Сколькими способами могут распределиться призовые места среди 7 команд

Комбинаторика. Материал для педагогов. Задачи.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Задача 20.Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?

Р8= 8!=1· 2· 3· 4· 5· 6· 7· 8 = 40320 Ответ: 40320.

Задача 21.Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, возле которого поставлены 12 стульев?

Р12 = 12! = 479001600 Ответ: 479001600.

Задача 22.Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Р7 = 7! = 5040 Ответ: 5040.

Задача 23.Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1,2,3,4,5 при условии, что ни одна из них не повторяется?

Решение. Т.к. двузначные числа отличаются друг от друга или самими цифрами, или их порядком, то искомое количество равно числу размещений из пяти элементов по два: А²5 = 5· 4 = 20 Ответ: 20.

Задача 24.У нас есть 9 книг из серии «Занимательная математика». Сколькими способами можно подарить 3 из них?

Решение. 3 А9 = 9! = 504 (9-3)! Ответ: 504.

Задача 25.Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест, если в розыгрыше участвуют 7 команд?

А³7 = 7 ·6 ·5 = 210 Ответ: 210.

Задача 26.Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписании на день могут быть включены только три из них? 8

А³8 = 8 ·7· 6 = 336 Ответ: 336.

Задача 27.Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

А³5 = 5 ·4 ·3 = 60 Ответ: 60.

Задача 28.В городе проводится первенство по футболу. Сколько в нем состоится матчей, если участвуют 12 команд?

А²12 = 12· 11 = 132 Ответ: 132.

Задача 29.Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, если не допускать в одной фразе повторения звуков?

Музыкальные фразы отличаются одна от другой или нотами, или их порядком. Считаем, что фортепиано имеет 88 клавиш. 6 А88 = 88! = 390190489920 (88-6)! Ответ: 390190489920.

Задача 30.Сколько сигналов можно подать 5 различными флажками, поднимая их в любом количестве и в произвольном порядке?

1 2 3 4 5 А5+А5+А5+А5+А5= 5! + 5! + 5! + 5! + 5! = 325 (5-1)! (5-2)! (5-3)! (5-4)! (5-5)! Ответ: 325.

Задача 31.В тренировках участвовали 12 баскетболистов. Сколько различных стартовых пятерок может образовать тренер?

5 С12 = 12! = 7!·8·9·10·11·12 = 792 (12-5)!·5! 7!·1·2·3·4·5 Ответ: 792.

Задача 32.Сколькими способами можно заполнить лотерейный билет «5 из 36»?

5 С36 = 36! = 31!·32·33·34·35·36 = 376992 (36-5)!5! 31!·1·2·3·4·5 Ответ: 376992.

Задача 33.Сколькими способами читатель может выбрать 2 книжки из 6 имеющихся?

2 С6 = 6! = 5·6 = 15 4!2! 2 Ответ:15.

Задача 34.Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

3 1 С80 · С3 = 80! · 3! = 77!·78·79·80·3! = 246480 (80-3)!3! (3-1)!1! 77!·3!·2! Ответ: 246480.

Задача 35.Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствует 78 человек?

2 С78 = 78! = 76!·77·78 = 3003 (78-2)!·2! 76!·1·2 Ответ: 3003.

Задача 36.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5?

Решение. Т.к. порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то будут размещения с повторениями из 5 элементов по 3, а их число равно

3 3 А5 = 5 = 125 Ответ: 125.

Задача 37. В кондитерском магазине продают 4 сорта пирожных: эклеры, песочные, бисквитные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение. Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают пирожные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта.

7 С4 = (7+4-1)! = 10! = 120 7!(4-1)! 7!3! Ответ: 120.

Задача 38. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?

Решение. Всего 6 букв. Одинаковые буквы n«а» = 3, n«н» = 2, n«с» = 1. Р6(3,2,1) = 6! = 60 3!2!1! Ответ: 60.

Задача 39. Семь девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут встать в круг?

Решение. Если бы девушки стояли на месте, то их было бы Р7 = 7! = 5040. Но т.к. танцующие кружатся, то их положение относительно окружающих не имеет роли, важно лишь взаимное расположение, т.е.перестановки, переходящие друг в друга. Но из каждой перестановки можно получить еще 6 путем вращения — 7 мест 5040 : 7=720 различных перестановок девушек в хороводе. Р(вр.7) = (7-1)! = 720 Ответ: 720.

Задача 40.Сколко ожерелий можно составить из 7 бусинок?

Решение. Ожерелье можно не только вращать, но и перевернуть. Р(вр.и пов.) = (n-1)! 2 Р7 = (7-1)! = 6! = 720 = 360 2 2 2 Ответ: 360.

Задача 41.На сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры?

9 9 1) А4 = 4 = 262144

9 2) С4 = (9+4-1)! = 12! = 220 9!(4-1)! 9!3! Ответ: 262144; 220.

Задача 42.Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Всего букв в слове 9. Одинаковые буквы n«м»=1, n«и»=4, n«с»=3, n«п»=1 Р9(1,4,3,1) = 9! = 2520 1!4!3!1! Ответ: 2520.

Задача 43.В книжный магазин поступили романы Ф.Купера «Прерия», «Зверобой», «Шпион», «Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене. Сколькими способами библиотека может закупить 17 книг на выбранный чек?

17 С5 = (17+5-1)! = 21! = 5985 17!(5-1)! 17!4! Ответ: 5985.

Задача 44.Номер автомашины состоит из трех букв русского алфавита и трех цифр. Сколько различных номеров автомашин можно составить?

3 3 3 А33· А10 = 33·10 = 35937000 Ответ: 35937000.

Используемая литература: 1.А.Н.Мордкович,П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп.параграфы к курсу алгебры 7-9 кл.общеобразоват.учреждений.- 3-е изд. – М.:Мнемозина,2005. 2.А.Г.Климова,И.Н.Данкова,О.П.Малютина. Элективный курс для профильного обучения. (10-11 классы). Начала теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики.- Воронеж: ВОИПКРО,2006. 3.Журнал «Математика в школе» №5, №6, №7, 2011. 4.Учебно-методическая газета «Математика» №1, №7, 2008 ; №15, 2009.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 832 человека из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 298 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 609 человек из 76 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп.параграфы к курсу алгебры 7-9 кл.общеобразоват.учреждений.-

3-е изд. – М.:Мнемозина,2005.

Элективный курс для профильного обучения.

(10-11 классы). Начала теории вероятностей

с элементами комбинаторики и математической статистики.- Воронеж: ВОИПКРО,2006.

3.Журнал «Математика в школе» №5, №6, №7, 2011.

4.Учебно-методическая газета «Математика» №1, №7, 2008 ; №15, 2009.

Номер материала: ДБ-1501105

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

Российские школьники завоевали пять медалей на олимпиаде по физике

Время чтения: 1 минута

Российские адвокаты бесплатно проконсультируют детей 19 ноября

Время чтения: 2 минуты

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

С 2019 года закрыто более 50 детских лагерей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Задачи по теме «Комбинаторика»

Задачи для решения на закрепление нового материала

Задача № 1 . Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального

забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение : Р ₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая

цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение : Число всех перестановок из трех элементов равно Р ₃ =3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести

девушек на танец?

Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

Задача № 4 . Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только

Решение : В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из

трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти

элементов по три.

По формуле числа размещений находим:

Ответ : 504 трехзначных чисел.

Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все

возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7

человек. Искомое число способов равно

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов

распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение : А ₁₂ 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест. Ответ : 1320 вариантов.

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из

10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них

побежит в эстафете 4  100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

Р ₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача № 9 . Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10 . В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 — 9 учащихся, а в 11 — 8 учащихся. Для

работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора

учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

первой совокупности (С ₇ 2 ) может сочетаться с каждым вариантом выбора из

второй (С ₉ 3 ) ) и с каждым вариантом выбора третьей (С ₈ 1 ) по правилу

Ответ: 14 112 способов.

Задача № 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на

перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

очередь для игры в настольный теннис?

Решение : Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4  3  2  1=120 способов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 832 человека из 77 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 298 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 609 человек из 76 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-212675

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

Путин попросил привлекать родителей к капремонту школ на всех этапах

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Шойгу предложил включить географию в число вступительных экзаменов в вузы

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник