Сколькими способами 8 команд могут разыграть комплект медалей

Два солиста равноправны. (Может быть, и петь планируют дуэтом.) Нас не волнует порядок следования в группе из 2-ух человек, выбранных из 9-ти. Значит определяем число сочетаний из 9 по 2.
С₉ 2 = 9!/2!/(9 — 2)! = 9!/2!/7! = 8·9/2 = 36.

Казалось бы, мы снова выбираем 2-ух человек из 9-ти, но теперь между ними качественная разница. Они будут выполнять разные обязанности в команде. Мы выбираем капитана И заместителя независимо друг от друга. Поэтому применим правило умножения вариантов (И-правило). Из 9-ти человек капитана можно выбрать 9-тью способами. Его заместителя из оставшихся 8-ми человек — 8-мью способами. Общее число вариантов: 9·8 = 72. (Заметьте, что если сначала выбрать заместителя из 9 человек, а потом капитана из оставшихся 8-ми, результат будет тот же.)

Можно рассуждать иначе. Есть два места для капитана и его заместителя, нужно разместить на них 2-ух человек, выбрав их из 9-ти. Такие группировки (выборки) называются размещениями. Число размещений определяем по формуле
А₉ 2 = 9!/(9 — 2)! = 9!/7! = 8·9 = 72.
о формуле подробнее

Легко понять, что в этой задаче речь идет о перестановках. 6 гостей занимают все 6 стульев и могут только меняться местами. Число перестановок из 6 определяем по формуле
P₆ = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720.

Может быть, не так очевидно, но это тоже перестановки. С точки зрения математики, вообще та же самая задача. Представьте себе, что расписание составляете вы. Чертите таблицу с пятью строками для пяти уроков («готовите стулья») и вписываете в каждую строку название одного из 5-ти предметов («рассаживаете гостей»). Число перестановок из 5 определяем по формуле
P₅ = 5! = 1·2·3·4·5 = 120.

В шахматной партии 2 равноправных участника (точно также, как в задаче о рукопожатиях). Значит из 5-ти человек формируем группы по 2 без учета порядка следования — сочетания. Определяем число сочетаний из 5 по 2.
С₅ 2 = 5!/2!/(5 — 2)! = 5!/2!/3! = 4·5/2 = 10.

На пьедестале почёта находятся 3 команды из 10, и для них очень существенно, кто какое место занял, т.е. порядок следования. Составление групп с учетом порядка следования — размещения. Число размещений определяем по формуле
А₁₀ 3 = 10!/(10 — 3)! = 10!/7! = 8·9·10 = 720.
Другой способ решения с использованием И-правила, как в задаче 2б. Однако, чем больше выборка, тем удобнее сразу применять готовую формулу.

Выбираем одну ручку И один блокнот. Одну ручку из 4-ёх 4-мя способами, один блокнот из 7-ми — 7-ю способами. Применяем правило умножения
4·7 = 28.

Выбираем одну ручку И два блокнота. Снова можем применить правило умножения вариантов. Одну ручку из 4-ёх можем выбрать 4-мя способами, два блокнота из 7-ми — ? способами.
Чтобы определить сколько способов выбора 2-ух блокнов из 7-ми, воспользуемся формулой для числа сочетаний, т.к. для нас несущественно в каком порядке это было сделано.
С₇ 2 = 7!/2!/(7 — 2)! = 7!/2!/5! = 6·7/2 = 21.
Теперь применяем правило умножения
4·21 = 84.

Число способов встать в очередь равно числу перестановок 7-ми друзей в пределах этой очереди.
P₇ = 7! = 1·2·3·4·5·6·7 = 5040.

Задача такая же, как о гостях и стульях, но обратите внимание, насколько быстро растет число вариантов при увеличении числа переставляемых предметов.

На каждом барабане можно выбрать 1-ну цифру из 10-ти 10-тью способами и независимо от других, поэтому применяем правило умножения:
10·10·10·10 = 10000.

Можно также считать, что нужно разместить 10 цифр на 4-ёх местах с повторениями. В комбинаторике существует раздел «Выборки с повторениями» (см. подробнее). В данном случае нам нужна формула для размещений. Число размещений с повторениями определяется как n k , где n — количество элементов для выбора (здесь n = 10 цифр), k — объём выборки или количество возможных повторов одного элемента (здесь k = 4, одна и та же цифра может быть установлена на всех четырех барабанах). Таким образом, искомое число вариантов
10 4 = 10000.

Трёхзначное число состоит из 3-ёх цифр, которые нам даны. Поскольку цифры не могут повторяться, то получать различные числа можно только путем их перестановки. Число перестановок из 3-ёх определяем по формуле
P₃ = 3! = 1·2·3 = 6.

Если цифры могут повторяться, то по разрядам их можно размещать независимо от друг от друга. Значит можем применить правило умножения вариантов (И-правило). Одну цифру из трёх для разряда сотен можно выбрять 3-мя способами, И одну цифру из тех же трёх для разряда десятков — 3-мя способами, И одну из трёх для разряда единиц — 3-мя способами. Общее число вариантов
3·3·3 = 27.

Искомое число должно оканчиваться цифрой 3, так как 4, 6 и 8 делятся на 2 без остатка. Поэтому позиция единиц у нас уже занята, и остается разместить 3 цифры на 2-ух позициях — десятков и сотен. Число размещений из 3 по 2 определяем по формуле
А₃ 2 = 3!/(3 — 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.

Сначала определим, сколько всего можно составить групп из 4-ёх заданных цифр по 3 с учётом порядка следования и без повторений.
А₄ 3 = 4!/(4 — 3)! = 4!/1! = 1·2·3·4/1 = 24.
Но не все эти группы будут трёхзначными числами. Те из них, которые начинаются с цифры 0, по существу, — двузначные числа.
Сколько таких групп? Если на первом месте стоит 0, то на позициях десятков и единиц располагаются 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Определяем число размещений из 3 по 2
А₃ 2 = 3!/(3 — 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Вычитая из общего числа вариантов лишние, получим
24 — 6 = 18.

Четными будут числа, оканчивающиеся на 4 ИЛИ на 6. Поэтому подсчитаем количество вариантов, заканчивающихся на одну из этих цифр, а затем воспользуемся правилом сложения (ИЛИ-правилом), чтобы определить общее число вариантов.
Если число оканчивается 4-кой, то на позициях сотен и десятков могут находиться любые 2 цифры из оставшихся 3-ёх. Число размещений из 3 по 2
А₃ 2 = 3!/(3 — 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Также получается, если число оканчивается 6-кой: А₃ 2 = 6.
Общее число вариантов 6 + 6 = 12.

Так же, как в предыдущем случае рассмотрим отдельно числа, заканчивающиеся 4-кой и 6-кой, а затем воспользуемся правилом сложения вариантов.
Пусть позиция единиц у нас занята цифрой 4. В этот раз в позиции десятков может стоять любая из четырёх заданных цифр (4 варианта) И в позиции сотен любая из этих же 4-ёх цифр (4 варианта), всего 4·4 = 16.
Если число оканчивается на 6, теми же рассуждениями получаем еще 16 вариантов.
Всего 16 + 16 = 32.

Заметим, что не только в числителе и знаменателе не может быть одна и та же цифра, но цифры вообще не могут повторяться, иначе задача не имела бы смысла. В число дробей входили бы, например, 2/3, 2/33, 2/333, 2/3333 и т.п. Таких вариантов бесконечное число.
Далее заметим, что текст «с использованием цифр» может быть понят неоднозначно: с использованием всех трёх или с выбором из них. Здесь рассмотрим более общий случай — с выбором. Выборка не может состоять меньше, чем из двух цифр, чтобы хватило и на числитель, и на знаменатель.
Дроби бывают правильные, в которых знаменатель больше числителя, например, 4/23, и неправильные, в которых числитель больше знаменателя, например, 23/4. Таким образом, возможны такие виды дробей */* ИЛИ **/* ИЛИ */**, где звёздочкой обозначено место для одной из заданных цифр. Подсчитаем число вариантов для каждого вида дроби отдельно, а затем сложим результаты в соответствии с ИЛИ-правилом.
Случай */* определяется числом размещений из 3 по 2, так как используем не все заданные цифры и важен порядок следования (например, сравните 4/3 и 3/4).
А₃ 2 = 3!/(3 — 2)! = 3!/1! = 2·3 = 6.
Случай */** определяется числом перестановок из 3, так как для такой дроби нужно использовать все заданные цифры. Дроби будут различаться только расположением цифр по позициям.
P₃ = 3! = 1·2·3 = 6.
Случай **/* аналогичен предыдущему, также определяется числом перестановок из 3. P₃ = 6.
Общее число вариантов 6 + 6 + 6 = 18.

Если вы получили ответ 12, а не 18, обязательно разберитесь почему. Это иначе понятое условие задачи? Забыты неправильные дроби? Ошибка в комбинаторике?

Комментарии.

O формуле для числа сочетаний.
Как известно, деление может быть обозначено разными символами: __ , /, :
Косую черту и двоеточие удобно использовать для записи формулы в одну строку, что здесь и сделано для экономии места в таблице. Горизонтальную черту используют для записи дроби. Если формулу для числа сочетаний записать дробью, то хорошо видно, как она сокращается.

O формуле для числа размещений.
Формулу для числа размещений иногда записывают дробью с факториалами, а иногда строкой — группой сомножителей. Разумеется, оба варианта переходят друг в друга в результате преобразований. На мой взгляд, обе формулы хорошо запоминаются, первая — потому, что компактнее, вторая — потому, что хорошо произносится: «начинаем с n и записываем m сомножителей».

Выборки с повторениями.
В школьном курсе основное внимание уделяется классическим типам выборок. В комбинаторике также выведены формулы для выборок с повторениями, но в них нет необходимости для решения задач вашего уровня трудности. Достаточно просто разумных соображений и знания основных формул и правил. Привожу здесь формулы для выборок с повторениями только для того, чтобы вы знали о их существовании и при желании могли использовать для проверки своих ответов.

Здесь для сочетаний и размещений k — объем выборки, n — количество элементов множества, из которого выбираем.
Для перестановок n — количество переставляемых элементов, n₁, n₂, . n_k — число повторений. Например, в слове «темперамент» 11 букв (n = 11), буква «т» повторяется дважды (n₁ = 2), буква «е» — трижды (n₂ = 3) и буква «м» — дважды (n₃ = 2). Число возможных перестановок букв в этом слове 11!/2!/3!/2!