Сколькими способами можно поставить 8 ладей чтобы они не били друг друга

Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей?

Сколькими различными способами 8 ладей можно расположить на шахматной доске так, чтобы при этом каждая клетка оказалась либо занятой, либо под угрозой нападения, но чтобы ни одна ладья не была защищена другой ладьей? Один из возможных способов, для примера, показан на рисунке.

Ответ

Решение задачи

Очевидно, на каждой горизонтали и на каждой вертикали должна находиться лишь одна ладья. На первой горизонтали мы можем расположить ладью 1 из 8 способов. Куда бы мы ее ни поместили, вторую ладью на второй горизонтали мы сможем расположить 7 способами. Далее, мы можем расположить третью ладью 6 способами и т. д. Следовательно, число различных комбинаций равно 8×7×6×5×4×З×2×1 = 8! = 40320.

О задаче

• Категория: Шахматные задачи, Комбинаторика,
• Степень сложности: средняя.
• Ключевые слова: 8, ладья, шахматы,
• Источник: Кентерберийские головоломки, Математические игры и развлечения,

Скачать задачу

Вы можете скачать изображение с текстом задачи, поделиться им с друзьями в социальных сетях либо использовать в презентациях. Для скачивания, нажмите на картинке.

Оставить комментарий

Свои вопросы, комментарии, замечания и занимательные задачи присылайте через предложенную ниже форму.

Решите задачу

Узнайте сумму всех целых чисел от 1 до 100.

Занимательные задачи

Ещё больше занимательных задач собрано в следующих разделах:

Источник

Сколькими способами можно поставить 8 ладей чтобы они не били друг друга

Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

Решение 1

В каждой вертикали находится по одной ладье. Их положение определяется перестановкой горизонталей.

Решение 2

Ладья на первой горизонтали может занимать 8 разных положений. Если это положение фиксировано, то ладья на второй горизонтали может занимать уже только 7 положений. Аналогично для ладьи на третьей горизонтали остается 6 вариантов и т. д. Итого 8·7·6·5·4·3·2 = 8! способов.

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: «АСА»
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Комбинаторика-1
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	036
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика
параграф
Номер	3
Название	Размещения, перестановки и сочетания
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	02.038
кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	9
задача
Номер	9.2

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?

Условие
Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

Решение 1
В каждой вертикали находится по одной ладье. Их положение определяется перестановкой горизонталей.

Решение 2
Ладья на первой горизонтали может занимать 8 разных положений. Если это положение фиксировано, то ладья на второй горизонтали может занимать уже только 7 положений. Аналогично для ладьи на третьей горизонтали остается 6 вариантов и т. д. Итого 8·7·6·5·4·3·2 = 8! способов.

Источники и прецеденты использования
книга
АвторГенкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В.
Год издания1994
НазваниеЛенинградские математические кружки
ИздательствоКиров: «АСА»
Издание1
глава
Номер3
НазваниеКомбинаторика-1
ТемаКлассическая комбинаторика
задача
Номер036
книга
АвторАлфутова Н. Б., Устинов А. В.
Год издания2002
НазваниеАлгебра и теория чисел
ИздательствоМЦНМО
Издание1
глава
Номер2
НазваниеКомбинаторика
ТемаКомбинаторика
параграф
Номер3
НазваниеРазмещения, перестановки и сочетания
ТемаКлассическая комбинаторика
задача
Номер02.038
кружок
Место проведенияМЦНМО
класс
Класс7
год
Год2004/2005
занятие
Номер9
задача
Номер9.2

Если ладей считать неразличимыми:

каждая ладья занимает одну вертикаль и одну горизонталь. Так как ладьи неразличимы, то просто расставим их по горизонталям единственным способом.

