5 чисел. В день розыгрыша лотереи из мешка, содержащего жетоны с числами от 1 до 90, вынимали пять жетонов. Выигрывали те, у которых все номера на билетах были среди вынутых. Если участник лотереи покупал билет с одним из чисел, то он получал при выигрыше в 15 раз больше стоимости билета; если с двумя числами (амбо), то в 270 раз больше, если с тремя числами (терн) – в 5500 раз больше, если в четырьмя числами (катерн) – 75000 раз больше, а если с пятью числами (квин) – в 1000 000 раз больше, чем стоит билет. Каково отношение «счастливых» билетов при игре, когда участник купил билет с одним числом?

Решение. Общее число исходов находится из формулы сочетаний без повторений:

С 5 ₉₀ =

Ответ:

Задачи для домашней работы

Сочетайте, каково отношение «счастливых» билетов при игре, когда участник купил билет с двумя числами.

Сколькими способами можно составить набор из восьми пирожных, если имеется четыре сорта пирожных?

В классе имеется шесть сильных математиков. Сколькими способами из них можно составить команду на районную олимпиаду по математике, если от класса можно послать команду из четырех человек?

Ответы: 1. . 2. 165. 3. 15.

Источник