Сколькими способами можно положить 28 открыток

Комбинаторика (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

Задача 2. Сколькими способами можно перестав­лять друг с другом цифры 1, 2, 3 и 4?

Решение. Р4 = 4! = 24.

Задача 3. За столом пять мест. Сколькими спосо­бами можно рассадить пятерых гостей?

Решение. Р5 = 5! = 120.

Задача 4. У Лены есть восемь разных красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если каждая буква должна быть раскрашена одним цветом и все восемь букв должны быть разными по цвету?

Решение. Присвоим каждой краске номер от 1 до 8. Тогда каждый искомый способ задается перестанов­кой восьми чисел 1, 2,…, 8. Значит, таких переста­новок 8!. Поэтому она может написать «Новый Год» 8! = 40 320 способами.

Перестановки с повторениями

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть дан кортеж длины п, состав­ленный из элементов множества X = <х1,…, xk>. При­чем буква х1 входит в этот кортеж n1, раз,…, буква xk — пk раз. Тогда п = n1 + . + nk.. Если переставлять в этом кортеже буквы, то будут получаться новые кортежи, имеющие тот же состав. Эти кортежи назы­ваются перестановками с повторениями из букв x1,…xk, имеющими состав (n1, . nk). Число таких пе­рестановок обозначим Р(n1, . nk).

Р(n1, . nk)=

Упражнение. Вычислите: Р<2, 5, 3);

Решение. Р(2, 5, 3); п = 2 + 5 + 3 = 10, п1 = 2, n2 = 5, n3 = 3.

Р(2, 5, 3) =

Задача 1. Сколько различных кортежей получит­ся, если переставлять буквы слова «математика»?

Решение. Это слово имеет состав: м — 2, а — 3, т — 2, е — 1, и — 1, к — 1, то есть (2, 3, 2, 1, 1, 1), поэтому получим

Р(2, 3, 2, 1, 1, 1) =

Задача 2. У мамы два яблока и три груши. Каж­дый день в течение пяти дней она дает сыну по одно­му фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

Решение. Р(2, 3) =

Задача 3. Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в четыре одинаковых кон­верта так, чтобы в каждом конверте было по семь открыток?

Решение. Пометим конверты цифрами 1, 2, 3 и 4. Тогда число различных раскладок равно

Р(7, 7, 7, 7) =

Сотрем пометки. Теперь конверты можно произволь­но переставлять друг с другом, не меняя результата раскладки (теперь они неотличимы друг от друга). Так как число различных перестановок четырех конвертов равно Р4 = 4!, то число различных раскладок уменьшается в Р4 = 4! раз и поэтому оно равно.

Ответ:

Задачи для домашней работы

1. Сколько различных слов можно получить, пе­реставляя буквы слова «ингредиент»?

2. Сколькими способами можно посадить за круг­лый стол пять мужчин и пять женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?

3. Автомобильные номера состоят из четырех цифр и трех букв. Найдите число таких номеров, если ис­пользуются 32 буквы русского алфавита.

Ответы: 1. 226 800. 2. 5! • 5! = 14 400. 3. 103 • 323.

Перестановки с повторениями

1. Сколькими различными способами можно уса­дить за стол трех мальчиков и трех девочек так, что­бы никакие две девочки не сидели рядом?

2. Задача-шутка. Как-то раз в воскресенье семеро друзей зашли в кафе. Хозяин кафе сказал, что если друзья в каждое следующее воскресенье будут садить­ся по-разному и перепробуют все способы посадки, то с этого момента он обещает кормить всех мороженым бесплатно. Удастся ли друзьям воспользоваться пред­ложением хозяина кафе?

3. Сколькими способами можно разложить 28 раз­личных предметов по четырем различным ящикам так, чтобы в каждом ящике, оказалось по семь пред­метов?

4. Для премирования победителей математичес­кой олимпиады выделено три экземпляра одной кни­ги, четыре экземпляра другой и восемь экземпля­ров третьей. Сколькими способами могут быть рас­пределены эти премии между 30 участниками олим­пиады, если каждому вручается не более одной кни­ги?

5. Сколькими способами можно переставлять бук­вы слова «огород», чтобы три буквы «о» не шли под­ряд?

Перестановки без, повторений

1. Сколькими способами можно разместить 12 че­ловек за столом, на который поставлено 12 прибо­ров?

2. Сколькими способами можно установить дежур­ство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение семи дней?

3. Сколько пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 и 5 так, чтобы:

а) последней была цифра 4;

б) первой была цифра 2, а второй 3?

4. Имеется 10 книг, среди которых:

а) восемь книг разных авторов и двухтомник одного автора, которого не было среди предыдущих семи;

б) семь книг разных авторов и трехтомник восьмого автора.

Сколькими способами можно расставить эти кни­ги на полке так, чтобы книги одного автора не сто­яли рядом?

Занятие 5. Сочетания

• дать понятие сочетаний с повторениями и без повторений;

• закрепить тему при решении задач.

В начале урока разбираются задачи, заданные на дом.

Сочетания с повторениями

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Два кортежа называются эквивалентными, если они имеют одинаковый состав.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Классы эквивалентности, на которые разбивается вся совокупность кортежей длины k из п элементов, называются сочетаниями с повторениями п элементов по k, их число обозначают .

Упражнение. Вычислите:

Задача 1. В кондитерском отделе продаются пирожные четырех сортов: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить семь пирожных?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания с повторениями из 4 (четыре вида пирожных) по 7 (столько пирожных покупают). Значит,

Ответ: 120 способов.

Задача 2. В почтовом отделении продают открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?

Решение. Здесь рассматриваются сочетания с повторениями из 10 по 12. Имеем

Сочетания без повторений

ОПРЕЛЕЛЕНИЕ. Число k-подмножеств в п-множестве X называют сочетаниями из п по k. Число таких сочетаний обозначают .

Упражнение. Вычислите: .

Источник

Методическая разработка (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

18. Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в 4 одинаковых конверта так, чтобы в каждом конверте лежало по 7 открыток?

19. В почтовом отделении имеется 10 сортов открыток. Сколькими способами в нем можно купить 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

20. Сколько пятибуквенных «слов», каждое из которых состоит из трех согласных и двух гласных, можно составить из слова «уравнение»?

48 1680 105 241920 720 120 120 20 120; 30; 60 52488; 32768; 1024 59280 336 720 60; 24 75075 151200 «слов» (293930; 24310; 45) 1560

Вопросы для самопроверки

Что называют перестановками? По какой форме вычисляют число перестановок из n различных элементов? Что называют размещениями? По какой формуле вычисляют число размещений из n различных элементов по m элементов? Что называют сочетаниями? Но какой формуле вычисляют число сочетаний из n элементов по m элементов? Каким равенством связаны числа перестановок, размещений и сочетаний? По какой формуле вычисляется число перестановок из n элементов, если некоторые элементы повторяются? Какой формулой определяется число размещений по m элементов с повторениями из n элементов? Какой формулой определяется число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов?

Основы теории вероятностей.

Глава 2. Случайные события.

Классическое определение вероятности.

2.1. События. Классификация событий.

Опр 1. Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием.

Пример 1. опытом является подбрасывание монеты, а событиями «герб», «цифра на верхней ее стороне (когда монета упадет).

События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, .

Опр 2. Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте.

Пример 2. если в ящике находятся только голубые шары, то событие «из ящика извлечен голубой шар» является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).

Опр 3. Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в этом опыте.

Пример 3. если в ящике находятся только красные шары, то событие «из ящика извечен голубой шар» является невозможным (таких шаров в ящике нет).

Опр 4. Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте.

Пример 4. если в ящике находятся n голубых и m красных шаров, одинаковы по размеру, весу, то событие «из урны извлечен голубой шар» является случайным (оно может произойти, а может и не произойти, поскольку в урне имеются не только голубые, но и красные шары).

Замечание. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что одно и то же событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом — невозможным, в третьем — случайным. Говоря о достоверности, невозможности, случайности события, имеют в виду его достоверность, невозможность, случайность по отношению к конкретному опыту, т. е. к наличию определенного комплекса условий или действий.

Опр 5. Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте.

Пример 5. При подбрасывании двух симметричных монет, событие А • «герб на верхней стороне первой монеты» и В — «цифра на верхней стороне второй монеты» являются совместными.

Опр 6. Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании.

Пример 6. несовместными являются попадание и промах при одном выстреле.

Опр 7. Несколько событий называются несовместными, если они попарно-несовместны.

Опр 8. Два события называются противоположными, если — появление одного из них равносильно непоявлению другого.

Пример 7. противоположными являются события «герб» и «цифра» при одном подбрасывании симметричной монеты.

Опр 9. Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают . Например, если А — «попадание», то — «промах» при одном выстреле по мишени.

Опр 10. Множество событий называют полной группой событий, если они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием.

Пример 8. Рассмотрим события, появляющиеся при подбрасывании игрального кубика (т. е. кубика, на гранях которого записаны цифры 1,2, 3,4, 5, 6 или изображены знаки, соответствующие этим цифрам). Когда кубик упадет, то верхней гранью окажется грань с одной из этих цифр. Событие: «верхней гранью оказалась грань с цифрой k обозначим через (k= 1, 2, 3, 4, 5, 6). События образуют полную группу: они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием (когда кубик упадет, то только одна из граней окажется верхней, на ней написана только одна из цифр от 1 до 6).

Опр 11. События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другое.

Пример 9. при подбрасывании монеты событие А (появление цифры) и событие В (появление герба) равновозможны, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты (герб или цифра) окажется верхней. При подбрасывании игрального кубики события являются равновозможными, поскольку предполагается, что кубик изготовлен из однородного материала, имеет правильную форму и наличие цифр (или очков) на гранях не влияет на то, какая из шести граней окажется верхней.

Опр 12. Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием, или шансом).

Пример 10. события — элементарные исходы при подбрасывании кубика.

Опр 13. Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами.

Пример 11. При подбрасывании игрального кубика элементарные исходы являются благоприятствующими событию «выпало четное число очков».

Задача. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитываются суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.

Решение: Полную группу событий образуют равновозможные элементарные исходы (k, m), k, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, представленные в таблице. Элементарный исход (k, m) означает, что на первом кубике выпало k очков, на втором m очков (k, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Например, (3; 4) — на первом кубике 3 очка, на втором — 4 очка.

Источник