Сколькими способами 6 человек могут две команды

Задачи по дисциплине: “Дискретная математика”

НГТУ

Задачи

по дисциплине: “Дискретная математика”

Выполнил: студент:

Гр. 06-В-2

Проверила:

Н. Новгород

2007

СОЧЕТАНИЯ:

Без повторений

Задача 1: Сколькими способами можно разбить 10 человек на две баскетбольные команды по 5 человек в каждой?

Решение: Первую команду можно выбрать способами. Этот выбор полностью определяет вторую команду. Однако при таком подсчете каждая пара команд А и В учитывается дважды: один раз, когда в качестве первой команды выбирается команда А, и второй, — когда в качестве первой команды выбирается команда В. Таким образом, ответ: .

Задача 2: В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7 мальчиков. Для участия в соревновании необходимо составить команду из четырех человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: В команду входит либо одна девочка, либо две. Разберем оба случая. Если в команде две девочки, то двух мальчиков к ним можно добавить способами. Если же в команду входит только одна девочка (ее можно выбрать двумя способами), то команду можно дополнить тремя мальчиками различными способами. , Таким образом, общее число возможных команд равно.

Задача 3: У одного школьника есть 6 книг по математике, а у другого — 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого?

Решение: Первый школьник может выбрать 3 книги для обмена способами, второй — способами. , . Таким образом, число возможных обменов равно.

С повторениями

Задача 4: Поезду, в котором находится пассажиров, предстоит сделать остановок.

Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке?

Решение: .

Задача 5: Сколько 7-значных чисел, в которых

a) каждая цифра больше предыдущей?

b) каждая цифра не меньше предыдущей?

Решение:

а) ;

б) ;

РАЗМЕЩЕНИЯ

Без повторений

Задача 1: Сколько способов выдать 3 различных карнавальных нарядов кому-нибудь из 15 школьников (один наряд — один школьник).

Решение: .

Задача 2: Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

Решение: .

С повторениями

Задача 3: Поезду, в котором находится пассажиров, предстоит сделать остановок.

Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках?

Решение: .

Задача 4: Каждую клетку квадратной таблицы 2х2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

Решение: .

Задача 5: Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее «Спортпрогноз»? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча — победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет).

Решение: .

ПЕРЕСТАНОВКИ

Задача 1: Сколько способов расставить человек в ряд?

Решение: .

Задача 2: Сколько способов рассадить 5 мужчин и 5 женщин за круглым столом так, чтобы мужчины и женщины чередовались?

Решение: Способов рассадки мужчин , и способов рассадки женщин . Таким образом, ответ: .

Задача 3: Сколько способов разбить 15 мужчин и 15 женщин на пары для танцев?

Решение: .

Задача 4: Есть 50 разных конфет. Сколькими способами можно раздать их по одной 50 первокурсникам?

Решение:

Задача 5: Поезд состоит из трёх различных багажных вагонов (без номеров), четырёх плацкартных (с номерами от 1 до 4) и двух купейных (с номерами 5 и 6).

а) Сколькими способами можно сформировать состав, который начинается с вагона номер 1, а заканчивается вагоном номер 6?

б) Сколькими способами можно сформировать состав, в котором сначала идут все плацкартные вагоны, потом все купейные, а в конце — все багажные?

Решение:

а) Всего вагонов 9, но 2 из них уже стоят на своих местах и не участвуют в перестановке, поэтому ответ:;

б)

Источник

Сколькими способами 6 игроков команды могут рассеяться на двух скамейках таким образом, чтобы ни одна из скамеек не пустовала(на одной скамейке могут уместиться не менее 6 человек)?

Алгебра | 10 — 11 классы

Сколькими способами 6 игроков команды могут рассеяться на двух скамейках таким образом, чтобы ни одна из скамеек не пустовала(на одной скамейке могут уместиться не менее 6 человек)?

Порядок рассадки на скамейках если не учитывать то

На первую скамейку одного человека можно посадить одним из 6 — С(6 ; 1) = 6 способами.

Остальные на второй скамейке.

Двух человек С(6 ; 2) — способами.

Остальные на второй скамейке.

Трёх С(6 ; 3)Четырех С(6 ; 4)Пятерых С(6 ; 5) способами

Итого : 62 способа — сумма 6 строки треугольника Паскаля 2 ^ 6 без двух краев (пустых скамеек)

Если учитывать порядок рассадки по скамейкам То 6!

= 720 вариантов комбинаций.

Пять вариантов разбивки по скамейкам ( между первым вторым, вторым третьим , и т.

Д. )Итого : 720 * 5 = 3600 вариантов.

Во время двух баскетбольных матчей 5 игроков одной команды выполнили по 10 штрафных бросков по корзине соперников?

Во время двух баскетбольных матчей 5 игроков одной команды выполнили по 10 штрафных бросков по корзине соперников.

Тренер подсчитал, что получилось 8, 7, 9, 9, 7 точных попаданий.

Вычислите относительную частоту попадания в корзину одним игроком этой пятерки.

Сколькими способами 5 человек могут разместиться в машине?

Сколькими способами 5 человек могут разместиться в машине.

В высшей лиге чемпионата по футболу 20 команд?

В высшей лиге чемпионата по футболу 20 команд.

