Система сходящихся сил определение равнодействующей системы сил геометрическим способом

Техническая механика. Шпаргалка

Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.

Оглавление

• 1. Аксиомы и понятие силы статики
• 2. Связи и реакции связей
• 3. Определение равнодействующей геометрическим способом
• 4. Определение равнодействующей аналитическим способом
• 5. Пара сил. Момент силы

Приведённый ознакомительный фрагмент книги Техническая механика. Шпаргалка предоставлен нашим книжным партнёром — компанией ЛитРес.

3. Определение равнодействующей геометрическим способом

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся.

Необходимо определить равнодействующую системы сходящихся сил (F₁; F₂; F₃;…; F_n), где n — число сил, входящих в систему.

В соответствии со следствиями из аксиом статики, все силы системы можно переместить вдоль линии действия, и все силы окажутся приложенными к одной точке.

Используя свойство векторной суммы сил, можно получить равнодействующую любой сходящейся системы сил, складывая последовательно силы, входящие в систему. Образуется многоугольник сил.

При графическом способе определения равнодействующей векторы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.

Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил-слагаемых. Такой способ получения равнодействующей называется геометрическим.

Многоугольник сил строится в следующем порядке.

1. Вычертить векторы сил заданной системы в некотором масштабе один за другим так, чтобы конец предыдущего вектора совпал с началом последующего.

2. Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию; он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.

3. При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На результат порядок вычерчивания не влияет.

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил. При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого.

Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, многоугольник сил этой системы должен быть замкнут.

Если в системе три силы, образуется треугольник сил.

Геометрическим способом пользуются, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считается абсолютно твердым (отвердевшим).

Задачи решаются в следующем порядке.

1. Определить возможное направление реакций связей.

2. Вычертить многоугольник сил системы, начиная с известных сил, в некотором масштабе. (Многоугольник должен быть замкнут, все векторы-слагаемые направлены в одну сторону по обходу контура).

3. Измерить полученные векторы сил и определить их величину, учитывая выбранный масштаб.

4. Для уточнения определить величины векторов (сторон многоугольника) с помощью геометрических зависимостей.

Источник

Равнодействующая системы сходящихся сил. Геометрический и аналитический способы определения равнодействующей.

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Если у такой системы сил л.д. расположены в одной плоскости, то она называется плоской системой сходящихся сил. В любом другом случае система сходящихся сил пространственная.

Равнодействующая сходящихся сил равна геометрической сумме этих сил и приложена в точке их пересечения . Равнодействующая может быть найдена геометрическим способом – построением силового (векторного) многоугольника или аналитическим способом, проектируя силы на оси координат.

Теорема: любая система сходящихся сил приводится к равнодействующей, равной геометрической сумме составляющих сил и приложенных в точках пересечения линий их действия.

Сложность данного подхода в сложности геометрических построений.

Для упрощения построений сложим геометрически силы следующим образом: конец предыдущей силы должен совпадать с началом следующего, а л.д. сил должны быть параллельны заданным.

Замыкающая, полученная таким образом, и будет являться вектором равнодействующей, причем он должен быть направлен то начала к концу.

Проекцией силы на ось называется направленный отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными к соответствующей оси из начала к концу вектора силы.

В случае пространственной системы сил используется метод двойного проецирования: сначала сила проецируется на плоскость, а затем определяются проекции полученной проекции на осях координат.

Условия равновесия системы сходящихся сил в геометрической и аналитической формах. Теорема о трех непараллельных силах.

Геометрическое условие равновесия:

Силовой многоугольник должен быть замкнут, т.е. конец последнего вектора должен совпадать с началом первого.

Аналитическое условие равновесия:

Равенство 0 проекций равнодействующей на оси координат (Rx=0, Ry=0, Rz=0).

Для равновесия тел, находящихся под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая была равна 0 (R=0).

Для равновесия тела, находящегося в системе сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы были равны 0 алгебраические суммы проекций всех сил на оси произвольно выбранных систем координат.

Теорема о трех непараллельных силах:

Используется когда известны величина и направление одной силы, линия действия другой и точка приложения третьей.

Линии действия трех непараллельных уравновешенных сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке.

Равновесие равнодействующей R12 сил F1 и F2 возможно только в том случае, если третья сила F3 будет направлена по линии действия R12 противоположно ей, т.е. проходить через точку пересечения линии действия сил F1 и F2.

Сложение двух параллельных сил. Момент силы относительно центра. Выражение векторного момента силы в виде векторного произведения. Аналитическое выражение момента силы относительно точки. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей системы сходящихся сил.

Алгебраическим моментом силы F относительно некоторого центра называется взятое со знаком + или — произведение модуля силы F на плечо (кротчайшее расстояние от точки до линии действия силы). Момент положителен, если сила стремиться вращать плоскость действия против часовой стрелки и наоборот. (M=F*h) Но при этом h можно выразить через радиус-вектор r (h=r*sin α), тогда M = F*r*sin α = (F x r). Получаем, что векторный момент силы относительно точки – векторная величина.

Момент равнодействующей пространственной системы сходящихся сил относительно какого-либо центра равен векторной сумме моментов составляющих сил относительно того же центра.

