Система уравнении способ деления

Содержание

Системы уравнений
Как решить систему уравнений
Способ подстановки или «железобетонный» метод
Способ сложения
Пример решения системы уравнения способом подстановки
Пример решения системы уравнения способом сложения
Урок «Метод почленного деления»

Системы уравнений

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют « x » и « y »), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и « x », и « y ».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Выразим из первого уравнения « x + 5y = 7 » неизвестное « x ».

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении « x + 5 y = 7 » всё что содержит « x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При « x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

x = 7 − 5y

3x − 2y = 4

Теперь, вместо « x » подставим во второе уравнение полученное выражение
« x = 7 − 5y » из первого уравнения.

x = 7 − 5y

3(7 − 5y) − 2y = 4

Подставив вместо « x » выражение « (7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным « y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение « 3(7 − 5y) − 2y = 4 » отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*) .

x = 7 − 5y

3(7 − 5y) − 2y = 4 (*)

Мы нашли, что « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению « x = 7 − 5y » и вместо « y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти « x ». Запишем в ответ оба полученных значения.

x = 7 − 5y

y = 1

x = 7 − 5 · 1

y = 1

x = 2

y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Способ сложения

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.

x + 5y = 7	(x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4
+ =>	x + 5y + 3x − 2y = 11
3x − 2y = 4	4x + 3y = 11

При сложении уравнений мы получили уравнение « 4x + 3y = 11 ». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

x + 5y = 7

3x − 2y = 4

Чтобы при сложении неизвестное « x » взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при « x » стоял коэффициент « −3 ».

Для этого умножим первое уравнение на « −3 ».

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

x + 5y = 7 | ·(−3)

3x − 2y = 4

x · (−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)

3x − 2y = 4

−3x −15y = −21

3x − 2y = 4

Теперь сложим уравнения.

−3x −15y = −21	(−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4
+ =>	− 3x − 15y + 3x − 2y = −21 + 4
3x − 2y = 4	−17y = −17 \|:(−17)
y = 1

Мы нашли « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо « y » полученное числовое значение и найдем « x ».

x = 7 − 5y

y = 1

x = 7 − 5 · 1

y = 1

x = 2

y = 1

Ответ: x = 2; y = 1

Пример решения системы уравнения
способом подстановки

Выразим из первого уравнения « x ».

x = 17 + 3y

x − 2y = −13

Подставим вместо « x » во второе уравнение полученное выражение.

x = 17 + 3y

(17 + 3y) − 2y = −13 (*)

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = −30 » и найдем « x ».

x = 17 + 3y

y = −30

x = 17 + 3 · (−30)

y = −30

x = 17 −90

y = −30

x = −73

y = −30

Ответ: x = −73; y = −30

Пример решения системы уравнения
способом сложения

Рассмотрим систему уравнений.

3(x − y) + 5x = 2(3x − 2)

4x − 2(x + y) = 4 − 3y

Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.

3x − 3y + 5x = 6x − 4

4x − 2x − 2y = 4 − 3y

8x − 3y = 6x − 4

2x −2y = 4 − 3y

8x − 3y − 6x = −4

2x −2y + 3y = 4

2x − 3y = −4

2x + y = 4

Мы видим, что в обоих уравнениях есть « 2x ». Наша задача, чтобы при сложении уравнений « 2x » взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только « y ».

Для этого достаточно умножить первое уравнение на « −1 ».

2x − 3y = −4 | ·(−1)

2x + y = 4

2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1)

2x + y = 4

−2x + 3y = 4

2x + y = 4

Теперь при сложении уравнений у нас останется только « y » в уравнении.

−2x + 3y = 4	(−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4
+ =>	− 2x + 3y + 2x + y = 4 + 4
2x + y = 4	4y = 8 \| :4
y = 2

Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = 2 » и найдем « x ».

Источник

Урок «Метод почленного деления»

МЕТОД ПОЧЛЕННОГО ДЕЛЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

урок по курсу предпрофильной подготовки

«Уравнения высших степеней»

Автор : Чернышев Эдуард Николаевич,

учитель математики МБОУ СОШ № 3

г.Красный Сулин Ростовской области

Цель урока : создать условия для овладения обучающимися навыками решения систем нелинейных уравнений, к которым применим метод почленного деления и умножения; данные условия призваны явиться основанием для самооценки способностей обучающихся в освоении математики на профильном уровне.

1.Создать условия для ознакомления обучающихся с решениями систем нелинейных уравнений методами почленного деления и умножения.

2.Обеспечить условия, в которых каждый обучающийся попробует решить самостоятельно систему нелинейных уравнений методом почленного деления и умножения.

3.Инициировать создание обучающимися систем нелинейных уравнений, для решения которых можно использовать метод почленного деления и умножения.

4.Содействовать взаимопомощи обучающихся при решении заданий.

5.Создать условия для оценки степени овладения обучающимися методом почленного деления и умножения при решении систем нелинейных уравнений.

Обучающимся предлагается упорядочить фрагменты так, чтобы получился связный текст по теме «Уравнения высших степеней».

ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР В ТЕКСТЕ

Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Например: замена переменной, метод алгебраического сложения, метод почленного умножения и деления и др.

Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители.

Основные методы решения уравнений высших степеней – замена переменной и разложение на множители.

В отдельных случаях при решении уравнений целесообразно использовать свойства монотонности и ограниченности функций.

Заметим, что найти корень уравнения часто удается, если использовать следующий закон :

Но есть и другие методы, которые применимы к отдельным видам уравнений.

Используя метод разложения на множители, полезно напомнить, что если число α является корнем многочлена , то делится на , т.е. представим в виде

Обучающимся предлагается упорядочить фрагменты так, чтобы получился связный текст по теме «Системы уравнений высших степеней».

ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР В ТЕКСТЕ

Каждая пара (или набор из n чисел), обращающая каждое уравнение системы в верное равенство, называется решением системы.

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают.

При решении систем уравнений постепенно заменяют данную систему ей равносильной, которую решать проще.

Если одно из уравнений системы выражает зависимость какой либо переменной, например , через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную на ее выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной.

Если ставится задача отыскания общих решений a уравнений с b переменными, то говорят, что задана система уравнений.

При решении систем уравнений используют утверждения о равносильности систем уравнений.

Если обе системы не имеют решений, то они являются равносильными.

Если одно из уравнений системы заменить суммой каких либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной.

Если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной.

Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что система решений не имеет.

Соотнесите системы и их частные решения :

Задание на составление систем нелинейных уравнений.

Обучающимся необходимо составить системы нелинейных уравнений, подобные приведенным выше так, чтобы частным решением системы была заданная пара чисел. Задание выполняется индивидуально каждым обучающимся. Результаты представляются на доске и проверяются (консультантами или учителем).

Примеры выполнения заданий :

1).Составить систему, решением которой является пара (2;3).

Вариант ответа .

2).Составить систему, решением которой является пара

Вариант ответа.

Таблица для составления системы нелинейных уравнений:

№ ученика по списку

Частное решение системы

№ ученика по списку

Частное решение системы

№ ученика по списку

Частное решение системы

Рассмотрим образцы решения систем нелинейных уравнений методом почленного умножения и деления.

Пример № 1. Решить систему уравнений

Выполним тождественные преобразования и получим равносильную систему: Здесь знаки совпадают.

Можно ли без ограничений разделить второе уравнение на первое ? Да, так как не равны нулю.

Выполним такое деление и получим

1.При первое уравнение исходной системы принимает вид ,- данное уравнение не имеет действительных корней.

2. При первое уравнение исходной системы принимает вид , ,

Ответ.

Пример № 2. Решим ту же систему уравнений другим способом. Умножим первое уравнение на второе. Получим

Выполним соответствующую замену в первом уравнении исходной системы и после упрощения получим Возвращаясь к подстановке получаем .

Ответ.

Пример № 3. Решить систему уравнений

Выполним решение системы, разделив второе уравнение на первое. После преобразований получим: Выполним подстановку в первое уравнение и получим . Проверка показала, что найденные пары значений переменных являются решениями исходной системы.

Ответ.

При «разборе» решений следует обратить внимание на следующее:

делить на выражение, содержащее переменные, можно только убедившись, что эти переменные не принимают нулевых значений; как правило, это следует из условия;

если из условия непосредственно не следует, что переменные не могут принимать нулевых значений, либо следует, что выражения могут принимать нулевые значения (как в примере № 3), то следует выполнять проверку.

Пример № 4. В предлагаемом решении допущена ошибка. Обучающимся предлагается найти и объяснить суть ошибки.

Решить систему уравнений