Сколькими способами могут быть распределены первая

Элементы комбинаторики (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

Ответ: 215= 32768 вариантов

2. Имеется 6 карандашей шести разных цветов. Сколькими способами эти карандаши могут быть распределены между двумя школьниками?

Решение: Задача сводится к подсчёту числа всевозможных способов разбиения шести различных элементов (карандашей) на две группы. Это число равно 26 = 64.

Ответ: 64 способами.

3. Каждая из 5 подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькими различными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?

Решение: Подсчитаем все варианты составления одной группы. Согласно правилу умножения комбинаций (вариантов) из «посетивших кинотеатр» или «посетивших каток» будет 25.

Ответ: 25= 32 варианта.

4. У Антона шесть друзей. Он может пригласить в гости одного или нескольких из них. Определите общее число возможных вариантов.

Решение: Разобьём множество из 6 элементов на две группы: приглашённых и неприглашённых. Расположим всех друзей в ряд, и под именем каждого друга будем писать 0, если этот друг не приглашён, и 1, если он приглашен. Получим шестизначные наборы нулей и единиц. Общее количество таких наборов по правилу умножения равно: 26=64, но среди этих наборов есть один, состоящий из 6 нулей, т. е. никто не приглашён. Этот набор нужно исключить (по условию задачи число приглашённых не менее одного), в результате получим: 64-1=63.

Ответ: 63 варианта.

1. Из трёх стаканов сока – ананасового, брусничного и виноградного – Костя решил последовательно выпить два. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Это задача о выборе двух элементов из трёх с учётом порядка выбора. Число способов равно способов

2. Сколькими способами могут быть заняты первое, второе и третье места (по одной команде на место) на соревнованиях по гимнастике, в которых участвуют 6 команд?

Решение: Это задача о выборе трёх элементов из шести с учётом порядка выбора. .

Ответ: 120 способов.

3. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из 26 учащихся выбираем 2, причём порядок выбора имеет значение. Количество способов выбора равно способов.

Ответ: 650 способов.

4. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Решение: Выбор из 8 по 3 с учётом порядка: способов.

Ответ: 336 способов.

5. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из 10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4´100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка: способов.

Ответ: 5040 способов.

6. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

Решение: Выбираем трёх призёров из 13 участников конкурса с учётом порядка (кому какая премия): способов.

Ответ: 1716 способов.

7. Сколькими способами 6 девятиклассников, сдающих экзамен, могут занять места в кабинете, в котором стоит 15 столов?

Решение: Выбираем 6 столов для девятиклассников из 15 имеющихся: порядок выбора учитывается (кто сидит у окна, кто около преподавателя, и т. п.): способов.

Ответ: 3603600 способов.

8. Сколько команд участвовало в финале первенства города по хоккею, если каждая команда сыграла с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по одной игре на поле соперника, причём всего было сыграно 30 игр?

Решение: Поскольку каждая пара команд сыграла между собой по две игры (на своём и чужом поле), то выбор пары осуществляется с учётом порядка, т. е. составляются всевозможные размещения из n по 2. По условию задачи =30, отсюда n(n-1) = 6×5, n = 6.

9. В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из класса команду из 4 учащихся для участия в олимпиаде по истории, литературе, русскому и английскому языкам?

Решение: Искомые команды будут отличаться между собой или учащимися, или их порядком, который указывает, на какую олимпиаду пойдёт ученик. Поэтому искомое число равно числу размещений из 30 по 4 и по формуле получаем: способов.

Ответ: 657720 способов.

10. Учащиеся 9 класса изучают 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?

Решение: Выбираем 6 предметов из 14 имеющихся с учётом выбора предметов. Получаем способов.

Ответ: 2162160 способов.

1. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может выбрать из них для предстоящего турнира: а) команду из четырёх человек; б) команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой доске?

Решение: а) Выбираем 4 шахматистов из 16 без указания порядка; количество способов . б) Выбираем 4 шахматистов из 16 с указанием порядка их расположения в команде; количество способов .

Ответ: а) 1820 способов; б) 43680 способов.

2. Из 20 вопросов к экзамену Саша 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то не знает. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Сколько существует вариантов билетов?

б) Сколько из них тех, в которых Саша знает все вопросы?

в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?

г) Сколько из них тех, в которых Саша выучил большинство вопросов?

Решение: а) для составления билета выбираются 3 вопроса из 20 имеющихся, при этом порядок выбора значения не имеет. Общее число вариантов билетов равно: . б) Саша выучил 12 вопросов; из этих вопросов можно составить разных билетов. в) Количество билетов, в которых есть вопросы всех трёх типов равно: 12 вариантов выбора вопроса, который выучил, умножить на 5 вариантов выбора вопроса, который совсем не смотрел, и умножить на 20-12-5=3 варианта выбора вопроса, в котором что-то знает, всего 12×5×3=180 разных билетов. г) Билеты, в которых Саша выучил большинство вопросов, это билеты, в которых он знает два или три вопроса. Билеты, в которых Саша выучил все три вопроса – 220 (см. пункт б). Найдём сколько есть билетов, в которых Саша выучил 2 вопроса: выбрать 2 вопроса из 12 выученных можно разными способами; третий вопрос можно выбрать из 8 остальных вопросов (8 вариантов выбора). По правилу умножения количество билетов, в которых Саша выучил два вопроса равно . Таким образом, количество билетов, в которых Саша выучил большинство вопросов, по комбинаторному правилу сложения равно 220+528=748.

Ответ: а) 1140; б) 220; в) 180; г) 748.

Элементы теории вероятностей

В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний (опытов), наблюдений и измерений. Все события можно разделить на невозможные, достоверные и случайные.

Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может.

Например: а) Петя родился 30 февраля;

б) вода в чайнике закипела при температуре 50°С.

Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдёт.

Например: а) после урока наступит перемена;

б) после воскресенья наступит будний день.

Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Например: а) при телефонном звонке абонент оказался занят;

б) день рождения двух моих друзей – 15 марта.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, —несовместными.

Например, события «пошёл дождь» и «наступило утро» являются совместными, а события «наступило утро» и «наступила ночь» — несовместными.

События называются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Рассмотрим группы событий:

1) «появление орла» и «появление решки» при одном бросании монеты;

2) «появление 1 очка», «появление 2 очков», …, «появление 6 очков» при одном бросании игральной кости;

3) «падение бутерброда маслом вверх» и «падение бутерброда маслом вниз»;

4) «изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разными очками».

В примерах 1 и 2 нет оснований полагать, что в наступлении одного из событий есть какое-то преимущество (если монета и кубик правильные). Это равновозможные события. Часто равновозможность событий удаётся установить из соображений симметрии.

Примеры 3 и 4 демонстрируют образцы неравновозможных событий. Действительно, бутерброд чаще падает маслом вниз из-за того, что после намазывания хлеба маслом центр тяжести бутерброда смещается из центра его симметрии в сторону слоя масла. Дублей в наборе домино (пример 4) всего 7, а остальных костяшек 21.

Событие называется событием, противоположным событию А, если оно происходит, когда не происходит событие А.

Пример. Событию «все спортсмены команды завоевали призовые места» противоположным является событие «хотя бы один из спортсменов команды не занял призовое место».

Классическое определение вероятности

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятный». Например, «к вечеру, вероятно, пойдёт дождь», «это невероятный случай», «вероятнее всего он опоздает». При употреблении этого слова интуитивно оценивается возможность наступления того или иного события. Можно сказать, что одно событие наступает чаще, чем другое. В этом случае говорят, что оно более возможно, т. е. его наступление более вероятно. Естественно. При такой оценке человеку помогает здравый смысл и жизненный опыт.

Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечёт за собой появление события В.

Пример. Событие А=<выбито 4 очка> является благоприятствующим событию В=<выбито менее 5 очков>.

Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.

Если N – число всех исходов испытания, а М – число исходов, благоприятствующих событию А, то .

Пример. В классе 30 учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девочки?

Решение: Обозначим событие, вероятность которого надо найти, буквой А. Очевидно, что по условию задачи порядок вызова к доске не играет роли, поэтому N=. Найдём теперь число М благоприятствующих исходов. Для этого следует определить число способов выбора двух девочек из 18. Оно равно

. По определению вероятности .

1. Вероятность достоверного события равна 1: .

2. Вероятность невозможного события равна 0:

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: .

Вероятность противоположного события находится по формуле: .

Пример. Вероятность попадания некоторым стрелком по бегущей мишени равна 0,8. какова вероятность того, что этот стрелок промахнётся, сделав выстрел?

Решение: Пусть событие А – попадание по мишени, тогда Р(А)=0,8. Событие — промах. = 1-Р(А)=1-0,8=0,2.

Невозможные, достоверные и случайные события

Для каждого из этих событий определить, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

1. Из 26 учащихся класса двое справляют свой день рождения:января;июня.

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.

2. Случайным образом открывается художественное произведение и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы М; 2) с буквы Ъ.

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.

3. Из списка журнала 9 класса (в котором есть и мальчики, и девочки) случайным образом выбран ученик: 1) это мальчик; 2) выбран ученик, которому 15 лет; 3) выбранному ученику 15 месяцев; 4) этому ученику больше двух лет.

Ответ: 1) случайное; 2) случайное; 3) невозможное.

4. Сегодня в Мариинске барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: 1) вода в кастрюле закипит при температуре 70°С; 2) когда температура упала до -3°С, вода в луже замёрзла.

Ответ: 1) невозможное; 2) достоверное.

5. В нашей школе учатся 758 учеников. Событие А=<в школе есть ученики с совпадающими днями рождения> является случайным или достоверным. Выясните, произошло ли это событие в вашем классе?

Ответ: Событие А – достоверное, так как количество учащихся школы 758>366 дней в году. Это событие случайное, так как количество учащихся нашего класса 26 человек.

6. Среди 150 билетов школьной благотворительной лотереи 30 выигрышных. Сколько билетов надо купить, чтобы событие А=<вы ничего не выиграете> было невозможным?

Ответ: 150-29=121 билет.

7. В 9 «Г» классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Какие из следующих событий являются невозможными, какие случайными, какие – достоверными:

А= <в классе есть два человека, родившихся в разные месяцы>;

В=<в классе есть два человека, родившихся в одном месяце>;

С=<в классе есть два мальчика, родившихся в одном месяце>;

D=<в классе есть две девочки, родившиеся в одном месяце>;

Е=<все мальчики родились в разные месяцы>;

F=<все девочки родились в разные месяцы>;

К=<есть мальчик и девочка, родившиеся в одном месяце>;

М= <есть мальчик и девочка, родившиеся в разные месяцы>.

Ответ: Событие А – случайное, событие В – достоверное, событие С – достоверное, событие D – случайное, событие Е – невозможное, событие F – случайное, событие K – случайное, событие M – случайное.

8. Около школы останавливаются автобусы трёх маршрутов, идущих в сторону лесозавода: № 5, № 13 и № 23. Интервал в движении автобусов каждого маршрута колеблется от 8 до 10 минут. Когда Саша, Маша, Кристина и Катя подошли к остановке, от неё отошёл автобус № 13, а ещё через 6 минут подошёл автобус № 5. После этого каждый из ребят высказал своё мнение о том, автобус какого маршрута будет следующим:

Саша: Следующим обязательно будет № 23.

Маша: Возможно, что следующим будет № 23.

Кристина: Возможно, что следующим будет № 13.

Катя: Невозможно, что следующим будет № 5.

С кем из ребят вы согласны, а с кем нет? Объясните сделанный выбор.

Ответ: Не прав только Саша.

9. На дорогу от дома до школы Миша тратит от 10 до 15 минут, если идёт пешком, и от 2 до 3 минут, если едет на автобусе. При каких интервалах движения автобусов событие А==<по пути в школу Мишу обгонит хотя бы один автобус> будет невозможным, при каких – случайным, при каких – достоверным?

Ответ: Больше 7 минут – случайным, меньше 7 минут – достоверным.

Совместные и несовместные события

1. В сыгранной Катей и Ларисой партии в шахматы: 1) Катя выиграла, Лариса проиграла; 2) Катя проиграла, Лариса проиграла.

Ответ: 1) совместные; 2) несовместные.

2. Из событий: 1) «идёт дождь»; 2) «на небе нет ни облака»; 3) «наступило лето» — составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

Ответ: «идёт дождь» — «на небе нет ни облачка» — несовместные;

«наступило лето» — «на небе нет ни облачка» и «наступило лето» — «идёт

3. Из событий: 1) «наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 6 уроков»; 3) «сегодня 1 января»; 4) «температура воздуха в Мариинске +30°С» — составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

Ответ: «сегодня 1 января» — «температура воздуха в Мариинске +30°С»; «сегодня по расписанию 6 уроков» — «температура воздуха в Мариинске +30°С»; «сегодня 1 января» — «сегодня по расписанию 6 уроков» — несовместные; «наступило утро»- «сегодня 1 января»; «наступило утро» — «температура воздуха в Мариинске +30°С»; «наступило утро» — «сегодня по расписанию 6 уроков» — совместные.

1. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.

а) Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня.

б) Из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два.

в) На контрольной я не решил, как минимум, три задачи из пяти.

Решение: а) Мою новую соседку по парте зовут не Таня и не Аня.

б) Из пяти выстрелов в цель попали менее двух.

в) На контрольной я решил максимум две задачи из пяти.

2. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

а) на контрольной работе больше половины класса получили пятёрки;

б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;

в) в нашем классе все умные и красивые;

г) в кошельке у меня есть три рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой.

Решение: а) «На контрольной работе пятёрки получили не более половины класса», или «на контрольной работе больше половины класса не получили пятёрки». б) «В тире хотя бы одна пулька из семи у меня попала в цель». в) «В нашем классе есть хотя бы один не умный или не красивый». г) «В кошельке у меня нет ни трёх рублей одной монетой, ни трёх долларов одной бумажкой».

Сравнение шансов. Вероятностная шкала

1. Антон учится в 9 «Б» классе, Стас – в 9 «В», Игорь – в 9 «Г». От каждого класса по жребию выбирают одного делегата в школьный хор. Как вы думаете, у кого из друзей больше шансов петь в хоре, если в 9 «Б» учится 22 человека, в 9 «В» — 19 человек, а в 9 «Г» — 26 человек?

Решение: Определим шанс каждого из мальчиков: у Антона он будет равен , у Стаса – , у Игоря – . Так как из трёх дробей наибольшей будет , то у Стаса шансов больше.

2. Когда Витя почувствовал себя нездоровым, мама, как обычно, поставила ему градусник. Расположите на вероятностной шкале следующие события:

А = <Витина температура больше 36,6° >;

В = <Витина температура равна 36,6° >;

С = <Витина температура меньше 36,6° >;

D = <Витина температура больше 20° >;

Е = <Витина температура меньше 100° >.

Ответ: В С А D

Е

невозможные случайные достоверные

3. Пусть Х – время которое вы тратите на путь от дома до школы, а У – время на путь от школы до дома. Расположите на вероятностной шкале события:

D =<У , поэтому лучше вызвать девочку. в) Общее число исходов равно 30. Благоприятных исходов – 25, значит ==.

Ответ: а) 0,067; б) лучше вызвать девочку; в) 0,833.

10. Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных пригласительных билетов, между которыми предполагается разыграть главный приз. Какова вероятность, что номер счастливчика будет оканчиваться: а) на тройку; б) на девятку? в) Вова получил пригласительный билет с номером 33, а Таня – 99. Верно ли, что у Вовы больше шансов получить главный приз?

Решение: а) Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов – 13 (на тройку оканчиваются девять двузначных, три трёхзначных числа и само число -3), значит =. б) Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов – 12 (на девятку оканчиваются девять двузначных, три трёхзначных числа и само число — 9), значит =. в) Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов и для Тани и для Вовы – 1, значит =.

Ответ: а) 0,104; б) 0,096; в) Нет, не верно. У обоих шансы равны.

11. У Вики две одинаковые пары варежек. Уходя на улицу, она наугад берёт две варежки. Какова вероятность, что они окажутся парными (т. е. на разные руки)?

Ответ:

12. Вика потеряла одну из варежек на улице, и теперь их у неё три. Уходя на

улицу, она по-прежнему выбирает две варежки случайным образом. Какова вероятность того, что они окажутся парными?

Ответ: .

13. В лотереи участвуют 100 билетов. Разыгрывается один приз. а) Какова вероятность того, что вы ничего не выиграете на свой единственный билет?

б) Участвуя в той же лотереи, вы купили 20 билетов. Какова вероятность, что вы опять останетесь ни с чем?

Решение: а) Общее число исходов равно 100. Благоприятных исходов – 1, значит =; б) Общее число исходов равно 100. Благоприятных исходов – 80, значит =.

Источник