Системы уравнений решение систем способом подстановки 8 класс

Конспект урока «Решение систем уравнений способом подстановки»
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Конспект урока «Решение систем уравнений способом подстановки»

Скачать:

Вложение	Размер
tehnologicheskaya_karta_reshenie_sistem_uravneniya_sposobom_podstanovki.docx	37.59 КБ
reshenie_sistem_uravneniy_sposobom_podstanovki.ppt	494.5 КБ

Предварительный просмотр:

Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. Математика 6 класс

Решение систем уравнений способом подстановки

• Карточки с заданиями

мультимедийный проектор, экран, презентация “Системы линейных уравнений”, Памятки при работе в группе, карточки для рефлексии.

• Групповая работа
• Самостоятельная работа

вырабатывать умение решать системы уравнений с двумя переменными, интерпретировать результ

• Предметные – нахождение значения буквенного выражения при заданных значениях переменной;составление буквенного выражения по условию задачи; составление формулпериметра и площади геометрической фигуры;решениеуравнений;строить фигуру симметричную данной относительно прямой.точки;изображать симметричные фигуры
• Метапредметные – осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения уравнений в зависимости от конкретных условий;
• Личностные – уметь ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в письменной речи; понимать смысл поставленной задачи.

Формирование универсальных учебных действий учащихся

• Познавательные – воспитывать познавательный интерес к предмету; учить анализировать имеющуюся информацию; учить осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения образовательных задач в зависимости от конкретных условий.
• Регулятивные – учить целеполаганию; планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей; умению вносить коррективы в действие после его завершения на основе учёта сделанных ошибок; оценивать правильность выполнения действий.
• Коммуникативные – организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
• Личностные – формирование учебно-познавательного интереса к деятельности; воспитание доброжелательного отношения к окружающим; формирование умения проводить объективный самоанализ деятельности.

1. Оргмомент. Самоопределение к учебной деятельности

Создать благоприятный психологический настрой на работу

Приветствие, мобилизация внимания детей.

Включаются в деловой ритм урока

2. Актуализация знаний (устная работа)

Актуализация опорных знаний и способов деятельности

1. Организует устную работу

( презентация “Линейные уравнения с двумя переменными” — слайды №2-№9)

1. Отвечают на вопросы

Регулятивные: фиксация индивидуального затруднения

Коммукативные: выражение своих мыслей, аргументация своего мнения

Познавательные: осознанное построение речевого высказывания, подведение под понятие.

3. Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в индивидуальной деятельности

Актуализация опорных знаний и способов деятельности

Вопрос: как справились с домашним заданием?

В чем были затруднения?

Сколько решений имеют системы, которые вы решали дома?

Отвечают на вопросы.

Регулятивные: волеваясаморегуляция в ситуации затруднения

Коммукативные: выражение своих мыслей , аргументация своего мнения

4. Целеполагание и мотивация

Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока, выдвижение гипотезы

Вопрос: как вы думаете, а всегда ли система имеет 1 решение?

Какой проблемный вопрос встает перед нами?

Высказывают свои предположения

Формулируют тему и цель урока – выяснить, сколько решений может иметь система, от чего это зависит

Записывают в тетрадь тему урока.

Коммукативные: постановка вопросов

Познавательные: самостоятельное выделение -формулирование познавательной цели

Выявление пробелов первичного осмысления изучаемого материала, коррекция пробелов, создание мотивации на успех

1. Работа в группах.

Решать эту проблему мы будем в группах. Я предлагаю каждой группе план исследования системы. (приложение 1)

Перед началом работы хочу напомнить, что при работе в группе надо придерживаться определенных правил, которые вы знаете (памятки на партах – приложение 2)

1. Работают в группах: выполняют исследовательскую работу по определению числа решений систем, выясняют, от чего зависит число решений системы.

Записывают в тетрадях результат.

По мере выполнения каждая группа записывает свои выводы на доске. Размещает полученные графики в таблицу

Опорный сигнал записывается в тетрадь (приложение 3)

Личностные: осознание ответственности за общее дело

Познавательные: выполнение действий по алгоритму.подведение под понятие, рефлексия способов действий

Коммукативные: выражение своих мыслей, достижение договоренности и согласовывание общего решения

1. Применение новых знаний в учебной деятельности – первичное закрепление

2. Применение знаний в новой ситуации

3. Самостоятельная работа с последующей проверкой по эталону

1. Предлагает решить №642 – проговаривание в речи

1. 1 ученик решает на доске с проговариванием, все решают в тетрадях

Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения

Познавательные: анализ, подведение под понятие, выполнение действий по алгоритму

2. Презентация — слайды № 10-11 — устно

Приведите примеры таких значений а, что система имеет одно решение

не имеет решения

Известно, что система имеет бесконечно много решений. Определите число a.

Рассуждают, приходят к выводу: а = 5

3. №643 – работа в тетрадях

7. Информация о домашнем задании

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания

Записывают домашнее задание

Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся

Инициировать рефлексию детей по поводу мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми

1. Предлагает отметить в карточке то высказывание, которое больше всего подходит к работе на уроке

1. Все понял, могу помочь другим

2. Запомню надолго

4. Могу, но нужна помощь

5. Ничего не понял

2. Выставляет оценки

1. Отмечают в карточках

Познавательные: рефлексия способов и условий действия, адекватное понимание причин успеха и неудач, контроль и оценка процесса и результатов деятельности

Коммукативные: умение выражать свои мысли, аргументация

План исследовательской работы.

1. Решить данную систему способом сложения.

2. Построить в одной системе координат график каждого уравнения системы.

3. Сравнить коэффициенты k и l? Cделать вывод.

4. Сравнить отношение коэффициентов при х, коэффициентов при y и свободных членов.

5. Сформулировать признак, по которому можно определить:

Система не имеет решений (1 и 4 гр.)

Система имеет бесконечное множество решений ( 2 и 5 гр.)

Система имеет единственное решение (3 и 6 гр.)

Правила работы в группе (памятка)

1. Работать тихо, не мешать работать другим группам.

2. Не говорить всем сразу. Обращаться друг к другу по имени.

3. Всегда начинать работу с ознакомления с материалом, распределения заданий внутри группы;

4. Слушать внимательно товарищей, отмечать прежде всего положительное, стараться работать хорошо.

5. Результатом работы группы является общее мнение.

Источник

Системы уравнений

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют « x » и « y »), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и « x », и « y ».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Выразим из первого уравнения « x + 5y = 7 » неизвестное « x ».

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

• перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
• разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении « x + 5 y = 7 » всё что содержит « x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При « x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

x = 7 − 5y

3x − 2y = 4

Теперь, вместо « x » подставим во второе уравнение полученное выражение
« x = 7 − 5y » из первого уравнения.

x = 7 − 5y

3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо « x » выражение « (7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным « y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение « 3(7 − 5y) − 2y = 4 » отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*) .

x = 7 − 5y

3(7 − 5y) − 2y = 4 (*)

Мы нашли, что « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению « x = 7 − 5y » и вместо « y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти « x ». Запишем в ответ оба полученных значения.

x = 7 − 5y

y = 1

x = 7 − 5 · 1

y = 1

x = 2

y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.

x + 5y = 7	(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
+ =>	x + 5y + 3x − 2y = 11
3x − 2y = 4	4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение « 4x + 3y = 11 ». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Чтобы при сложении неизвестное « x » взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при « x » стоял коэффициент « −3 ».

Для этого умножим первое уравнение на « −3 ».

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

x + 5y = 7 | ·(−3)

3x − 2y = 4

x · (−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)

3x − 2y = 4

−3x −15y = −21

3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

−3x −15y = −21	(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
+ =>	− 3x − 15y + 3x − 2y = −21 + 4
3x − 2y = 4	−17y = −17 |:(−17)
y = 1

Мы нашли « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо « y » полученное числовое значение и найдем « x ».

x = 7 − 5y

y = 1

x = 7 − 5 · 1

y = 1

x = 2

y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения « x ».

x = 17 + 3y

x − 2y = −13

Подставим вместо « x » во второе уравнение полученное выражение.

x = 17 + 3y

(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = −30 » и найдем « x ».

x = 17 + 3y

y = −30

x = 17 + 3 · (−30)

y = −30

x = 17 −90

y = −30

x = −73

y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)

4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

3x − 3y + 5x = 6x − 4

4x − 2x − 2y = 4 − 3y

8x − 3y = 6x − 4

2x −2y = 4 − 3y

8x − 3y − 6x = −4

2x −2y + 3y = 4

2x − 3y = −4

2x + y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть « 2x ». Наша задача, чтобы при сложении уравнений « 2x » взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только « y ».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на « −1 ».

2x − 3y = −4 | ·(−1)

2x + y = 4

2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)

2x + y = 4

−2x + 3y = 4

2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только « y » в уравнении.

−2x + 3y = 4	(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
+ =>	− 2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
2x + y = 4	4y = 8 | :4
y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = 2 » и найдем « x ».

Источник