Тогда первую ладью можно поставить на любую из 8 вертикалей. Для второй ладьи одна вертикаль будет уже занята и останется 7 вариантов. Продолжая рассуждать таким же образом, получим ответ: 8! способов (8*7*6*5*4*3*2*1)

Если ладьи различимы (все разные), то тогда и по горизонталям их можно расставить 8! способов и ответ превратится в (8!)^2

Источник

Сколькими способами можно поставить 8 ладей чтобы они не били друг друга

The Wickedest Science запись закреплена

Современная комбинаторика. Курс МФТИ. Разбор некоторых задач недели 1

Продолжаем ралли по дискретке, углубляемся в миры Ньютона и Дирихле. Данный курс является сиквелом «Комбинаторики для начинающих» — https://vk.com/wall-121236221_88 — и в первые две недели слушателям напоминают некоторые основы, но начинают и потихоньку усложнять. Так, здесь есть не только дополнительные лекции, но и дополнительные задачи, а контрольных в каждой неделе по две — на теорию и на практику. Восьмая неделя целиком выделена под экзамен.
Сабы на месте, презентаций нет, но и бог с ними. Есть конспект.
В неделях 3-8 видно новые сочные темы. Что ж, через месяц-другой посмотрим, что получится. А пока вспомним основы в новом свете. Это микс из дополнительных и стандартных задач.

Сколькими различными способами можно поставить 8 одинаковых ладей на шахматную доску, так, чтобы они не били друг друга?
Ответ: 8!
Ладья бьет по соответствующим вертикалям и горизонталям. Чтобы все фигуры были в «безопасности», достаточно расставить их по диагонали — по любой. На две диагонали вразнобой нельзя, будут друг друга бить. Итого 8!. Напомню, порядок не важен.

У мужа 12 знакомых − 5 женщин и 7 мужчин.У жены тоже 12 (других) знакомых − 7 женщин и 5 мужчин. Сколькими способами можно составить компанию из 6 мужчин и 6 женщин так, чтобы 6 человек пригласил муж и 6 − жена?
Ответ: 267148.
Здесь решают сочетания без повторения. Как я решал? Два столбика. В первом — выборы мужа, во втором выборы жены. Каждый выбирает 6 человек разных полов и при этом второй партнер «дополняет» выборы второго. Вот так:
6 мужчин и 0 женщин + 0 мужчин и женщин
5 и 1 — 1 и 5
4 и 2 — 2 и 4
3 и 3 — 3 и 3
2 и 4 — 4 и 2
1 и 5 — 5 и 1
Как выбрать вот это вот все? Понятное дело, через сочетания без повторения. Каждый выбор мужа соответствует выбору жены в той же строке. Затем все это суммируем. Очевидно, что выборы в одной строке симметричны и равны.
2*(7^2+105^2+350^2)=267148.

Источник

Сколькими способами можно поставить 8 ладей чтобы они не били друг друга

а) Поставим сначала чёрную ладью. Это можно сделать 8 · 8 = 64 способами. Чтобы белая ладья её не била, надо поставить её в другие горизонталь и вертикаль, то есть свободных для неё горизонталей будет 8 — 1 = 7, и вертикалей тоже 8 — 1 = 7. То есть, поставить белую ладью при уже поставленной чёрной можно 7 · 7 = 49 способами. Так как на каждый из 64 способов поставить чёрную ладью будет 49 способов поставить белую, то всего способов поставить обе будет 64 · 49 = 3136.

б) Поставим сначала чёрного короля. Сколько способов тогда останется для постановки белого? Рассмотрим разные случаи:

Если чёрный король стоит в углу доски, то белого нельзя ставить на 4 клетки, то есть можно поставить на одну из 8·8 — 4 = 60 клеток. Углов в доске 4, то есть таких случаев, когда чёрный король стоит в углу, а белый его не бьёт, 4 · 60 = 240.

Дальше, если чёрный король стоит с краю доски (не в углу), то белого нельзя ставить на 6 клеток, то есть можно ставить на 64 — 6 = 58 клеток. На каждой из 4 сторон доски есть 8 — 2 = 6 клеток, где чёрный король будет стоять с краю, но не в углу, то есть всего таких вариантов растановки обоих королей будет 4 · 6 · 58 = 1392.

Наконец, если чёрный король стоит на внутренней клетке доски (они образуют квадрат со стороной 8 — 2 = 6, поэтому внутренних клеток будет 6 · 6 = 36), то белого можно поставить на одну из 64 — 9 = 55 клеток. Всего вариантов расстановки, где чёрный король стоит на внутренней клетке, будет 36 · 55 = 1980.

Итак, всего подходящих вариантов будет 240 + 1392 + 1980 = (200 + 40) + (1400 — 8) + (2000 — 20) = 1600 + 2000 + (40 — 20 — 8) = 3600 + 12 = 3612

Источник