Борьба идёт за золотые, серебрянные и бронзовые медали.

Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?

Сколькими способами 6 игроков команды могут рассеяться на двух скамейках таким образом, чтобы ни одна из скамеек не пустовала(на одной скамейке могут уместиться не менее 6 человек)?

Сколькими способами 6 игроков команды могут рассеяться на двух скамейках таким образом, чтобы ни одна из скамеек не пустовала(на одной скамейке могут уместиться не менее 6 человек)?

В матбое участвовали три команды?

В матбое участвовали три команды.

Перед боем игрок Иванов перешел из первой команды во вторую, игрок Петров — из второй команды в третью, а игрок Сидоров — из третьей команды в первую.

После этого средний возраст первой команды увеличился на неделю, второй — увеличился на две недели, а третьей — уменьшился на 4 недели.

Известно, что в первой и второй командах по 12 игроков.

Сколько игроков в третьей команде?

Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года когда одного игрока удалили с поля средний возраст оставшихся игроков создай в 21 год сколько лет удаленному игроку?

Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года когда одного игрока удалили с поля средний возраст оставшихся игроков создай в 21 год сколько лет удаленному игроку.

Сколькими способами 9 человек могут встать в театральную кассу?

Сколькими способами 9 человек могут встать в театральную кассу.

Если на скамейки по 2 человека 2?

Если на скамейки по 2 человека 2.

4. Если учащихся посадить по 2 человека на скамейку, то семи учащимся не хватит места?

4. Если учащихся посадить по 2 человека на скамейку, то семи учащимся не хватит места.

Если на каждую скамейку посадить по 3 человека, то останется 5 свободных скамеек.

Сколько было учащихся и сколько скамеек?

Тангенс и котангенс одного аргумента не могут быть равны?

Тангенс и котангенс одного аргумента не могут быть равны.

Вы находитесь на странице вопроса Сколькими способами 6 игроков команды могут рассеяться на двух скамейках таким образом, чтобы ни одна из скамеек не пустовала(на одной скамейке могут уместиться не менее 6 человек)? из категории Алгебра. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.

Источник

Математика — онлайн помощь

Рассмотрим множество, состоящее из n различных элементов. Требуется выбрать из них какие-нибудь k элементов и расположить эти k элементов в каком-либо порядке. Такие упорядоченные последовательности называются размещениями из n элементов по k элементов (упорядоченные – следовательно, последовательности <1,2>и <2,1>— различные размещения).

Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество

Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество

Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества <1,2>и <2,1>не различны (соединены).

Число сочетаний без повторений

.

Число сочетаний с повторениями

.

Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле

.

При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов

Выбор	Неупорядоченный	Упорядоченный
Без повтора
С повтором

Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;1;2>– различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.

.

ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;2;1>дают число 123, т.е. не являются различными.

.

ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)

Решение: .

ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)

Решение: .

ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?

Решение: .

ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?

Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .

ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?

.

Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.

ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?

Решение: Составим вспомогательную таблицу

Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.

ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?

Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.

.

Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.

, .

Тогда искомое число способов расстановки есть

ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.

Решение: По условию задачи из 16 команд для каждой встречи требуется отобрать 2 команды. В данном случае отбор производится без повтора и порядок отбора не важен, т.е. число вариантов — . Так как команды должны играть дважды число вариантов удваивается, т.е. .

ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?

Решение: По условию задачи отбор цветов для окраски производится без повтора и порядок отбора не важен, т.е. число вариантов зависит лишь от числа отбираемых для окраски цветов — . Поэтому общее число вариантов есть

.

ПРИМЕР 13.2.12. Турист прошел маршрут из пункта A в пункт B, из B в C и вернулся обратно. Сколько вариантов маршрута существует, если из пункта A в пункт B ведут 3 дороги, а из B в C — 4 и нельзя возвращаться той дорогой, по которой уже прошел?

Решение: Составим схему.

Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .

На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .

ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Решение: Рассуждения произведем несколькими способами

I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.

Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме

.

Поэтому всего способов распределения учеников будет .

II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться

“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”

“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,

Таким образом, всего способов распределения учеников будет .

По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.

ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?

Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.

Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .

Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).

Очевидно, что для любого расположения гостей таких одинаковых вариантов, получаемых друг из друга поворотом, — шесть. Тогда общее число вариантов уменьшается в шесть раз и их остается .
В случае же, когда нас интересует только взаимное расположение гостей, то одинаковыми можно считать и такие симметричные расположения, при которых у каждого гостя остаются те же соседи за столом, только левый и правый меняются местами (смотри рисунок).

В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.

Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.

ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?

Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида

Предмет	1	2	3	4
Студент 1	4	4	5	5
Студент 2	5	4	4	5
Студент 3	5	5	5	5
…	…	…	…	…
Студент 17	4	4	5	4

Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.

.

По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.

При решении задач комбинаторики используются следующие правила.

Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:

Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.

Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить комбинаторную задачу.

13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?

13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?

13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?

13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?

13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?

13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?

13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?

13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?

13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?

13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?

13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?

13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?

13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?

13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?

13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?

13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

13.2.1.23. Сколько диагоналей у выпуклого двадцатиугольника?

Уважаемые студенты
На нашем сайте можно получить помощь по всем разделам математики и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник