Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди десяти соревнующихся

Схемы выбора конечного числа элементов из заданного множества.

Дата добавления: 2014-03-24 ; просмотров: 9272 ; Нарушение авторских прав

Правило умножения и правило сложения.

Комбинаторика.

История возникновения теории вероятностей.

Предмет теории вероятностей.

6. Элементы комбинаторики: сочетание, размещение, перестановка.

Каждодневный опыт убеждает нас в том, что в обыденной жизни, практических ситуациях, а также в научных исследованиях постоянно приходится сталкиваться с положениями, когда привычные нам закономерности строгого детерминизма, уже не имеют места. При решении многих задач нам приходится учитывать и случайные факторы, придающие исходу элемент неопределенности. Например, при стрельбе из орудия по цели наблюдается так называемое рассеивание снарядов. Уклонение очки попадания снаряда от центра цели заранее указать нет возможности – оно случайно. Невозможно предсказать, какая сторона выпадет при бросании монеты. Одной констатации факта наличия случайности для уверенного использования явлений природы или управления технологическими процессами совершенно недостаточно, необходимо научиться количественно оценивать случайные явления, прогнозировать их течение. Этим занимаются две математические науки – теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям.

Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений. То есть теория вероятностей рассматривает не сами реальные явления, а их упрощенные схемы – математические модели. Под случайным явлением понимают явление, предсказать исход которого невозможно (при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта оно протекает каждый раз несколько по-иному).

Возникновение теории вероятностей относится к середине 17 в. и связано с попыткой создания теории азартных игр. Первую книгу по теории вероятностей «О расчетах в азартной игре» опубликовал голландский математик Х.Гюйгенс. Становление теории вероятностей как науки связано с именами Якоба Бернулли, К. Гаусса, П Лапласа, С. Пуассона. Ученые были убеждены в том, что на базе массовых случайных явлений могут возникать четкие закономерности.

С половины 19 столения развитие теории вероятностей связано в значительной мере с именами русских ученых – В.Я Бунявского ( был написан им первый в Росси курс теории вероятностей), П.Л.Чебышева, А.А.Маркова, А.М.Ляпунова. ими было введено в качестве объекта систематического изучения и широко использовано понятие случайной величины.

В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы.

Во многих задачах классической теории вероятностей используется комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются различные соединения (комбинации) элементов конечных множеств.

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух важных правил:

1. Правило умножения: если из некоторого конечного множества первый объект (элемент ) можно выбрать способами, а второй объект (элемент ) — способами, то оба объекта ( и ) в указанном порядке можно выбрать способами.

Это правило распространяется на случай трех и более объектов.

Пример. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся?

Решение. Имеется 16 различных способов распределения 1-го места. После того как первое место занято, осталось 15 соревнующихся, претендующих на 2-ое место. После занятия второго места, осталось 14 спортсменов, претендующих на 3-е место. Так как нам надо распределить 1-ое и 2-ое и 3-е места среди соревнующихся, то воспользуемся правилом умножения: (способов).

Ответ. Существует 3360 способов распределения трех призовых мест среди 16 соревнующихся.

Пример. Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколько имеется различных возможных комбинаций выбранных очков?

Решение. Первая кость – 6 возможных комбинаций, вторая кость – 6 возможных комбинаций, третья кость – 6 возможных комбинаций. Так как одновременно подбрасываются 1-ая кость и 2-я и 3-я, то воспользуемся правилом умножения: (способов).

Ответ. При подбрасывании одновременно трех игральных костей имеется 216 способов различных возможных комбинаций выпавших очков.

2. Правило сложения: если некоторый объект можно выбрать способами, а объект — способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов ( или ) можно выбрать способами.

Данное правило распространяется на любое конечное число объектов.

Пример. Сколькими способами можно выбрать один цветок из корзины, в которой имеется 12 гвоздик, 15 роз и 7 хризантем?

Решение. Одну гвоздику мы можем выбрать 12 способами, одну розу – 15 способами, одну хризантему – 7 способами. Так как выбрать надо только один цветок из корзины, то это будет или 1 гвоздика или 1 роза или 1 хризантема. Воспользуемся правилом сложения: 12+15+7=34 (способа).

Ответ. Один цветок из корзины можно выбрать 34 способами.

Пример. В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать для вручения призов двух студентов одного пола?

Решение. Сначала найдем сколькими способами для вручения призов можно выбрать двух девушек их 12. Воспользуемся правилом умножения: (способа). Теперь найдем сколькими способами можно выбрать двух юношей: (способов). Так как по условию задачи призы вручают или две девушки или два юноши, то воспользуемся правилом сложения: 132+240=372 способа.

Ответ. Для вручения призов двух студентов одного пола можно выбрать 372 способами.

Решение вероятностных задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу элементов из различных элементов рассматриваемого множества.

Существует две схемы выбора элементов ( ) из исходного множества:

· без возвращения – выбранные элементы не возвращаются в исходное множество;

· с возвращением – выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

Элементы комбинаторики (схема выбора без возвращения).

Пусть имеется множество из различных элементов, т.е. элементы имеют или разные названия или разные номера. Пусть , .

Определение. Сочетанием из элементов по элементов называется любое подмножество, которое содержит элементов, взятых из данных элементов.

Из определения следует, что сочетания – это выборки (комбинации), каждая из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов, и которые различаются друг от друга только элементами, входящими в них; порядок, в котором они расположены не имеет значения.

Число различных сочетаний из элементов по можно найти по формуле

Значения могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

Источник

Задачи по теме «Комбинаторика»

Задачи для решения на закрепление нового материала

Задача № 1 . Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального

забега на 5-ти беговых дорожках?

Решение : Р ₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая

цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение : Число всех перестановок из трех элементов равно Р ₃ =3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести

девушек на танец?

Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И

варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,

считаются разными, поэтому:

Задача № 4 . Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только

Решение : В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из

трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти

элементов по три.

По формуле числа размещений находим:

Ответ : 504 трехзначных чисел.

Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все

возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7

человек. Искомое число способов равно

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов

распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение : А ₁₂ 3 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест. Ответ : 1320 вариантов.

Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из

10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них

побежит в эстафете 4  100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

Р ₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Задача № 9 . Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10 . В 9 классе учатся 7 учащихся, в 10 — 9 учащихся, а в 11 — 8 учащихся. Для

работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

трех – из 10, и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора

учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

первой совокупности (С ₇ 2 ) может сочетаться с каждым вариантом выбора из

второй (С ₉ 3 ) ) и с каждым вариантом выбора третьей (С ₈ 1 ) по правилу

Ответ: 14 112 способов.

Задача № 11. Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и Оля побежали на

перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

очередь для игры в настольный теннис?

Решение : Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

правилу умножения у пяти учащихся существует 5· 4  3  2  1=120 способов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 812 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 286 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 599 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-212675

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В МГУ разрабатывают школьные учебники с дополненной реальностью

Время чтения: 2 минуты

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

ЕСПЧ запретил учителям оскорблять учеников

Время чтения: 3 минуты

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник