Сколькими способами дима сможет покрасить пять елок

Сколькими способами дима сможет покрасить пять елок

а) Сколькими способами Дима сможет покрасить пять ёлок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую ёлку он красит только в один цвет?
б) У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять ёлок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?
в) А если можно надевать несколько шариков на одну ёлку (и все шарики должны быть использованы)?

Решение

а) Каждую из пяти ёлок можно покрасить в один из трёх цветов, поэтому всего различных способов существует 3·3·3·3·3 = 3 5 .

б) На первую ёлку можно надеть любой из пяти шариков, на вторую ёлку – любой из оставшихся четырёх, и так далее; всего получаем 5·4·3·2·1 = 120 способов.

в) Каждый из шариков можно надеть на любую ёлку, поэтому в этом случае ответ – 5 5 .

Ответ

а) 243; б) 120; в) 3125.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Место проведения	57 школа
Год	2005/06
занятие
Тема	Классическая комбинаторика
Название	Свобода выбора
Номер	13
задача
Номер	1

Проект осуществляется при поддержке и .

Источник

Логические задачи и головоломки

а) Сколькими способами можно покрасить пять елок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски неограничено, а каждую елку красим только в один цвет?
б) Есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами можно украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?
в) А если можно надевать несколько шариков на одну елку (и все шарики должны быть использованы)?

Ответ: а) Каждую из пяти елок можно покрасить в один из трех цветов, поэтому всего различных способов существует 3*3*3*3*3 = 3 5 = 243.

б) На первую елку можно надеть любой из пяти шариков, на вторую елку — любой из оставшихся четырех, и так далее; всего получаем 5*4*3*2*1 = 120 способов.

в) Каждый из шариков можно надеть на любую елку, поэтому в этом случае ответ — 5 5 = 3125.

Комментарии

Оставлен Гость Пнд, 05/24/2010 — 15:04

я на Б дал ответ как в В. Блин, у нас же логика на том курсе была, всё забыл

Оставлен аленка Ср, 04/06/2011 — 13:32

под б) ответ стопроцентно правильный!

Оставлен Гость Пт, 05/20/2011 — 05:25

Какая разница на какую елку вешать, если они все одинаковые.
если бы спрашивали ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ вешания, то правильный, а так вопрос не корректный (судя по ответу)

Оставлен Кэп Пт, 06/10/2011 — 10:36

Ответ «в» очевидно неправелен. Если бы шарики были одного цвета, то разместить их можно было 96ю способами, учитывая, что каждую из 96 комбинаций можно покрасить в разные цвета 120ю способами, то ответ 96*120=11520

варианты: 1+1+1+1+1; 2+1+1+1;3+1+1; 3+2; 4+1; 5
1+1+1+1+1 — 1 способ(на каждой по 1му)
2+1+1+1 — 2 можно разместить 5ю способами, при каждом из 5 размещений можно расставить единицы 4мя способами — итого 5*4=20
3+1+1- та же логика 5*6=30
3+2: 5*4=20
4+1: 20
5: 5 способов
Всего 1+20+30+20+20+5=96

почему 120?:
каждое количественное размещение можно красить 5ю цветами — имеем 5 перестановок для каждого размещени — итого для каждого размещения 5! способов расскраски(цветовых перестановок) = 5*4*3*2=120

Оставлен Гость Вс, 10/03/2010 — 11:49

На б) ответ будет 1 способ!

Оставлен Гость Втр, 03/08/2011 — 10:08

В б) обыкновенные перестановки без повторений. То бишь 5!=120

Оставлен Гость Ср, 11/03/2010 — 12:23

А в задаче а) не 15 ли возможных вариантов.

Оставлен Gerasim Чт, 02/10/2011 — 18:14

неа не 15 способов в а) потому что можно каждую елку покрасить в один цвет

Оставлен Дмитрий Ср, 03/02/2011 — 09:23

Вообще-то ответ приведен для случая, когда все ёлки пронумерованы и важно, какая в какой цвет покрашена. А если «неважно», то не 15, а 21. 🙂

Оставлен Дмитрий Ср, 03/02/2011 — 09:51

в) Неправильный ответ. Ответ дан для случая, когда на каждую ёлку можно повесить только один шарик, но любого из 5 цветов.

Оставлен Гость Ср, 05/11/2011 — 10:19

ответ правильный, тут у нас ВСЕГО 5 шариков, можем хоть все их на одну ель повесить. в отличае от а) и б) в данном случае мы выбираем ёлку для шарика, а не шарик для ёлки

Оставлен Гость Пнд, 06/06/2011 — 19:39

в а 45 или 135.Это 100% 😀

Оставлен Гость Пнд, 06/06/2011 — 19:43

Оставлен extre4m Втр, 07/12/2011 — 20:50

мой вариант в в) — 4425.
в блоке где 2 шарика количество комбинаций 5х(5-1)\2
в блоке где 3 шарика количество комбинаций 5х(5-1)х(5-2)\3
в блоке где 4 шарика количество комбинаций 5х(5-1)х(5-2)х(5-3)\4
в блоке где 5 шариков количество комбинаций 1
(делим на 2,3,4 потому что в блоке нет порядка,вариант расположения 2х шариков в блоке 1,3х — 1,4х — 1)
если на 1ной ёлке висят 5 шариков то способов 5
если на 1ной — 4,а на 2ой-1,то способов:
разных вариантов расположения на ёлках 4 шариков — 5,для каждого из них есть 4 варианта расположения 1 шарика на оставшихся ёлках
5х4=20
если на 1ной 3,а на остальных(другой) 2:
20(аналогично прошлому варианту)+:
на одной ёлке 3 шарика,на остальных по 1,вариантов расположения 3х шариков — 5,для каждого из них есть по 12 вариантов расположения других шариков вокруг них(на 4х своб. ёлках 4 вар. расположения первого шарика и для каждого по 3 варианта расположения второго шарика)
5х12=60
20+60=80
если на 1й-2,а на остальных 1+1+1 или 2+1:
вариантов расположения блока 2+1 3,умножаем 60 из прошлой задачи на 3=120+:
вариантов расположения 2х шариков 5,для каждого из них есть по 4 варианта расположения третьего шарика,для каждого из которых есть по 3 варианта расположения четвёртого,для каждого из которых есть по 2 вар.расп. пятого:
5х4х3х2=120
120+120=240
если на всех по 1 то вариантов 5х4х3х2х1=120

Оставлен extre4m Ср, 07/13/2011 — 06:22

ошибка.
в блоке где 3 шарика количество комбинаций 5х(5-1)х(5-2)\1*2*3
в блоке где 4 шарика количество комбинаций 5х(5-1)х(5-2)х(5-3)\1*2*3*4

Оставлен Широков Сб, 01/11/2014 — 16:19

Мои варианты решения:
а) 10 способов.
б) 126 способов.
в) 3125 способов.

Источник

Задачи по комбинаторике

Задачи по комбинаторике:

1. а) Сколькими способами Дима сможет покрасить пять елок в серебристый, зеленый и синий цвета, если количество краски у него неограничено, а каждую елку он красит только в один цвет?
б) У Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик?
в) А если можно надевать несколько шариков на одну елку (и все шарики должны быть использованы)?

Решение

а) Каждую из пяти елок можно покрасить в один из трех цветов, поэтому всего различных способов существует 3*3*3*3*3 = 35 = 243.
б) На первую елку можно надеть любой из пяти шариков, на вторую елку — любой из оставшихся четырех, и так далее; всего получаем 5*4*3*2*1 = 120 способов.
в) Каждый из шариков можно надеть на любую елку, поэтому в этом случае ответ — 55 = 3125.

Ответ

а) 243; б) 120; в) 3125.

2. У людоеда в подвале томятся 25 пленников.
а) Сколькими способами он может выбрать трех из них себе на завтрак, обед и ужин?
б) А сколько есть способов выбрать троих, чтобы отпустить на свободу?

Решение

а) На завтрак людоед может предпочесть любого из 25 человек, на обед — любого из 24 оставшихся, а на ужин — кого-то из 23 оставшихся счастливчиков. Всего получаем 25*24*23 = 13800 способов.
б) Заметим, что в предыдущем пункте каждую тройку пленников мы посчитали 3*2*1 = 6 раз. Поскольку теперь их порядок нам неважен, то ответом будет число 13800/6 = 2300.

Ответ

3. В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Решение

Выберем чашку. В комплект к ней можно выбрать любое из трех блюдец. Поэтому есть 3 разных комплекта, содержащих выбранную чашку. Поскольку чашек всего 5, то число различных комплектов равно 15.

4.В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В — 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Ответ 6*4=24

5. В Стране Чудес есть четыре города: А, Б и В и Г. Из города А в город Б ведет 6 дорог, из города Б в город В — 4 дороги, из города А в город Г — две дороги, и из города Г в город В — тоже две дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Решение

Выделим два случая: путь проходит через город Б или через город Г. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных маршрутов: в первом — 24, во втором — 4. Складывая, получаем общее количество маршрутов: 28.

5. В магазине «Все для чая» по-прежнему продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

Решение

Возможны три разных случая: первый — покупаются чашка с блюдцем, второй — чашка с ложкой, третий — блюдце и ложка. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных вариантов (в первом — 15, во втором — 20, в третьем — 12). Складывая, получаем общее число возможных вариантов: 47.

6. Назовем натуральное число «симпатичным» , если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «симпатичных» чисел?

Решение

Понятно, что однозначных «симпатичных» чисел ровно 5. К каждому однозначному «симпатичному» числу вторая нечетная цифра может быть дописана пятью различными способами. Таким образом, двузначных «симпатичных» чисел всего 5*5=25 Аналогично, трехзначных «симпатичных» чисел 5*5*5=125, и четырехзначных – 5*5*5*5 = 625.

7. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить? Ответ 8 =2*2*2.

8. Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы? Ответ 16 = 24.

9. Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее «Спортпрогноз»? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча — победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет).

Ответ 3^13

10. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех — и четырехбуквенных слов.

Ответ 3+3^2+3^3+3^4=120

11. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Капитаном может стать любой из 11 футболистов. После выбора капитана на роль его заместителя могут претендовать 10 оставшихся человек. Таким образом, всего есть 11*10=110 разных вариантов выборов.

12. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Решение

Белую ладью можно поставить на любую из 64 клеток. Независимо от своего расположения она бьет 15 полей (включая поле, на котором она стоит). Поэтому остается 49 полей, на которые можно поставить черную ладью. Таким образом, всего есть 64*49 = 3136 разных способов.

13. В киоске «Союзпечать» продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

Ответ 5*4 = 20

14. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «КРУЖОК»?

Ответ 2*3 = 6

15. На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ 7*5*2 = 70

16. У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?

Ответ 20*20 + 10*10 = 500

17. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

Ответ 3^6

18. Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

Ответ 18*17 / 2 = 153

19. В пассажирском поезде 17 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 17 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?

Ответ 17!

20. Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля).

Подсказка

Сопоставьте каждому упорядочению 16 команд (число таких упорядочений равно 16!) некоторое расписание игр первого тура.

Решение

Можно расставить 16! способами 16 команд на 16 местах, после чего разбить их на пары 1-2, 3-4, . , 15-16 (команды с нечётными номерами — хозяева, с чётными — гости). Но при этом каждое разбиение на пары в этих вариантах встреча-ется 8! раз (количество способов переставить 8 пар по порядку). Таким образом, количество расписаний первого тура равно 16! : 8! = .

Ответ

21. Слово — любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов

Решение

а) Так как все буквы слова различны, то всего можно получить 6! слов.

б) В этом слове две буквы И, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы И, обозначив их через И и И. При этом предположении получится 5!=120 разных слов. Однако те слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв И и И, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего 120:2 = 60.

в) Считая три буквы А этого слова различными (А, А, А), получим 8! разных слов. Однако слова, отличающиеся лишь перестановкой букв А, на самом деле одинаковы. Поскольку буквы А, А, А можно переставлять 3! способами, все 8! слов разбиваются на группы по 3! одинаковых. Поэтому разных слов всего 8!/3!.

