Сколькими способами могут быть расставлены 5 участников финального

Задачи для решения на закрепление нового материала Задача №1

Главная > Решение

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Задачи для решения на закрепление нового материала

Задача № 1 . Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального

забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение : Р 5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая

цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение : Число всех перестановок из трех элементов равно Р 3 =3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести

девушек на танец?

Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

Задача № 4 . Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только

Решение : В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из

трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти

элементов по три.

По формуле числа размещений находим:

Ответ: 504 трехзначных чисел.

Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все

возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7

человек. Искомое число способов равно

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов

распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение : А 12 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из

10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них

побежит в эстафете 4100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

Р 4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача № 9 . Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10 . В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 — 9 учащихся, а в 11 — 8 учащихся. Для

работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора

учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

первой совокупности (С 7 2 ) может сочетаться с каждым вариантом выбора из

второй (С 9 3 ) ) и с каждым вариантом выбора третьей (С 8 1 ) по правилу

Ответ: 14 112 способов.

Задача № 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на

перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

очередь для игры в настольный теннис?

Решение : Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4321=120 способов

Источник

Задачи по теме «Комбинаторика»

Задачи для решения на закрепление нового материала

Задача № 1 . Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального

забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение : Р ₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая

цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение : Число всех перестановок из трех элементов равно Р ₃ =3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести

девушек на танец?

Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

Задача № 4 . Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только

Решение : В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из

трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти

элементов по три.

По формуле числа размещений находим:

Ответ : 504 трехзначных чисел.

Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все

возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7

человек. Искомое число способов равно

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов

распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение : А ₁₂ 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест. Ответ : 1320 вариантов.

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из

10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них

побежит в эстафете 4  100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

Р ₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача № 9 . Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10 . В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 — 9 учащихся, а в 11 — 8 учащихся. Для

работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора

учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

первой совокупности (С ₇ 2 ) может сочетаться с каждым вариантом выбора из

второй (С ₉ 3 ) ) и с каждым вариантом выбора третьей (С ₈ 1 ) по правилу

Ответ: 14 112 способов.

Задача № 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на

перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

очередь для игры в настольный теннис?

Решение : Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4  3  2  1=120 способов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 813 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 287 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 599 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-212675

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В России выбрали топ-10 вузов по работе со СМИ и контентом

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Правительство предложило потратить до 1 млрд рублей на установку флагов РФ у школ

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

В российских школах оборудуют кабинеты для сообщества «Большой перемены»

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Решение комбинаторных задач. Размещения

Размещения. Формула для числа размещений

1) Размещения с повторениями

Если все элементы кортежа принадлежат одному и тому же множеству Х , то говорят о кортеже из элементов множества Х .

Пусть множество Х состоит из n элементов.

Определение. Кортеж длины k , составленный из элементов множества Х , называется размещением с повторениями из n элементов по k (в кортеже его элементы могут повторяться).

Число всех размещений с повторениями из n элементов по k зависит от n и от k (а не от природы множества Х ). Это число обозначается . Формула для его нахождения выводится с помощью правила произведения:

(1)

Пример. Сколько трёхзначных чисел может быть составлено из нечётных цифр?

Решение. Х = <1, 3, 5, 7, 9>, .

Трёхзначное число – это кортеж длины 3, составленный из элементов множества X , причем цифры в числе могут повторяться. Значит, этих чисел будет столько, сколько существует размещений с повторениями из 5 элементов по 3:

.

Заметим, что эту задачу можно было решить и с помощью правила произведения, которое работало бы и в том случае, если в условии поменять нечётные цифры на чётные. А вот понятие размещений и формула (1) в этом случае не сработали бы!

Замечание. Если повторения допускаются, то длина кортежа k может быть больше числа элементов множества Х .

2) Размещения без повторений

Пусть множество Х состоит из n элементов.

Определение. Кортеж длины k , в котором все элементы различны, составленный из элементов множества Х , называется размещением без повторений из n элементов по k (в кортеже элементы не повторяются!).

Так как повторения в кортеже не допускаются, то теперь k должно быть не больше n .

Найдём — число всех размещений без повторений из n элементов по k .

Для выбора элемента имеется n возможностей. После выбора элемента , элемент можно выбрать -м способом и так далее. Тогда

(2)

Пример. Сколько трёхзначных чисел может быть составлено из нечётных цифр так, чтобы цифры в каждом числе не повторялись?

Решение. Х = <1, 3, 5, 7, 9>, .

Трёхзначное число – это кортеж длины 3 без повторений, составленный из элементов множества X . Значит, этих чисел будет столько, сколько существует размещений без повторений из 5 элементов по 3:

.

1. Ф. Из трех стаканов сока — ананасового (а), брус­ничного (б) и виноградного (в) — Иван решил последовательно вы­пить два. Перечислить все варианты, которыми это можно сделать.

Это задача о выборе двух элементов из трех с учетом порядка выбора. Перечислим эти варианты:

Если учащимся известна формула для числа размещений, то количество вариантов равно: А вариантов.

Ответ: 6 вариантов.

2.Ф. Сколькими способами могут быть заняты пер­вое, второе и третье места (по одному человеку на место) на сорев­нованиях, в которых участвуют: 1) 5 человек; 2) 6 человек?

Это задача о выборе трех элементов из 5 или 6 с учетом поряд­ка выбора.

1)По правилу произведения 5 • 4 • 3 = 60 способов.

2)По правилу произведения = 120 способов. Если учащиеся знают формулу для числа размещений, то получаем соответственно:

A

A

Ответ: 1) 60 способов; 2) 120 способов.

М-задачи из уч. пособия А.Г.Мордковича

Т- под ред. С.А.Теляковского

3. Т. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Пронумеруем места в купе (с № 1 по № 4) и будем «выдавать» каждому из трех членов семьи номер места. Из 4 элементов (номе­ров мест) будут делаться выборки по 3 элемента, при этом важен не только состав выборки, но и порядок расположения в ней элемен­тов (кто именно и на каком месте поедет). Число способов равно числу размещений из 4 по 3:

Можно рассуждать, непосредственно применяя правило произ­ведения: для первого члена семьи можно выбрать любое из 4 мест, для второго — любое из 3 оставшихся, для третьего — любое из двух оставшихся, всего способа рассадить семью в купе.

Ответ: 24 способа.

4. Т. Из 30 участников собрания надо выбрать предсе­дателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Из 30 элементов выбираем 2, причем порядок выбора имеет значение. Количество способов выбора равно A = 30 • 29 = 870 способов.

Ответ: 870 способов.

5. Т. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Выбор из 8 по 3 с учетом порядка: A = 336 способов.

Ответ: 336 способов.

6. Т. На станции 7 запасных путей. Сколькими спосо­бами можно расставить на них 4 поезда?

Выбираем из 7 запасных путей 4 пути для размещения на них поездов; порядок выбора имеет значение: A= 840 способов.

Ответ: 840 способов.

7. Т. Сколькими способами можно изготовить трех­цветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?

Выбираем из 7 разноцветных материалов 3 полосы для флага; порядок выбора имеет значение (флаги из трех одинаковых цветов, расположенных в разном порядке, — разные).

A= 210 способов.

Ответ: 210 способов.

8. Т. На соревнования по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4×100 м на первом, вто­ром, третьем и четвертом этапах?

Выбор из 12 по 4 с учетом порядка: A= 11 880 способов.

Ответ: 11880 способов.

9. М. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?

Выбираем 3 призеров из 15 участников конкурса с учетом порядка (кому какая премия):

A= 2 730 способов.

10. Т. Сколькими способами 6 студентов, сдающих эк. замен, могут занять места в аудитории, в которой стоит 20 одноме­стных столов?

Выбираем 6 столов для студентов из 20 имеющихся: порядок выбора учитывается (кто сидит у окна, кто около преподавателя и т. п.):

А= 27 907 200 способов.

Ответ: 27 907 200 способов.

11. Т. На странице альбома 6 свободных мест для фо­тографий. Сколькими способами можно вложить в свободные мес­та: а) 2 фотографии; б) 4 фотографии; в) 6 фотографий?

а) Выбираем 2 места для фотографий из 6 свободных мест в альбоме: А= 30 способов.

б) Выбираем 4 места для фотографий из А= 360 способов.

в) Выбираем 6 мест из 6 (делаем всевозможные перестановки из 6 фотографий):

А= 6! = 720 способов.

Ответ: а) 30 способов; б) 360 способов; в) 720 способов.

12. М. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозна­чить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сде­лать (в латинском алфавите 26 букв)?

Выбираем 5 букв для обозначения точек из 26 букв в алфавите; порядок выбора имеет значение (какую точку какой буквой обо­значим): А= 7 893 600 способов.

Ответ: 7 893 600 способов.

