Сколькими способами можно делегировать троих студентов

Содержание

Задачи по теме «Комбинаторика»
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Оставьте свой комментарий
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Подарочные сертификаты
Проверь себя
Похожие презентации
Решение комбинаторных задач. Сочетания

Задачи по теме «Комбинаторика»

Задачи для решения на закрепление нового материала

Задача № 1 . Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального

забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение : Р ₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая

цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение : Число всех перестановок из трех элементов равно Р ₃ =3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести

девушек на танец?

Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

Задача № 4 . Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только

Решение : В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из

трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти

элементов по три.

По формуле числа размещений находим:

Ответ : 504 трехзначных чисел.

Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все

возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7

человек. Искомое число способов равно

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов

распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение : А ₁₂ 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест. Ответ : 1320 вариантов.

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из

10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них

побежит в эстафете 4  100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

Р ₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача № 9 . Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10 . В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 — 9 учащихся, а в 11 — 8 учащихся. Для

работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора

учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

первой совокупности (С ₇ 2 ) может сочетаться с каждым вариантом выбора из

второй (С ₉ 3 ) ) и с каждым вариантом выбора третьей (С ₈ 1 ) по правилу

Ответ: 14 112 способов.

Задача № 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на

перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

очередь для игры в настольный теннис?

Решение : Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4  3  2  1=120 способов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 832 человека из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 298 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 609 человек из 76 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-212675

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Пензенские родители смогут попасть в школы и детсады только по QR-коду

Время чтения: 1 минута

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

Российские школьники завоевали пять медалей на олимпиаде по физике

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Проверь себя

Проверь себя! 1) Сколькими способами можно делегировать троих студентов на межвузовскую конференцию из 9 членов научного общества?

Слайд 52 из презентации «Элементы комбинаторики»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Элементы комбинаторики.ppt» можно в zip-архиве размером 1333 КБ.

Решение комбинаторных задач. Сочетания

Сочетания. Формула для числа сочетаний

Сочетания (без повторений)

Пусть множество Х состоит из n элементов.

Определение. Любое k -элементное подмножество Y множества Х называется сочетанием из n элементов по k .

Очевидно, что k должно быть не больше n .

Число всех сочетаний из n элементов по k обозначается символом и вычисляется по формуле:

(4)

В частности, что согласуется с тем, что у любого множества Х имеется только одно подмножество из нуля элементов ( пустое подмножество ), и только одно подмножество из n элементов (совпадающее с самим множеством X ).

При рассмотрении сочетаний очень мощно используется теория множеств!

Докажем формулу (4).

Пусть Y какое-либо произвольное подмножество множества Х , содержащее k элементов (то есть сочетание из n элементов по k ). Число таких подмножеств обозначим символом . Необходимо выяснить, чему равно это число.

Составляя, всевозможные перестановки из элементов этого множества Y получим k ! различных строк длиной k . Если указанную операцию проделать с каждым подмножеством Y содержащим k элементов, то получим всего различных строк, длиной k . С другой стороны, таким образом должны получиться все без исключения строки, длиной k без повторений, которые можно составить из элементов множества Х . Число таких строк равно , следовательно, . Выражая из этого равенства , получим:

. Формула (4) доказана.

Числа называют биномиальными коэффициентами – они входят в формулу бинома Ньютона, изучение которого также входит в программу по математике для профильных классов.

Числа обладают рядом замечательных свойств:

1. (доказывается непосредственно по формуле (4));

2. (можно доказать с помощью известной теоремы из теории множеств о том, что число различных подмножеств n — элементного множества равно 2 n ; другой способ доказательства — комбинаторный);

3. для любых (доказывается с помощью формулы (4)); на основе этого свойства строится знаменитый треугольник Паскаля.

Таблица 1.Треугольник Паскаля

Заметим, что Блез Паскаль называл числовой треугольник, начало которого содержится в таблице 1, арифметическим . Паскаль посвятил свойствам арифметического треугольника основополагающий «Трактат об арифметическом треугольнике» (1654). Справедливости ради, стоит упомянуть, что биномиальные коэффициенты были хорошо известны в Азии за много веков до рождения Паскаля. В Италии треугольник Паскаля называют треугольником Тартальи.

Из определения сочетания следует, что если спрашивается «Сколькими способами можно выбрать k объектов из n ?», то нужно отвечать: «числом способов».

Пример. Во взводе 5 сержантов и 50 солдат. Сколькими способами можно составить наряд из одного сержанта и трёх солдат.

Решение. Одного сержанта из пяти можно выбрать 5-ю разными способами. Для любого из этих способов выбора сержанта трёх солдат (порядок тройки не важен) из 50-ти можно выбрать числом способов. Тогда по правилу произведения весь наряд, то есть одного сержанта и трёх солдат, можно выбрать способами.

Подобные задачи очень часто встречаются в комбинаторике и в теории вероятностей. Поэтому рассмотрим модель этой задачи и её решение.

Пусть имеется n объектов I типа и m объектов II типа. Сколькими способами можно выбрать из них k объектов I типа и s объектов II типа?

Условие задачи рекомендуется оформить таблицей, чтобы не запутаться в числах при составлении числа сочетаний.

объектов

Тогда объектов I типа из можно выбрать числом способов. Для каждого из этих способов выбора объектов I типа объектов II типа из имеющихся можно выбрать числом способов. Применяя правило произведения, получаем ответ:.

Аналогично решается задача для объектов трёх, четырёх и т.д. типов.

К подобной задаче сводятся задачи, в которых известно общее количество имеющихся объектов и общее количество тех, которые нужно выбрать.

Пример. В классе 36 человек, из которых 6 – отличники. Сколькими способами можно разбить класс на два класса по 18 человек так, чтобы отличников в каждом классе было поровну?

Решение. Разбить класс на две части по 18 человек – это всё равно, что выбрать 18 человек из 36. Отобранные 18 человек составляют один класс, оставшиеся – другой. Оформим условие задачи в указанном выше виде.

I тип — отличники

Есть 36 человек:

27 не отличников

15 не отличников

Ответ: способов.

1. Ф. У лесника 3 собаки: Астра (А), Вега (В) и Гриф (Г). На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.

Это задача о выборе двух элементов из трех без учета порядка. Перечислим варианты выбора из А, Б, В по два: А, Б; А, В; Б, В. Если учащиеся знают формулу для числа сочетаний, то количество вариантов равно: =3.

Ответ: 3 варианта.

2. Ф. Сколько существует способов выбрать троих ребят из четверых желающих дежурить по столовой?

Количество сочетаний из 4 по 3 (порядок выбора не имеет значения) равно: = 4. Иначе можно рассуждать так. Вместо выбора троих дежурных выберем одного, который не будет дежурить, а трех оставшихся отправим на дежурство. Количество способов выбрать одного из четверых ребят равно 4.

Ответ: 4 способа.

М-задачи из уч. пособия А.Г.Мордковича

Т- под ред. С.А.Теляковского

3. Т. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Выбираем 2 учащихся из 7, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 7 по 2: способ.

Ответ: 21 способ.

4. Т. В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Выбор из 8 по 3 без учета порядка: = 56 способов.

Ответ: 56 способов.

5. Т. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Выбор 6 из 10 без учета порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

6. Т. Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий лабораторией должен остаться?

Из 11 человек 5 должны поехать в командировку.

а) Заведующий едет, нужно выбрать еще 4 из 10 оставшихся:способов.

в) Заведующий остается, нужно выбрать 5 из 10 сотрудников: способа.

Ответ: а) 210 способов; б) 252 способа.

7. Т. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими cnocoбами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Нужно сделать два выбора: 3 книги из 10 ( способов) и 2 журнала из 4 ( способов) ; порядок выбора не имеет значения. Каждый выбор книг может сочетаться с каждым выбором журналов, поэтому общее число способов выбора по правилу произведения равно: способов.

Ответ: 720 способов.

8. Т. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд трех человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) Иванов и Петров должны пойти в наряд обязательно;

б) Иванов и Петров должны остаться;

в) Иванов должен пойти в наряд, а Петров – остаться?

Выбираем три элемента из 12; порядок выбора не имеет значения (все трое идут в наряд).

а) Иванов и Петров идут в наряд, еще одного нужно выбрать из других 10 солдат; количество способов: С= 10.

б) Иванов и Петров не идут в наряд; троих идущих в наряд нужно выбрать из других 10 солдат; количество способов: способов.

в) Иванов идет в наряд, а Петров остается. Еще двоих, идущих в наряд с Ивановым, нужно выбрать из других 10 солдат ( Иванова и Петрова не считаем); количество способов:

Ответ: а) 10способов; б) 120 способов; в) 45 способов.

9. Т. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Нужно сделать два выбора: 4 мальчиков из 16 ( всего способов); порядок выбора значения не имеет ( все идущие на уборку равноправны). Каждый вариант выбора мальчиков может сочетаться с каждым выбором девочек,

Поэтому по правилу произведения общее число способов выбора равно:

способов.

Ответ: 400 400 способов.

10. В 9 «А» классе учатся 25 учащихся, в 9 «Б» -20 учащихся, а в 9 «В» — 18 учащихся. Для работы на пришкольном участке надо выделить трех учащихся из 9 «А», двух — из 9 «Б» и одного — из 9 «В». Сколько существует способов выбора учащихся для работы на пришкольном участке?

Выбор из трех совокупностей без учета порядка; каждый вариант выбора из первой совокупности () может сочетаться с каждым вариантом выбора из второй (С) и с каждым вариантом выбора из третьей (С); по правилу произведения получаем:

способов выбора учащихся

Ответ: 1 866 000 способов.

11. Т. Сколькими способами группу из 12 человек можно разбить на две группы: а) по 4 и 8 человек; б) по 5 и 7 человек?

Количество способов разбиения множества на две части равно количеству способов формирования одной из частей (любой). Поскольку порядок расположения элементов не учитывается, имеем:

а)способов разбиения на 4 и 8 элементов.

б) способов разбиения на 5 и 7 элементов.

Ответ: а) 495 способов; б) 792 способа.

Замечание. Задача иллюстрирует свойство биноминальных коэффициентов:

12. Т. В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?

Выбор из двух разных совокупностей без учета порядка; каждый вариант выбора из первой совокупности (их С) может сочетаться с каждым вариантом выбора из второй совокупности (их С), по правилу произведения общее число способов выбрать сотрудников, уезжающих в командировку, равно:

= 560 способов.

Ответ: 560 способов.

13. М. Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов, и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки.

а) Сколько встреч было между футболистами?

б) Сколько встреч было между хоккеистами?

в) Сколько встреч было между футболистами и хоккеистами?

г) Сколько встреч было всего?

а) Выбираем пары из 11футболистов без учета порядка; количество возможных встреч:

б) Выбираем пары из 6 хоккеистов без учета порядка; количество встреч равно:

в) Количество пар «футболист — хоккеист» найдем по правилу
произведения: выбрать 1 футболиста можно 11 способами, поел
этого выбрать одного хоккеиста можно 6 способами; количество
разных выборов «футболист, затем хоккеист» равно 11 = 66.Количество встреч между футболистами и хоккеистами равно 66.

г) Общее количество встреч равно количеству пар из 11 + 6 = 17 элементов без учета порядка: Понятно, что сумма первых трех величин должна равняться последней: 55+ 15 + 66 = 136.

Ответ: а) 55; б) 15; в) 66; г) 136.

14. М. В правильном 17-угольнике провели все диагонали.

а) Сколько всего получилось отрезков?

б) Сколько имеется сторон?

в) Сколько провели диагоналей?

г) Сколько всего диагоналей в выпуклом n -угольнике?
Решение.

Правильный многоугольник имеет 17 вершин; никакие три из этих 17 точек не лежат на одной прямой.

а) Общее число отрезков равно количеству пар из 17 точек без учета порядка :

б) Стороны соединяют только соседние точки (точки, расстояние между которыми наименьшее). Поэтому количество сторон равно количеству интервалов между 18 точками на прямой (чтобы получить замкнутую линию, будем считать, что 1-я и 18-я точки совпадают). Количество интервалов между n точками на прямой равно n — 1, поэтому количество сторон 17-угольника равно 18 — 1 = = 17.

Можно рассуждать иначе. Пронумеруем вершины 17-угольника. Из каждой вершины, начиная с первой, исходит сторона 17-угольника, которая заканчивается в следующей по номеру вершине. Сторона, исходящая из 17-й вершины, заканчивается в вершине № 1. Поэтому количество сторон равно количеству вершин, т. е. 17.

в) Диагональю 17-угольника будет отрезок, соединяющий каждую вершину с каждой из вершин, не являющихся соседними для данной, т. е. с 17 — 1 — 2 = 14 разными вершинами (мы вычли 1 -вершину, из которой исходит диагональ, и 2 — две соседние вершины). Таким образом, из каждой вершины 17-угольника исходит 14 диагоналей. Но произведение 17 будет включать каждую диагональ дважды (сначала как исходящую из i -й вершины в k -ю, потом как исходящую из k -й вершины в i -ю). Поэтому общее количество диагоналей равно = 119. Понятно, что количество сторон плюс количество диагоналей должно равняться количеству отрезков:

г) В выпуклом n -угольнике из каждой вершины можно провести n — 1 — 2 = n -3 диагонали; общее количество диагоналей равно (объяснение такое же, как в пункте в).

Ответ: а) 136; б) 17; в) 119; г)

15. М. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой.

а) Число рукопожатий равно числу различных пар из п элементов без учета порядка выбора, поэтому: 60 ; 6070; 120 — n 140;

Можно решать двойное неравенство и выбрать натуральное п из полученного интервала. Однако в этом простейшем случае легко находится подбором: n = 12. При n = 11 n 2 — n = 110, а при n = 13 n 2 — n = 156.

б) Если один человек не здоровался ни с кем, то пары образовывались из n — 1 элемента, т. е. 60; 120 ( n — 1) ( n — 2) 140; поскольку 1211 =132, то n = 13.

в) Если двое не поздоровались между собой, то количество рукопожатий было на 1 меньше: 60; 61
122п(п-1)142. Поскольку 1211 = 132, то n = 12.

Ответ: а) 12; б) 13; в) 12; г) 15.

Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах, — Ярославль: ЯГПУ , 1994.

Баврин И. И. Высшая математика: Учебник для студентов химико-математических специальностей педагогических вузов-2-е издание, переработанное. — М.:Просвещение, 1993.

Бунимович Е. А., Булычёв В.А. Вероятность и статистика. 5-9 классы: Пособие для общеобразовательных учебных заведений, — М.:Дрофа , 2005.

Виленкин Н. Я. и другие. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. — М.:Просвещение,1992.

Виленкин Н. Я. и другие. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики — М.:Просвещение, 1990.

Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 класс. Пособие для учителей. — М.: Просвещение 1983.

Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Математика 9:Алгебра. Функции. Анализ данных — М.: Дрофа, 2000.

Колягин и другие. Алгебра и начала анализа 11 класс. Математика в школе — 2002 — №4 — с.43,44,46.

Люпшкас В.С. Факультативные курсы по математике: теория вероятностей: Учебное пособие для 9-11 классов.- М.,1991.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов.- М.: Просвещение, 2005.

Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) – М.: Мнемозина, 2005.

Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов.- М.: Просвещение, 2005.

Источник

Сколькими способами можно делегировать троих студентов

Задачи по теме «Комбинаторика»

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Оставьте свой комментарий

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Подарочные сертификаты

Проверь себя

Похожие презентации

Решение комбинаторных задач. Сочетания