Источник

Определение равнодействующей геометрическим способом

Геометрический способ заключается в построение силового многоугольника, аналитический – в определении суммы проекций всех действующих сил на две взаимноперпендикулярные оси.

При графическом способе определения равнодействующей векторы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится.

Вектор равнодействующей направлен навстречу векторам сил-слагаемых.

Порядок построения силового многоугольника

1. Выбираем полюс построения.

2. Помещаем в полюс начало первого вектора F₂ (векторы сил можно вычерчивать в любом порядке) переместив его параллельно самому себе, сохранив его величину.

3. Помещаем в конец первого вектора начало второго F₁ . Вычерчиваем один за другим в аналогичном порядке векторы остальных сил F_{4 ,} F₃.

4. Вектор равнодействующей замыкает полученную ломаную линию;он соединяет начало первого вектора с концом последнего и направлен ему навстречу.

При изменении порядка вычерчивания векторов в многоугольнике меняется вид фигуры. На результат порядок вычерчивания не влияет.

Рекомендация. Обратить внимание на направление векторов.

Геометрическое условие равновесия ПССС: силовой многоугольник должен быть замкнут.

Определение равнодействующей аналитическим способом

Модуль (величину) равнодействующей определяют по известным проекциям:

Направление вектора равнодействующей можно определить по величинам и знакам косинусов углов, образуемых равнодействую­щей с осями координат (рис. 3.5).

Проекция силы на ось

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля си­лы на косинус угла между вектором силы и положительным напра­влением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).

Аналитическое условие равновесия ПССС: суммы проекций всех сил на две взаимноперпендикулярные оси должны быть равны нулю.

В задачах координатные оси выбирают так, чтобы решение бы­ло наиболее простым. Желательно, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.

Тема 1.3. Плоская система произвольно расположенных сил

Момент силы относительно точки

Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вра­щение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом.

Момент силы относительно точки числен­но равен произведению модуля силы на плечо.

Плечо – кратчайшее расстояние от точки до линия действия силы (перпен­дикуляр, опущенный из точки на линию действия силы) (рис. 4.4).

Обозначение момента M_о(F) или m_о(F); m₀(F) = Fa.

Единица измерения m_o(F) = Н·м.

Момент считается положительным, если сила пытается развернуть те­ло по часовой стрелке.

Момент силы относительно точки равен нулю, если линия дей­ствия силы проходит через точку, т. к. в этом случае расстояние от точки до силы равно нулю.

Читайте также:  Способы разделения жидких солей

Плоская система произвольно расположенных сил

Главный вектор равен геометрической суммевекторов произвольной плоской системы сил. Проецируем все силы системы на оси координат и, сложив соответствующие проекции на оси, получим проекции главного вектора.

По величине проекций главного вектора на оси координат находим модуль главного вектора:

Главный момент системы сил равен алгебраической сумме мо­ментов сил системы относительно точки приведения.

Таким образом, ПСПРС приводит­ся к одной силе (главному вектору системы сил) и одному моменту (главному моменту системы сил).

Три формы условия равновесия ПСПРС

Для разных случаев используются три группы уравнений рав­новесия.

Для частного случая, если уравновешена система параллельных сил, можно составить только два уравнения равновесия:

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Виды нагрузок

По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре­доточенной.

Часто нагрузка распределена по значительной площадке или ли­нии (давление воды на плотину, давление снега на крышу и т.п.), тогда нагрузку считают распределенной.

В задачах статики для абсолютно твердых тел распределен­ную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой (рис. 6.1).

q

l/2Q

q — интенсивность нагрузки, Н/м;

l— линия действия распределенной нагрузки, м;

Q = ql — равнодей­ствующая распределенной нагрузки.

Разновидности опор балочных систем (см. реакции и их связи)Балка — конструктивная деталь в виде прямого бруса, закреп­ленная на опорах и изгибаемая приложенными к ней силами.

Высота сечения балки незначительна по сравнению с длиной. Жесткая заделка (защемление) (рис. 6.2)

Опора не допускает перемещений и поворотов. Заделку заменя­ют двумя составляющими силами RaxиR_Ay и парой с моментом Mr_А.

Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравне­ний в виде

Каждое уравнение имеет одну неизвестную величину и решается без подстановок. Для контроля правильности решений используют дополнительное равнение моментов относительно любой точки на балке, например В:

Шарнирно-подвижная опора (рис. 6.3).

Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещениевдоль опорной поверхности. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.

Шарнирно-неподвижная опора (рис. 6.4)

Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющими силы вдоль осей координат.

Балка на двух шарнирных опорах (рис. 6.5)

Тема 1.4. Центр тяжести

Сила тяжести — это сила, с которой тело притягивается к Земле, она распределена по всему объему тела.

Цент тяжести –это точка приложения силы тяжести.

Формулы для определения центра тяжести плоских фигур:

где А_n — площадь простейшей (элементарной) фигуры;

x_n, y_n — координаты центра тяжести простейшей (элементарной) фигуры.

Выражение называют статическим моментом площади (S_y).

Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральны­ми осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.

Источник