г) В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествляя слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С, получаем 11!/2! различных слов. Отождествляя теперь слова, отличающиеся перестановкой букв С, получаем окончательный результат 11!/(2!3!).

д) Ответ: 10!/(3!2!2!).

22. На плоскости дано n прямых общего положения. Чему рано число образованных ими треугольников?

Ответ Cn3.

23. Сколько можно составить разных бус из семи разноцветных бусин?

Решение

Всего из 7 разных бусин можно составить 7*6*. *2*1 = 7! = 5040 упорядоченных последовательностей. Поскольку мы не различаем бусы, отличающиеся друг от друга только поворотом, то это число нужно поделить на 7; кроме того, мы считаем одинаковыми и симметричные бусы, поэтому оставшееся число нужно разделить еще на 2. В итоге получаем 5040 / 14 = 360 разных бус.

Ответ 360.

24. Сколькими способами можно разложить 9 орехов по трем карманам? (Карманы разные, а орехи одинаковые.)

Решение

В первый карман мы можем положить любое число орехов от 0 до 9. В каждом из этих 10 случаев подсчитаем, сколько орехов можно положить во второй карман; например, если в первый карман положен один орех, то во второй можно положить любое число орехов от 0 до 8 — всего 9 способов. Если мы определили, сколько орехов кладем в первые два кармана, то число орехов в третьем определяется однозначно. Поэтому общее число способов равно 10 + 9 + 8 + . + 1 + 0 = 55.

Ответ 55.

25. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами можно составить комиссию, если в нее должен входить хотя бы один математик?

Ответ 2 . C107 + 1 . C106.

26. Сколько диагоналей имеет выпуклый:
а) 10-угольник; б) k-угольник (k > 3)?

Ответ б) Ck2 — k.

27. Полоска 1*10 разбита на единичные квадраты. В квадраты записывают числа 1, 2, . 10. Сначала в один какой-нибудь квадрат пишут число 1, затем число 2 записывают в один из соседних квадратов, затем число 3 — в один из соседних с уже занятыми и т. д. (произвольными являются выбор первого квадрата и выбор соседа на каждом шагу). Сколькими способами это можно проделать?

Решение

Пусть 1 стоит в i-м слева квадрате полосы. Расстановка остальных чисел однозначно определяется набором чисел, стоящих левее 1. Таких наборов ровно C9i – 1 (так как в каждом наборе фиксирован порядок чисел), а общее количество способов равно
C90 + C91 + C92 + C93 + C94 + C95 + C96 + C97 + C98 + C99 = 29 = 512.

Ответ 512-ю способами.

28. 6 ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров (на этот раз некоторые ящики могут оказаться пустыми)?

Решение

Рассмотрим ряд из 25 предметов: 20 одинаковых шаров и 5 одинаковых перегородок, расположенных в произвольном порядке. Каждый такой ряд однозначно соответствует некоторому способу раскладки шаров по ящикам: в первый ящик попадают шары, расположенные левее первой перегородки, во второй — расположенные между первой и второй перегородками и т. д. (между какими-то перегородками шаров может и не быть). Поэтому число способов раскладки шаров по ящикам равно числу различных рядов из 20 шаров и 5 перегородок, т. е. равно С(25, 5) (ряд определяется теми пятью местами из 25, на которых стоят перегородки).

29. Сколькими способами 4 черных шара, 4 белых шара и 4 синих шара можно разложить в 6 различных ящиков?

Ответ C(9, 5)^3

30. Сколькими способами 3 человека могут разделить между собой 6 одинаковых яблок, один апельсин, одну сливу и один мандарин?

Ответ C(8, 2)*3*3*3 = 756

31. Было 7 ящиков. В некоторые из них положили еще по 7 ящиков и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков. Сколько всего стало ящиков?

Решение

При каждой операции заполняется один пустой ящик. Поскольку стало 10 непустых ящиков, то было проведено 10 операций. Вначале было 7 ящиков, и при каждой операции добавлялось еще по 7. Поэтому в результате стало 77 ящиков.

32. Сколько существует 6-значных чисел, у которых каждая последующая цифра меньше предыдущей?

Источник