13. Т. Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4,

а) Выбираем 4 цифры из 5 данных; порядок выбора имеет значение: А= 120 чисел.

б) Выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать ноль.

Используем метод исключения лишних элементов: если на пер­вое место выбран ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем А = 24 «нулевых» комбинаций, которые недопустимы.

Количество четырехзначных чисел, которые можно составить из данных 5 чисел, равно:

А = 120 — 24 = 96 чисел.

Можно рассуждать, непосредственно используя правило про­изведения: первый выбор — 4 варианта, второй выбор — 4 варианта (включая ноль), третий выбор — 3 варианта, четвертый выбор -2 варианта. Всего 4 • 4 • 3 • 2 = 96 чисел.

Ответ: а) 120 чисел; б) 96 чисел.

14. Т. Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:

а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

а) Выбираем 3 цифры из 7 (без 6 и без 7) с учетом порядка вы­бора; число вариантов: А == 210 чисел.

б) Фиксируем цифру 8 на последнем месте; на остальные два места перед ней можно выбрать любые 2 цифры из 8 оставшихся ( с учетом порядка выбора). Количество вариантов: А = 56 чисел.

Ответ: а) 210 чисел; б) 56 чисел.

15. М. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Выбираем из 10 цифр семь, причем первый выбор делается из 9 цифр (без нуля). Используя метод исключения лишних вариантов, получаем: АА 544 320 номеров.

Ответ: 544 320 телефонных номеров.

16. Т. Сколько различных трехзначных чисел (без по­вторения цифр) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, таких, кото­рые являются: а) четными; б) кратными 5?

Выбираем 3 цифры из 5 данных, причем:

а) последней цифрой должна быть 2 или 4; количество вариантов А (фиксирована 2) + А (фиксирована 4) = = 24 числа;

б) последней цифрой должна быть 5; количество вариантов рав­но А (фиксирована 5) = = 12 чисел.

Ответ: а) 24 числа; б) 12 чисел.

17. Т. Номер машины в некотором городе состоит из двух различных букв, взятых из набора М, Н, К, Т, С, и трех раз­личных цифр. Сколько машин можно обеспечить такими номерами?

Выбираем (без повторений) 2 буквы из 5 и 3 цифры из 10; по­рядок выбора учитывается (номера 012 КТ и 102 ТК — разные). Ко­личество способов: выбор букв: А = 20; выбор цифр: А = 720.

Каждый вариант выбора букв может сочетаться с каждым вари­антом выбора цифр, поэтому по правилу произведения общее чис­ло способов равно: А720 = 14 400 способов.

Ответ: 14 400 способов.

18.Т. Сколько команд участвовало в финале первен­ства, если известно, что каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на поле со­перника, причем всего было сыграно 30 игр?

Поскольку каждая пара команд сыграла между собой по две иг­ры (на своем и на чужом поле), то выбор пары осуществляется с учетом порядка, т. е. составляются всевозможные размещения из n по 2. По условию задачи А n = , n = 6.

19. Т. Из группы туристов требуется выбрать дежур­ного и его помощника. Если туристов было бы на одного больше, то возможностей выбора было бы в 1,25 раза больше. Сколько ту­ристов в группе?

Выбор пары из совокупности с учетом порядка (размещения). По условию задачи: По условию задачи А(n — 1) , n+1=1,25; 4(n+1)=5(n-1); n=9

Ответ: 9 туристов.

20. Ф. Сколькими способами четыре пассажира -Алексеев, Смирнов, Федоров и Харитонов — могут разместиться в Девяти вагонах поезда, если:

а) все они хотят ехать в разных вагонах;

б) Алексеев и Смирнов хотят ехать в одном вагоне, а Федоров и Харитонов — в других вагонах, причем различных?

Вагоны поезда пронумерованы; осуществляется выбор 4 из 9 вагонов для размещения пассажиров; порядок выбора имеет значение (каждому пассажиру сообщаем номер вагона).

б) Двое едут в одном вагоне, а двое — в других, причем различных. «Склеиваем» два элемента из 4; количество способов размеще­ния равно: А= 504.

Ответ: а) 3 024 способа; б) 504 способа.

21. Ф. Высказать гипотезу о числе всевозможных раз­биений п элементов на 3 группы.

Поступим следующим образом. Сопоставим каждому из п эле­ментов свою ячейку, в которую будем записывать номер группы, в которую будет помещен этот элемент. Получим линейку из п ячеек, в каждой из которых может быть записана либо 1, либо 2, либо 3:

Источник