Сколькими способами можно отправить трем адресатам десять различных писем

04. Принцип сложения

Принцип сложения. Если элемент А можно выбрать из некоторого множества m способами, а другой элемент B – n способами, причём выборы А и В таковы, что взаимно исключают друг друга и не могут быть выбраны одновременно, то выбор какого-либо одного из этих элементов (либо А, либо В) можно осуществить (m+n) способами.

В качестве иллюстрации данного принципа рассмотрим следующий простой пример.

Пример 2.1. Пусть из города A в город B можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города A в город B?

Решение. Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3=6 способов.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий различие принципов умножения и сложения.

Пример 2.2. В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколько способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?

Решение. Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон – другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способов.

Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 3×2=6 способами.

Замечание. Обычно принцип сложения применяется в тех случаях, когда в задачах встречаются союзы «или», «либо, либо» (телевизор или видеомагнитофон), а принцип умножения – в задачах, содержащих союз «и» (телевизор и видеомагнитофон).

Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.

Пример 2.3. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин, после чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?

Решение. Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор способами.

Пример 2.4. Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В данной задаче мы должны рассмотреть три случая: а) все письма рассылаются по разным адресам, б) все письма посылаются по одному адресу, в) только два письма посылаются по одному адресу. Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n1=6×5×4=120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n2=6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n3=3×6×5=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно

N1+n2+n3 = 120+6+90 = 216 способами.

2.1. В урне содержится 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Сколькими способами можно вытащить из урны либо два белых шара, либо два цветных шара, из которых один синий, а другой – красный?

Ответ: Все шары различимы и порядок важен. Поэтому все способов .

2.2. Имеется 6 различных конвертов без марок, 4 различные марки и 3 различных конверта с марками. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма?

Ответ: .

2.3. Семья новоселов хочет приобрести письменный стол, книжный шкаф и диван. В мебельном магазине имеется 6 письменных столов, 4 книжных шкафа и 12 диванов, Кроме того, есть 2 гарнитура, содержащих письменный стол и диван, и 8 гарнитуров, содержащих книжный шкаф и письменный стол. Сколькими способами может быть сделана покупка?

Ответ: .

2.4. В букинистическом магазине лежат 6 разных изданий романа И. С. Тургенева «Рудин», 3 издания его романа «Дворянское гнездо» и 4 издания романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 разных сборников, в каждом из которых есть романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 сборников с романами «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?

А если в магазине есть ещё 3 сборника, содержащие романы «Рудин» и «Отцы и дети», и 5 книг, содержащих все три романа?

Решение: Можно купить либо по экземпляру каждого романа, либо сборник, содержащий два романа, и экземпляр третьего романа. Из принципов сложения и умножения получаем способа. Во втором случае можно купить ещё сборник, содержащий романы «Рудин» и «Отцы и дети», и один экземпляр «Дворянского гнезда», либо сразу все романы. Всего имеем способов.

При решении комбинаторных задач важно уметь выделять случаи, где можно использовать те или иные формулы. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов, например, урна, содержащая n различных шаров. Выборкой будем называть любую совокупность k элементов этого множества; другими словами, выбор k шаров из урны. Однако при постановке такого эксперимента должно быть строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками.

Существует две принципиально различные схемы выбора. В первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов. Это означает, что в выборке невозможны повторения элементов. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента при каждом шаге. Это означает, что в выборке возможны повторения.

После того как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы могут быть либо упорядочены, либо неупорядочены. В первом случае, выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но отличающиеся порядком следования этих элементов, объявляются различными. Во втором случае порядок следования элементов не принимается во внимание, и такие выборки объявляются тождественными.

В результате получаются четыре различные постановки эксперимента по выбору k элементов из общего числа n элементов некоторого множества.

Источник

КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА Надо послать 6 срочных писем?

Математика | 1 — 4 классы

КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА Надо послать 6 срочных писем.

Сколькими способами это можно сделать, если для пересылки можно использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

Любое письмо можно дать любому из 3 курьеров, то есть для доставки любого письма существует 3 варианта.

Всего писем 6, поэтому эта тройка умножается на себя 6 раз.

3 * на себя 6 раз, то есть 3 в 6 степени = 729 вариантов.

Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускаются не более одного письма ?

Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускаются не более одного письма ?

Из пункта А в пункт Б вышел первый курьер?

Из пункта А в пункт Б вышел первый курьер.

Одновременно с ним из пункта Б в пункт А вышел второй курьер.

Каждый шел с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, сразу же поворачивали обратно.

Первый раз курьеры встретились в 12 км от пункта Б, а второй в 6 км от пункта А через 6 часов после первой встречи.

Найдите расстояние между пунктами А и Б и скорость обоих курьеров.

Из 12 разведчиков надо послать в разведку четверых?

Из 12 разведчиков надо послать в разведку четверых.

Сколькими способами можно сделать выбор?

Курьер должен развести пакеты в семь разных учреждений?

Курьер должен развести пакеты в семь разных учреждений.

Сколько маршрутов он может выбрать?

Алеша хочет послать 5 разных фотографий пяти своим приятелям?

Алеша хочет послать 5 разных фотографий пяти своим приятелям.

Сколькими способами он может это сделать?

Сколькими способами можно разложить 7 различных писем по семи различным конвертам, если в каждый конверт кладётся только одно письмо?

Сколькими способами можно разложить 7 различных писем по семи различным конвертам, если в каждый конверт кладётся только одно письмо.

Алеша хочет послать 5 разных фотографии пяти своим приятелям?

Алеша хочет послать 5 разных фотографии пяти своим приятелям.

Сколькими способами он может это сделать?

Доставка товара из магазина домой по почте стоит 450 рублей, а курьером 9% от стоимости товара?

Доставка товара из магазина домой по почте стоит 450 рублей, а курьером 9% от стоимости товара.

На сколько процентов от начальной цены товар с доставкой курьером будет дороже его же с доставкой по почте, если стоимость товара 9000 рублей?

Два курьера идут навстречу друг другу и в пути встречаются ?

Два курьера идут навстречу друг другу и в пути встречаются .

Через 5 / 12 часа после их встречи расстояние между ними стало равным 3.

С какой скоростью движется первый курьер, если скорость второго 3.

Срочно?

Придумать (любую) комбинаторную задачу и решить её!

Вы перешли к вопросу КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА Надо послать 6 срочных писем?. Он относится к категории Математика, для 1 — 4 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Математика. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Вот не знаю правильно или нет. Но у меня так получилось)))).

1 / 3ч так как они работают вместе и работу они будут выполнять быстрее.

Рассмотрим треугольник CHB (∠CHB = 90°) : CH = 8 см, ВС = 10 см. По теореме Пифагора СВ² = НВ² + СН², значит НВ² = СВ² — СН² = 100 см² — 64 см² = 36 см, НВ = √36см = 6см. По тригонометрическим функциям острого угла ctg B = HB / CH = 6 / 8 = 3 / 4 (..

Семь двадцать четвертых. (1 / 3 + 1 / 4) * 1 / 2 = 7 / 12 * 1 / 2 = 7 / 24 = 0, 291(6)(6) — 6 в периоде.

3дм2 4см2 — 2см2 75мм2 = 30400мм2 — 275мм2 = 30125мм2 = 3дм2 1см2 25мм2 84а 95м2 + 18а 5м2 = 103.

987 : 3 = 329 наименьшее чисоло.

7, 7 т : 2 = 3, 85 т это 50% 5, 2 км 5, 2 * 140 : 100 = 7, 28 км 8790 руб * 5 % : 100 = 439, 5 руб 70 см ^ 2 * 18 % : 100 = 12, 6 см ^ 2.

Число делим на 100% А)3850кг б)7280км в)4395руб г)12. 6.

61 * 5 = 305км проехал за 5часов 73 * 7 = 511км проехал за 7часов 5 + 7 = 12часов автомобиль был в пути 305 + 511 = 816км проехал авто за 12часов 816 : 12 = 68км / ч средняяскорость автомобиль на протяжении всего пути.

Источник

КОМБИНАТОРИКА РАЗБИЕНИЙ. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.

КОМБИНАТОРИКА РАЗБИЕНИЙ. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 5.1. Восемь разных книг нужно расставить по трем полкам так, чтобы на одной полке оказалось 2 книги, а на двух других — по 3 книги. Сколькими способами это можно сделать?

Поскольку в данной формулировке полки не различимы, то речь идет о неупорядоченном разбиении множества книг на три подмножества мощности 2, 3 и 3. Параметры m ₁ = 1, m ₂ = 2, поэтому число разных способов расставить книги так, как это требуется в условии задачи, равно

Приведенные выше примеры показывают, как важно для решения задачи выбрать наиболее подходящую комбинаторную схему, правильно определить, какие именно комбинаторные операции требуется выполнить над исходным множеством. Иногда формулировка задачи допускает неоднозначное понимание того, какие результаты комбинаторной операции считаются одинаковыми, а какие – разными. В таких случаях нужно самостоятельно сделать необходимые уточнения.[24]

Задача 5.2. одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по 4 лункам (в одну лунку может поместиться любое число шаров). Сколько существует различных способов распределения 7 шариков по 4 лункам?[11]

Решение. Мы имеем 7 шариков, которые распределяем по 4 лункам (лунки могут быть пустые), т. е. это соответствует формуле о разбиениях = k n , число способов равно 4 7 = 16348.

Задача 5.3. Стадион имеет 4 входа. Сколькими способами болельщик может войти на стадион в один вход, а выйти через другой?[12]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях (3), число способов равно = 12.

Задача 5.4. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать? [11]

Решение. Это задача о разделе 28 костей между 4 игроками по 7 костей.

Используя формулу для числа способов такого раздела (3)

Задача 5.5. Сколькими способами можно разместить 4 книги на полке?[16]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях n !, число способов равно 4! = 1·2·3·4 = 24

Задача 5.6. Сколькими способами можно поставить в ряд 6 человек для выполнения их группового портрета? Сколькими способами можно это сделать, если поставить трех человек в переднем ряду и трех во втором?[12]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях n !, число способов равно 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720

Задача 5.7. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «лодка»?[12]

Решение. Слово «лодка» состоит из 5 различных букв. Значит можно воспользоваться формулой n !, число различных «слов» будет 5! = 1·2·3·4·5 = = 120.

Задача 5.8. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «математика»?[20]

Решение. Слово «математика» состоит из 10 повторяющихся букв: 3 буквы «а», 2 буквы «м», 2 буквы «т». Значит можно воспользоваться формулой (3), число различных «слов» будет = = 151200.

Задача 5.9. Сколько различных слов можно составить, переставляя буквы слова «комбинаторика»?[11]

Решение. Слово «комбинаторика» состоит из 13 повторяющихся букв: 2 буквы «к», 2 буквы «о», 2 буквы «и», 2 буквы «а». Значит можно воспользоваться формулой (3), число различных «слов» будет = = 389188800.

Задача 5.10. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки разные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?[13]

Решение. Воспользуемся формулой о разбиениях = , число способов равно = = = = 151200.

Задача 5.11. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов на студенческую конференцию из группы в 20 человек?[21]

Решение. Воспользуемся формулой = , число способов равно = = = =1140.

Задача 5.12. Сколькими способами можно расставить 40 различных книг по шести полкам так, чтобы не было пустых полок, если на полку помещаются все 40 книг?

Решение . В задаче опять важно, на какую полку, и в каком порядке расставляются книги, но теперь не должно быть пустых полок. Поэтому искомое число расстановок .[10]

Задача 5.13. Рассеянный почтальон должен разнести
12 писем по 12 адресам. Сколькими способами он может разложить письма по почтовым ящикам так, чтобы

а) ни один адресат не получил адресованное ему письмо;

б) ровно 5 человек получили адресованные им письма;

в) хоть один адресат получил адресованное ему письмо;

г) ровно один адресат получил адресованное ему письмо?

Решение . а) В силу предыдущей задачи искомое число способов .

б) Согласно формуле (1.6.12) искомое число способов равно .

в) Всего способов раскладки писем по ящикам, из них в случаях ни один адресат не получит адресованное ему письмо. Поэтому искомое число способов .

г) Очевидно, что такой ситуации быть не может.

Задача 5.14 ( задача о беспорядках ). Имеется различных предметов и различных ячеек . Требуется разместить предметы по ячейкам так, чтобы никакой предмет не попал в ячейку . Сколько существует таких способов размещения?

Решение . Примем за множество всевозможных раскладок предметов по ячейкам. Число таких раскладок равно числу перестановок из элементов, т.е. Условимся, что свойство означает: элемент находится в ячейке , . Тогда – число раскладок, при которых элемент находится в ячейке (), а – число раскладок, при которых никакой предмет не попал в ячейку . По формуле .

Задача 5.15. Контрольную работу по дискретной математике, содержащую три задачи, писали 105 студентов III курса. Первую задачу решили 70 человек, вторую – 59, а третью – 62. С первой и второй задачами справились – 39 студентов, со второй и третьей – 32, с первой и третьей – 41. Шесть человек не решили ни одной задачи. Сколько студентов полностью справились с контрольной работой?

Решение . Множество студентов примем за , а за свойства – решение студентом первой, второй и третьей задачи соответственно. Тогда , , , , , , . Подставляя эти значения в формулу (1.6.5), получим

6 = 105 – (70 + 59 + 62) + (39 + 32 + 41) – .

Задача 5.16. Имеются цветы трех видов: 10 васильков, 15 незабудок, 12 ромашек. Требуется разложить их на 2 букета.[11]

Решение. Васильки на 2 букета можно разложить 11 способами, незабудки — 16, ромашки — 13 способа ми. Поскольку расклад каждого вида цветов выполняется независимо, то общее число вариантов расклада будет: 11·16·13.

Задача 5.17. Из группы в 15 человек нужно отобрать бригаду, в которую должно входить не менее 5 человек. Сколько имеется вариантов выбора?

Решение. Подсчитаем число неблагоприятных комбинаций выбора, т. е. со ставим варианты бригад из 1, 2, 3, 4 человек. Их количество равно:

А общее количество бригад равно 2 15 – 1. Разность дает число благо приятных комбинаций.[17]

Задача 5.18. Трое мальчиков собрали 40 яблок. Сколько имеется способов раздела яблок между ними?

Решение. Напишем 40 единиц и 2 нуля, выполняющих как и ранее функции раз делителя, и затем начнем их переставлять всеми возможными спосо бами. Каждой перестановке будет соответствовать некоторый способ раздела 40 яблок на 3 кучки. Каждому способу раздела будет соответствовать некоторый код, содержащий 40 единиц и 2 нуля. Поэтому коли чество способов раздела:

Р(40,2) = 42!/(2!40!) = 861.

Задача 5.19. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

2365 способами можно взять 4 детали из ящика.

Ответ: 1365 способами

Задача 5.20. Восемь разных книг нужно расставить по трем полкам так, чтобы на верхней полке оказалась 1 книга, на средней полке — 3 книги, на нижней полке — 4 книги. Сколькими способами это можно сделать?

В данном примере множество из восьми книг разбивается на три непересекающихся подмножества мощности 1, 3 и 4. Согласно формуле (3) количество различных вариантов выполнить такое разбиение равно

Источник